Matrices: Método Gauss - Jordan

Carl Friedrich Gauss
Wilhelm Jordan

Método de Gauss - Jordan
Sistema de ecuaciones lineales
El método consiste en aplicar operaciones elementales fila, es decir,
cualquier fila se puede multiplicar por cualquier número (distinto de cero) o se le
puede sumar o restar cualquier otra fila multiplicada o no por cualquier número. No
se puede restar una fila a ella misma. También puede intercambiarse el orden de
las filas (por ejemplo, intercambiar las dos primera filas). El proceso debe aplicarse
hasta que se obtenga la matriz en forma escalonada (método de Gauss) o en
forma escalonada reducida (método Gauss - Jordan) de la matriz ampliada.
Recordamos que una matriz en su forma escalonada reducida cumple:
En cada fila, el primer elemento distinto de cero (de izquierda a derecha) es
un 1 (uno principal). A la izquierda de este 1, sólo hay ceros. A su derecha
puede haber cualquier número. En la columna del 1 principal de las filas de
arriba y las de abajo sólo puede haber ceros (a no ser que sea la primera
fila y por encima del 1 no hay ningún elemento).
El uno principal de cualquier fila se sitúa más a la izquierda de los unos
principales de las filas inferiores a ésta.
Si existen filas formadas únicamente por ceros, éstas son las inferiores.
Ejemplo: Vamos a obtener la forma escalonada reducida de la matriz ampliada
Multiplicamos la primera fila por 1/5 y la segunda por 1/3
Sumamos a la segunda fila la primera
Multiplicamos la segunda fila por 5/7
Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por -2/5
2

Ahora escribimos el sistema que representa esta última matriz:
X= -1; Y= 4
Es decir, hemos obtenido la solución del sistema.
Sistemas incompatibles o compatibles determinados:
Si el sistema es incompatible (no existe solución), al aplicar Gauss -
Jordan obtendremos una matriz que tiene en alguna fila el uno principal situado
en la columna de los términos independientes. Esto es equivalente a decir que 0 =
1, que es absurdo.
Si el sistema es compatible indeterminado (existen infinitas soluciones),
escribiremos las soluciones en función de parámetros.
Teorema de Rocuhé - Frobenius:
Sea A·X = b un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un
cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos):
A·X = b es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango (A | b).
A·X = b es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = n = rango(A| b).
Si los rangos son distintos, el sistema es incompatible.
Demostraciones con ejemplos
Sistema de 2X2:
La matriz ampliada del sistema es
3

La raya vertical separa la matriz de coeficientes de la matriz columna de
términos independientes. Realizamos operaciones elementales fila para obtener la
matriz en forma escalonada reducida:
Multiplicamos la primera fila por 1/5 y la segunda por 1/3:
Sumamos a la segunda fila la primera:
Multiplicamos la segunda fila por 5/7:
Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por -2/5:
Esta última matriz equivalente ya tiene forma escalonada reducida y nos permite
ver rápidamente los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.
Calculamos los rangos de la matriz coeficientes y de la matriz ampliada
Como los rangos son iguales y máximos, por el Teorema de Rouché - Frobenius,
el sistema es compatible determinado. La matriz obtenida representa el sistema
Es la solución del sistema.
Sistema de 3X3:
4

La matriz ampliada del sistema es
Multiplicamos la primera fila por 1/5:
Sumamos a la segunda y tercera fila la primera multiplicada por -2:
Multiplicamos las filas segunda y tercera por 5:
Sumamos a la segunda fila la tercera multiplicada por -1:
Multiplicamos la segunda fila por -1/10 y la tercera por 1/11:
Sumamos a la primera fila la segunda multiplicada por -2/5 y a la tercera, la
segunda por -1:
5

Multiplicamos la tercera fila por -11/5:
Esta última matriz tiene forma escalonada reducida (es la matriz identidad).
Realmente, ya tenemos la solución del sistema, así que es un sistema
compatible determinado.
No obstante, calculamos los rangos:
Como los rango son iguales y máximos, por el Teorema de Rouché-Frobenius, el
sistema es compatible determinado. La matriz obtenida proporciona la solución
del sistema:
6

Análisis de licencias de las páginas fuente
Método de Gauss – Jordan: https://www.geogebra.org/m/audTn7pS
En este caso vemos que GeoGebra tiene
Copyright, la licencia más restrictiva. En
este caso no podríamos hacer uso de sus
producciones sin la autorización de la
aplicación. No obstante, si indagamos en la
opción “licencia”
(https://www.geogebra.org/license) vemos
que autorizan la copia de información con
fines no comerciales e incluso ofrecen un
medio de contacto en el cual se podría
solicitar los permisos pertinentes para hacer otro tipo de usos.
Teorema de Rocuhé - Frobenius: https://matesfacil.com/matrices/resueltosmatrices-SEL-GAUSS.html
Vemos lo siguiente al pie del sitio:
Haciendo zoom:
Como vimos anteriormente, el autor, al elegir esta combinación
“Reconocimiento – NoComercial (by-nc)”, permite la generación de obras
derivadas siempre que no se haga un uso comercial. Tampoco se puede utilizar la
obra original con finalidades comerciales.
Obra actual:
Se utiliza este tipo de licencia para ser consecuentes y respetar el pedido de los
autores que publicaron sus trabajos en los sitios fuente. De esta manera
permitimos el uso del contenido y la generación de obras derivadas siempre que
no se haga un uso comercial de las mismas y de la obra original.
7

ÍNDICE
Método de Gauss – Jordan…………………………………………………. pág. 2
Sistemas de ecuaciones lineales………………………………….. pág. 2
Ejemplo…………………………………………………………………. pág. 2
Sistemas incompatibles o compatibles determinados:……….. pág. 3
Teorema de Rocuhé - Frobenius:…………………………………….….… pág. 3
Demostraciones con ejemplos…………………………………...… pág. 3
Sistema de 2X2……………………………………………......… pág. 3
Sistema de 3X3………………………………….................…… pág. 4
Análisis de licencias de las páginas fuente………………………………. pág. 7
8