S-114.1327 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 14.5.2009 λ λ

S-114.1327 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 14.5.2009
Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään. Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3.
Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen, vai suoritatko tentin.
1. Välikokeen alue
1. Valosähköinen ilmiö. Jos valon aallonpituus on 590 nm, se pystyy juuri ja juuri irrottamaan elektroneja
tutkittavalta metallilevyltä. Valaistaan samaa metallilevyä valolla, jonka aallonpituus on kolmasosa tästä.
Mikä on suurin nopeus, jonka irtoava elektroni voi tällöin saada?
Ratkaisu
590nm on taajuus jolla kineettinen energia = 0 ⇒ hf = φ →
= 3.37×10 −19 J.
c
h λ
= φ → φ =
8
−34
⎛ 3×
10 m/s ⎞
(6.63× 10 J ⋅s)
⎜ −9
590 × 10 m ⎟
⎝
⎠
Jos aallon pituus on kolmasosa alkuperäisestä λ =
⎛
⎞
× ⋅ ⎜ − 3.37×10 −19 J = 6.74×10 −19 J.
× ⎟
⎝
⎠
1 2
Nopeudeksi saadaan asettamalla liike-energia = mv
2 e
8
(6.63 10 −34
J s) 3 3×
10 m/s
⎜ 590 10 −9
m
1
2 (9.11×10−31 kg) v 2 = 6.74×10 −19 J ⇒ v = 1.22×10 6 m/s.
1
590nm liike-energia on
3
2. a) Yksiulotteinen potentiaaliaskel on määritelty seuraavasti:
⎧0, kun x < 0
Ep
( x)
= ⎨
⎩E0, kun x > 0
Hiukkanen, jonka energia on E = 4E0
, tulee x-akselin negatiivisesta suunnasta potentiaaliaskeleen kohdalle.
Mikä on todennäköisyys, että se heijastuu takaisin?
Ratkaisu:
Lähestyvän hiukkasen energia on siis neljä kertaa kynnyksen korkeus. Heijastumistodennäköisyyden
ilmaisee heijastumiskerroin
missä
k =
2mE
2
⎛k
− k′
⎞
R = ⎜ ⎟
⎝k
+ k′
⎠ ,
on aaltovektorin itseisarvo alueessa x < 0 ja
itseisarvo alueessa x ≥ 0 . Sijoitetaan nämä R:n lausekkeeseen.
( 0 )
( )
k′ =
( − )
2m E E 0
2 2
2
− ( − 0 )
⎡ 2mE 1 1 E E ⎤
− − 0
⎥ ⎢
⎥
+ ( − 0)
⎢ + − ⎥ ⎜
0
1 1 E0
E ⎟
⎝ ⎠
⎡ 2mE 2m E E ⎤ − − ⎛1 1 E E ⎞
∴ R = ⎢
= =⎜ ⎟
⎢ 2mE 2m E E ⎥ 2mE 1 1 E E + −
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Sijoitetaan E.
2 2
⎛1− 1−E0 4E
⎞
0
⎛1− 1−1 4 ⎞
∴ R ≈ = ≈0,0052 ≈0,005
.
⎜1+ 1− E0 4E
⎟ ⎜
0 1+ 1−1 4 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
on aaltovektorin
.

3. Hiukkanen voi liikkua äärettömän kovassa potentiaaliboksissa x-akselin välillä [x = 0 , x = a]. Sen
⎡ ⎛π
x ⎞⎤
⎛π
x ⎞
aaltofunktio ajanhetkellä t = 0 on Ψ ( xt , = 0)
= 8/5a⎢1+ cos⎜ ⎟ sin⎜ ⎟
a
⎥ . a) Mikä on hiukkasen
⎣ ⎝ ⎠⎦
⎝ a ⎠
aaltofunktio ajanhetkellä t > t0
? b) Mikä on hiukkasen keskimääräinen energia ajanhetkinä t = 0 ja
mielivaltaisella ajanhetkellä t > t0
? Apuneuvo: sin 2α = 2sinαcosα
. Kyseessä on ei stationäärinen tila eli
parin stationäärisen tilan summa.
Ratkaisu
Hiukkanen liikkuu yksiulotteisessa potentiaalikuopassa, jonka ominaisenergiat ovat
2 2 2
n π
En
= ;
2
2ma
n=
1,2,3,,
(1)
ja normitetut ominaisfunktiot
φ n =
2 ⎛nπ
x⎞
sin ⎜ ⎟
a ⎝ a ⎠ . (2)
Tehtävässä annettu aaltofunktio hetkellä t = 0 ei selvästikään ole mikään ominaistiloista, vaan kyseessä on
ns ei-stationäärinen tila eli sationääristen tilojen superpositio. Puretaan annettu aaltofunktio stationääristen
tilojen sarjakehitelmäksi käyttäen hyväksi ominaistilojen ortonormeerausominaisuutta:
⎡ ⎛πx⎞⎤ ⎛πx⎞ ⎡ ⎛πx⎞ 1 ⎛2πx⎞⎤
Ψ ( xt , = 0)
= 8/5a⎢1+ cos⎜ ⎟ sin 8/5a
sin sin
a
⎥ ⎜ ⎟= a
⎢ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ =
a 2 a
⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
2 1
= φ1 + φ2
5 5
(3)
missä käytettiin tehtävässä annettua trigonometrian apuneuvoa. Huomaa myös, että tilojen kertoimien
neliöiden summa = 1 , ts voimme tulkita yhtälön (3) siten, että hiukkanen on todennäköisyydellä 4/5
perustilassa ja todennäköisyydellä 1/5 ensimmäisessä viritetyssä tilassa. Hiukkasen aaltofunktio kyseisessä
ei-stationäärisessä tilassa on ajan funktiona
2 iE1t
/ 1 iE2t
/
Ψ ( xt , ) e −
−
= φ1 + e φ2.
5 5
b) Hiukkasen keskimääräinen energia = energian odotusarvo = perustilan energia x 4/5 ja ensimmäisen
virittetyn tiaaln energia x 1/5 ts.:
2 2
4 1 8 π
E = E + E =
5 5 5 2ma
1 2 2
2 Välikokeen alue
4. Vastaa lyhyesti:
a) Mitä tarkoitetaan elektronin gyromagneettisella suhteella?
Kulmaliikemäärän ja magneettisen momentin suhdetta kuvaavaa paljasta lukua, joka kertoo miten
magneettisen momentin suuruus poikkeaa tilanteesta, jossa massa ja varaus ovat tasaisesti jakautuneet
pyörivän systeemin sisällä. Elektronin gyromagneettinen suhde g S on noin 2.

) Mikä on ekvipartitioperiaate?
Ekvipartitioperiaate kertoo, että kuhunkin liikkeen vapausasteeseen liittyy lämmöstä johtuen keskimäärin
( 1/2)
k B T kineettistä ja ( 1/2)
k B T potentiaalienergiaa molekyyliä kohden – jälkimmäinen vain jos ko.
vapausasteeseen liittyy potentiaalienergia. Tämä keskimääräinen lämpöenergia saavutetaan kun lämpötila on
niin korkea, että ko. liikkeen vapausasteen kynnysenergia on paljon pienempi kuin k T .
c) Mikä on spin-ratavuorovaikutus?
Rataliikkeeseen voidaan ajatella liittyvän efektiivisen sähkövirran josta aiheutuu magneettinen momentti.
Tämä on nollasta poikkeava vain jos elektroni kiertää ydintä ts jos kulmaliikemäärä ei ole nolla.
Rataliikkeeseen liittyvän magneettinen momentti vuorovaikuttaa spin-magneettisen momentin kanssa. Tämä
vuorovaikutus riippuu magneettisten momenttien keskinäisestä kulmasta ja sitä kutsutaan spinratavuorovaikutukseksi.
d) Mikä on Einsteinin ja Depyen hilalämpömallien ero?
Einsteinin mallissa atomit ovat toisistaan riippumattomia harmonisia värähtelijöitä. Debyen
hilalämpömallissa kukin kiteen seisovista aalloista muodostaa harmonisen oskillaattorin. Mallien ero on
pieni korkeissa lämpötiloissa – molemmat mallit antavat ekvipartitioperiaatteen mukaisen ominaislämmön
3R moolia kohden.
e) Mitä tarkoittaa Paulin kieltosääntö? Mitä sen perusteella voidaan sanoa heliumin perustilan
aaltofunktiosta?
Paulin kieltosäännön mukaan kahden elektronin kaikki kvanttiluvut eivät voi olla samoja. Tämä johtaa siihen
että vaihdettaessa kahden elektronin rata ja spin-koordinaatit aaltofunktio vaihtaa merkkinsä. Heliumin
perustilassa kokonaisspin on nolla jolloin aaltofunktion spin-osa on antisymmetrinen ja rataosa symmetrinen.
f) Mikä on LCAO menetelmä?
Likimääräismenetelmä molekyylien elektronitilojen laskemiseksi esittämällä ne molekyyliin kuuluvien
atomien atomiorbitaalien avulla.
5. Hiukkasen kulmaliikemäärän kvanttiluku l = 2 . (a) Mitkä ovat L z :n mahdolliset arvot? (b) Mikä on L
vektorin pituus? (c) Mikä on L :n ja z-akselin välisen kulman pienin mahdollinen arvo?
Ratkaisu:
(a) Kulmaliikemäärän z-komponentin mahdolliset arvot ovat Lz
= m , missä m = 0, ± 1, …, ± l = 0, ± 1, ± 2.
Mahdolliset arvot ovat siten:
L z = −, − 2 ,0, + , + 2.
(b) Kulmaliikemäärän itseisarvo on
L= l( l+ 1) =
6.
(c) Kulmaliikemäärän ja z-akselin välinen kulma on
L
cos
z Lz
m
m
θ = = = =
L L ll ( + 1) ll ( + 1)
−1
⎛ 2 ⎞
⇒ θmin
= cos ⎜ ⎟≈35,3
⎝ 6 ⎠
3 3
6. Kuparin tiheys on 8.9 × 10 kg/m ja atomimassa 63,54 amu. Kuparissa on yksi johtavuuselektroni atomia
kohden. a) Laske kuparin Fermienergia. b) Nestetypen lämpötilassa (77 K) kuparin ominaisvastus
−9
on 4× 10 Ωm . Laske johtavuuselektronin vapaa matka Druden mallista, olettaen että elektronin nopeus on
E ≈ 1/2 m v . (Harris 10.51)
likimain Fermipinnalla olevan elektronin nopeus ts. ( )
2
Ratkaisu
a) Kuparin tiheyden ja atomimassan avulla saadaan johtavuuselektronien tiheydeksi kuparissa
F
e
B

3 3
8.9 × 10 kg/m
η =
−27
63.5 u × 1.66 × 10 kg/u
E F
2 2/3 2
(3 π )
=
2m
( η)
2/3
= 8.44×10 28 m –3 . Sijoittamalla tama Fermienergian lausekkeeseen
saadaan Fermienergiaksi E F = 7,03 eV
b) Atomien keskinäinen etäisyys saadaan ajattelemalla, että jokainen atomi vie kuution muotoisen
tilavuuden, jonka käänteisarvo on atomien tiheys. Atomien keskimääräinen etäisyys on siis tämän tilavuuden
28 −3
eli kuution särmän pituus d = ( 8.44 × 10 m ) −1/3
= 2.28×10 −10 m.
2
e ητ
Druden mallin mukaan johtavuus on σ = missä τ keskimääräinen aika törmäysten välillä. Tehtävässä
me
on annettu johtavuus nestetypen lämpötilassa, joten siitä voidaan ratkaista τ :
2
−19 2 28 –3
e η t 1 (1.6 × 10 C) (8.44 × 10 m ) t
σ = → =
⇒ τ = 1.05×10 –13 s. Fermienergian avulla
m
−9 −31
4 × 10 Ω⋅ m 9.11×
10 kg
e
saamme nopeudeksi E = mv → v =
F
1 2
× ×
−19
2 31
2(7 1.6 10 J)
9.11×
10 kg
= 1.57×10 6 m/s.
Törmäysten välillä johtavuuselektroni kulkee siis matkan (1.57 × 10 6 m/s) (1.05 × 10 –13 s) = 0.17µm. Tämä on
noin 700 kertaa atomien välinen etäisyys kuparissa!
VAKIOITA
−31 −27 −27 −27
me = 9, 1091× 10 kg mp = 1,6725 × 10 kg mn
= 1,6748 × 10 kg amu = 1,6605
× 10 kg
−19 8 −34 −24
−1
e = 1,6021 × 10 C c = 2,9979 × 10 m / s = 1,0545 × 10 Js μ B = 9,2732
× 10 JT
−12
2 -1 -2
−6
−2
ε0
= 8,8544 × 10 C N m Ke
= 1 / 4πε0
μ0
= 1,2566 × 10 mkgC Km
= μ0
/ 4π
−11 2 −2 23 −1 -1 -1 -23 −1
γ = 6,670 × 10 Nm kg NA
= 6,0225 × 10 mol R = 8,3143 JK mol k = 1,3805 × 10 JK