Osa 2 - Tekniikan yksikkö

T L 9 0 8 Z S I G N A A L I T E O R I A
O S A I I : F O U R I E R - M U U N N O S
3 Fourier-muunnos.......................................................................................................................23
3.1 Fourier-integraalin suppeneminen .................................................................................................. 25
3.2 Muutamia erikoisfunktioita.............................................................................................................. 26
Rect-funktio ............................................................................................................................................................. 26
3.2.2 Signum-funktio ........................................................................................................................................... 27
3.2.3 Yksikköaskelfunktio ................................................................................................................................... 27
3.2.4 Diracin delta-funktio eli yksikköimpulssi................................................................................................... 27
3.2.5 Diracin kampafunktio eli ideaalinen näytteenottofunktio ........................................................................... 29
3.3 Raja-arvon avulla laskettu Fourier-muunnos................................................................................. 30
3.3.1 Vakiofunktion Fourier-muunnos................................................................................................................. 30
3.3.2 Signum-funktion Fourier-muunnos............................................................................................................. 31
3.3.3 Yksikköaskelfunktion Fourier-muunnos..................................................................................................... 32
3.3.4 Trigonometristen funktioiden Fourier-muunnokset.................................................................................... 33
3.4 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia ............................................................................................... 34
3.4.1 Vakiolla kertominen.................................................................................................................................... 34
3.4.2 Lineaarisuus (superpositio)......................................................................................................................... 35
3.4.3 Ajan skaalaus .............................................................................................................................................. 35
3.4.4 Aikasiirto .................................................................................................................................................... 35
3.4.5 Taajuussiirto................................................................................................................................................ 36
3.4.6 Amplitudimodulaatio .................................................................................................................................. 38
3.4.7 Derivointi.................................................................................................................................................... 38
3.4.8 Integrointi ................................................................................................................................................... 39
3.4.9 Konvoluutio aikatasossa ............................................................................................................................. 41
3.4.10 Konvoluutio taajuustasossa .................................................................................................................... 41
3.5 Kaistarajoitetut signaalit ja kaistanleveys....................................................................................... 41
3.6 Näytteenottoteoreema ....................................................................................................................... 42

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
23
3 FOURIER-MUUNNOS
Fourier-muunnos laajentaa edellä jaksollisille signaaleille esitettyä teoriaa signaaleihin, jotka ovat
jaksottomia. Fourier-muunnoksen tarkoituksena on kuvata aikatason signaalin taajuussisältö. Sillä on
lukematon määrä sovellutuksia tekniikassa, magneettikuvauksesta kännyköihin. Systeemiteorian
perusteiden kurssilla toivottavasti opittiin Laplace-muunnos. Fourier-munnos ei oikeastaan olekaan
mitään muuta kuin Laplace-muunnoksen erikoistapaus. Havainnollisempi tulkinta on kuitenkin
tarkastella Fourier-muunnosta Fourier-sarjan erikoistapauksena, kun T → ∞. Käytännön
signaalinkäsittely- ja tietoliikennetekniikan sovellutuksissa Fourier-muunnos on paljon enemmän
käytetty kuin Laplace-muunnos.
Lähdetään liikkeelle Fourier-sarjan eksponenttimuodosta:
missä
C
∑ ∞ jnω0t
f ( t)
= C n
e
n=
−∞
n
=
/ 2
1 T ∫ f
T
−T
/ 2
( t)
e
− jnω
t
0
dt
Kun jaksonaika kasvaa, peräkkäisten harmonisten taajuuksien välimatka käy yhä pienemmäksi, eli
∆ω=(n+1) ω 0 −nω 0 =ω 0 = 2π/Τ
kun T→ ∞, ∆ω muuttuu differentiaaliksi dω.
1
T
→
dω
, T
2π
→ ∞
Vastaavasti Fourier-kertoimet C n → 0 kun T→ ∞. Tämähän tarkoittaa, että Fourier-kertoimet häviävät
kun funktion jaksollisuus häviää. Tulon C n T raja-arvo on kuitenkin
C
∞
→ ∫
−∞
− jωt
n
T f ( t)
e dt,
T
→ ∞
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
24
Edellä oleva integraali on funktion f(t) Fourier-muunnos. Sitä merkitään
∞
− jωt
= I{
f ( t)}
= ∫ f ( t e dt
−∞
F(
ω )
)
Fourier-käänteismuunnos määritellään puolestaan kaavalla
f ( t)
∞
−1
1
j
= I ω = ∫ ω
ω t
{ F(
)} F(
) e dω
2π
−∞
Nämä kaksi muunnosta muodostavat Fourier-muunnosparin.
f ( t)
⇔ F(
ω)
Esimerkki: Laskettava oheisen kuvan suorakaidepulssin
Fourier-muunnos.
v ( t )
Vastaavan jaksollisen kanttiaallon Fourier-sarjan kertoimet
laskettiin jo edellä. Nyt f(t)=V m , eli se saa vakioarvon välillä -τ/2
→ τ/2 ja on nolla muualla. Riittää integroida tämä väli.
V m
−
τ
2
0
τ
2
t
F(
ω)
=
τ / 2
∫
V
m
−τ
/ 2
e
− jωt
dt =
Vm
/ e
− jω
τ / 2
− jωt
−τ
/ 2
=
V
m
− jω
− jωτ
/ 2 jωτ
/ 2
[ e − e ]
Tämä voidaan kirjoittaa Eulerin kaavojen avulla muotoon
Vm
⎡ ωτ ⎤ sinωτ
/ 2
F ( ω)
= 2 j sin Vmτ
Vmτ
sinc( ωτ / 2)
jω
⎢ − =
=
−
2 ⎥
⎣ ⎦ ωτ / 2
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
25
Jos verrataan tätä jaksollisen kanttijonon Fourier-sarjakehitelmään
C
n
=
Vmτ
sin nϖ
0τ
/ 2
.
T nϖ
τ / 2
0
havaitaan, että nehän ovat hyvin pitkälle saman
muotoiset. Molemmat esittävät sinc-funktiota. Eli kun
jaksonpituus kasvaa äärettömäksi, amplitudispektri
muuttuu diskreetistä viivaspektristä jatkuvaksi.
Viivaspektrin verhokäyrällä on kuitenkin täsmälleen
sama muoto kuin jatkuvalla spektrillä. □
−4π /τ
T V m
−2π /τ
F(ω)
0
2π / τ 4π / τ
Edellisestä esimerkistä voidaan todeta, että kanttipulssi ja sinc-funktio muodostavat Fourier-muunnosparin. Tällä
tuloksella on paljon käytännön merkitystä esimerkiksi DSP:ssä ja suodatinsuunnittelussa. Ideaalisen
suodattimen taajuusvastehan on muodoltaan kantti, eli suodatin päästää läpi tietyn taajuuskaistan
muuttumattomana ja vaimentaa kaistan ulkopuoliset taajuudet nollaksi. Ideaalisen suodattimen
vasteessa aikatasossa havaitaan pahoja häiriöitä, koska kantin Fourier-muunnospari on sinc-funktio.
Tätä kutsutaan katkaisuefektiksi ja sen takia ideaalisia suodattimia ei juurikaan voi käyttää käytännön
sovellutuksissa. Aiheesta on ollut enemmän digitaalisen signaalinkäsittelyn kursseilla.
3.1 FOURIER-INTEGRAALIN SUPPENEMINEN
Yleisesti voidaan todeta, että funktiolla f(t) on määritelty Fourier-muunnos, mikäli Fouriermuunnosintegraali
suppenee, eli saa äärellisen arvon integroimisvälillä. Suorakaidepulssin pinta-ala
selvästikin on äärellinen. Sehän on pulssin korkeus kerrottuna pulssin pituudella. Integraali voi supeta
myös, vaikka funktio f(t) ei koskaan saavuta nollaa tarkasteluvälillä. Silloin kuitenkin vaaditaan, että f(t)
lähenee asymptoottisesti nollaa, eli f(t) → 0 kun t → ∞. Tarkastellaan seuraavaksi yhtä tällaista funktiota,
vaimenevaa eksponentiaalia. Tällaiseen käyttäytymiseenhän törmättiin mm. TST:ssä tasaantumispiirien
yhteydessä.
f (t)
Esimerkki: Laskettava vaimenevan eksponentiaalin
K
f(t)=Ke -at Fourier-muunnos.
Funktio näyttää oheisen kuvan mukaiselta. Se lähtee
arvosta K ajanhetkellä t=0, koska f(0)=e 0 =1. Se lisäksi
f ( t)
= Ke
−at
t
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
26
lähenee asymptoottisesti nollaa kun t kasvaa rajatta. Funktion arvo on nolla, kun t

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
27
Tämähän ei ole mitään muuta kuin yksikkökanttipulssin matemaattinen määritelmä. Se kuvaa kanttia,
joka sekä pituus että korkeus (siten myös pinta-ala) on =1. Pulssin keskikohta on origossa (t=0),
alkureuna ajanhetkellä -1/2 ja loppu ajanhetkellä +1/2.
Esimerkki: Kanttipulssi (korkeus A, pituus Τ) esitettynä rect-funktion avulla.
f ( t)
= Arect(
t / T )
Nyt voidaan Fourier-muunnospari kirjoittaa muodossa
Arect( t / T ) ⇔ ATsinc(
fT )
□
3.2.2 SIGNUM-FUNKTIO
⎧ 1,
⎪
sgn( t)
= ⎨ 0,
⎪
⎩−1,
t > 0
t = 0
t < 0
+1
sgn( t)
Funktio saa siis arvon -1, kun ollaan negatiivisilla arvoilla,
nollan origossa ja arvon +1 positiivisilla arvoilla
0
−1
t
3.2.3 YKSIKKÖASKELFUNKTIO
⎧1,
⎪ 1
u( t)
= ⎨ 2
,
⎪
⎩0,
t > 0
t = 0
t < 0
+1
0
u(t)
t
1
u(
t)
= t +
2
[ sgn( ) 1]
3.2.4 DIRACIN DELTA-FUNKTIO ELI YKSIKKÖIMPULSSI
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
28
⎧δ
( t)
= 0, t ≠ 0
⎪ ∞
⎨
⎪ ∫δ
( t)
dt = 1
⎩ −∞
Kyseessä on siis funktio, jonka leveys on nolla, korkeus ääretön, pinta-ala = 1 ja joka on nolla kaikkialla
muualla paitsi origossa. Aika vekkuli kaveri siis ☺ Lienee selvää, että mikään tavanomainen funktio ei
täytä tätä määritelmää. Sen voidaan ajatella olevan yksikköpulssin ääritapaus, kun pulssin leveys lähenee
nollaa ja pinta-ala pysyy vakiona:
1 ⎛ t ⎞
δ ( t)
= lim rect⎜
⎟
t → 0 τ ⎝τ
⎠
Delta-funktion ominaisuuksia:
1. Parillisuus: δ(t)=−δ(t)
2. Pisteessä t=0 määritellyn funktion g(t) ja delta-funktion δ(t) tulon integraali antaa funktion g arvon
pisteessä t=0.
∞
∫
−∞
g( t)
δ ( t)
dt = g(0)
3. Replikointiominaisuus: Edellinen tulos voidaan yleistää kirjoittamalla se muotoon
∞
∫
−∞
g t)
δ ( t − t ) dt = g(
)
(
0
t0
Koska delta-funktio on parillinen, tämä voidaan edelleen kirjoittaa muotoon
∞
∫
−∞
g ( τ ) δ ( t −τ
) dτ
= g(
t) * δ ( t)
= f ( t)
missä integroimismuuttaja on vaihdettu t 0 :sta τ:ksi. Tätä integraalia kutsutaan konvoluutiointegraaliksi
ja sitä symboloi *-merkki. Palataan konvoluuutioteoreemaan myöhemmin tarkemmin. Nyt riittää
tietää, että funktion konvoluutio delta-funktion kanssa tuottaa tulokseksi alkuperäisen funktion.
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
29
4. Delta-funktion Fourier-muunnos saadaan kaavasta
I{
δ ( t)}
=
⇒ δ ( t)
⇔ 1
Siis delta-funktion Fourier-muunnos on
vakio (=1) kaikilla taajuuksilla -∞ → ∞.
Tulos on saatu ominaisuuden 2
δ ( t)
e
dt = 1
perusteella. Sehän sanoi, että deltafunktion
ja minkä tahansa funktion tulon
määrätyn integraalin arvo on sama kuin 0
t
kyseisen funktion arvo nollassa. Eksponenttifunktion arvo nollassa on e 0 =1.
∫ ∞ ∞ −
− jωt
δ (t)
⇔
I{ δ ( t)}
1
0
3.2.5 DIRACIN KAMPAFUNKTIO ELI IDEAALINEN NÄYTTEENOTTOFUNKTIO
Ideaalinen näytteenottofunktio koostuu äärettömästä jonosta tasavälein olevia yksikköimpulsseja.
δ ( t)
= δ ( t − mT0
)
0 ∑ ∞ T
m=
−∞
Aika-alueessa periodisen deltafunktiojonon Fourier-muunnos koostuu jonosta periodisia deltafunktioita
taajuustasossa:
∞
∑
m=−∞
1 n
δ ( t − mT
f − )
T
∞
0
) ⇔ ∑ δ (
T0
n=−∞
0
Erikoistapauksessa, jolloin jakso T 0 =1s, on
periodisen impulssijono Fourier-muunnos
itse impulssijono.
δ T0
( t)
⇔
I{ δ T0
( t)}
− 2T 0
−T 0
0
T0
2T0
t
2
−
T
0
1
−
T
0
0
1 2 3 4
T0
T0
T0
T0
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
30
3.3 RAJA-ARVON AVULLA LASKETTU FOURIER-MUUNNOS
Monille käytännössä tärkeille funktioille joudutaan Fourier-muunnos laskemaan edellä esitettyjen
erikoisfunktioiden avulla. Tämä tapahtuu siten, että lähdetään liikkeelle jostain tunnetusta funktiosta, ja
annetaan sitten sen lähestyä raja-arvonaan kiinnostuksen kohteena olevaa funktiota. Havainnollistetaan
menetelmää muutaman esimerkin avulla.
3.3.1 VAKIOFUNKTION FOURIER-MUUNNOS
Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista kaksisuuntaista
eksponenttifunktiota
10
f ( t)
= Ae
−ε|
t|
A ja ε ovat vakioita, jotka määräävät, miten f(t)
käyttäytyy. Kuvassa A=10 ja ε:lla on alhaalta ylöspäin
luettuna arvot 1, 0,5 ja 0,1. Nähdään, että kun ε → 0,
f(t) → A, eli se lähenee muodoltaan vakiofunktiota.
5
0
-5 -3 -1 1 3 5
f(t):n Fourier-muunnos on
F(
ω)
=
0
∫
−∞
Ae
A
0
= / e
ε − jω
−∞
εt
e
− jωt
( ε − jω
) t
dt +
A A 2εA
= + =
2 2
ε − jω
ε + jω
ε + ω
∞
∫
0
Ae
−εt
e
A
∞
− / e
ε + jω
0
− jωt
dt = A
−(
ε + jω
) t
0
∫
−∞
e
( ε − jω
) t
dt + A
0
( −ε
− jω
) t
A
A
= (1 − 0) − (0 −1)
ε − jω
ε + jω
∞
∫
e
dt
Huomaa, että integraali on laskettava kahdessa osassa, koska funktio f(t) on määritelty erikseen
negatiivisella ja positiivisella osalla aika-aluetta. Kun ε → 0, havaitaan, että F(ω) lähestyy
yksikköimpulssia kulmataajuudella ω =0. Jätetään asian osoittaminen harjoitustehtäväksi.
F(ω):n
pinta-ala
saadaan integroimalla
∞
2εA
dω
F(
ω)
= ∫ dω
= 4εA
= 2πA
2 2
2 2
ε + ω
∫
ε + ω
−∞
∞
0
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
31
Siis pinta-ala on riippumaton ε:n valinnasta. Viimeisessä vaiheessa on
käytetty oheista taulukoitua määrätyn integraalin laskukaavaa:
Funktio f(t) siis lähestyy raja-arvonaan vakiofunktiota A, ja sen Fourier-muunnos F(ω) lähestyy
impulssifunktiota 2πAδ(ω), eli
I( A)
⇔ 2πAδ
( ω)
∞
∫
0
adx
2
a + x
2
π
⎧
2
, a > 0
⎪
= ⎨ 0 a = 0
⎪ π
⎩−
2
, a < 0
Tämähän on ihan sama tulos, joka johdettiin delta-funktion yhteydessä toiseen suuntaan ! Edessä oleva
tekijä 2π tulee mukaan siitä, että käänteismuunnoksen kaavassa on edessä tekijä 1/2 π. Esimerkiksi
sähkötekniikassa tulos voidaan tulkita siten, että signaalin DC- eli tasavirta(-jännite)komponentti on
nollataajuinen. Tämähän on toisaalta itsestään selvää …
3.3.2 SIGNUM-FUNKTION FOURIER-MUUNNOS
Signum-funktio voidaan esittää yksikköaskelfunktion avulla kaavalla
sgn(t)=u(t)-u(-t)
Muodostetaan tämän avulla funktio, joka lähestyy sgn(t):tä kun ε
menee kohti nollaa:
1
f (t)
e −εt
u(t)
sgn( t)
= lim
ε →0
−εt
εt
[ e u(
t)
− e u(
−t)
]
0
t
Tällä funktiolla selvästikin on olemassa Fourier-muunnos, koska
integraali suppenee sekä positiivisella että negatiivisella puolella:
ε
e t
u( −t)
−1
I(
f ( t))
=
0
∫
−∞
e
1
0
= / e
ε − jω
−∞
e
εt
− jωt
( ε − jω
) t
dt −
0
−εt
− jωt
1
∞
+ / e
ε + jω
0
dt =
−(
ε + jω
) t
1 1 − ε − jω
− ( ε −
= − − =
2 2
ε − jω
ε + jω
ε + ω
∞
∫
e
e
0
∫
−∞
e
( ε − jω
) t
dt −
∞
∫
jω)
− 2 jω
=
2 2
ε + ω
0
e
−(
ε + jω
) t
dt
1
1
= ( −1−
0) + (0 −1)
ε − jω
ε + jω
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
32
Kun ε → 0
Saatiin siis tulos
− 2 jω
I( f ( t))
= lim
ε →0
2 2
ε + ω
=
− 2 j
ω
=
2
jω
I(sgn( t))
=
2
jω
10
Fourier-muunnos on imaginäärinen. Sen itseisarvo
näyttää oheisen kuvan mukaiselta. Funktio lähestyy -∞
kun ω lähestyy nollaa negatiiviselta puolelta, ja +∞, kun
ω lähestyy nollaa positiiviselta puolelta.
0
-5 -3 -1 1 3 5
-10
3.3.3 YKSIKKÖASKELFUNKTION FOURIER-MUUNNOS
Käytetään hyväksi Fourier-muunnoksen lineaarisuusominaisuutta (superpositioperiaate), joka seuraa
suoraan muunnosintegraalin määritelmästä. Palataan siihen tarkemmin hetken päästä.
u(
t)
=
⇒ I
1
2
{ u(
t)
}
1
+ sgn( t)
2
⎧1⎫
⎧1
⎫
= I⎨
⎬ + I⎨
sgn( t)
⎬
⎩2⎭
⎩2
⎭
Lineaarisuusominaisuus siis tarkoittaa sitä, että summan Fourier-muunnos voidaan laskea siten, että
lasketaan erikseen termien Fourier-muunnokset ja summataan ne yhteen. Ensimmäinen termi on
selvästikin vakiofunktio, joka saa arvon 1/2 kaikilla ajanhetkillä. Siten sen Fourier-muunnos on
varmaankin delta-funktio. Edellä osoitettiin, että
Nyt A=1/2, joten
Jälkimmäinen termi antaa
I( A)
⇔ 2πAδ
( ω)
1 1
I( ) ⇔ 2π δ ( ω)
= πδ ( ω)
2 2
1 1 2 1
I(
sgn( t))
= =
2 2 jω jω
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
33
Siitä seuraa, että
⇒ I
{ u t)
}
( = πδ ( ω)
+
1
jω
3.3.4 TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN FOURIER-MUUNNOKSET
Tarkastellaan funktiota cosω 0 t . Se voidaan kirjoittaa eksponenttimuodossa
cosω
0
1
2
jω0t
− jω
t
[ e + e ]
0
t =
Käytetään hyväksi Fourier-muunnoksen taajuussiirto-ominaisuutta, joka sanoo että
e
jω
g( t)
⇔ 2πG(
ω −
0
)
0 t
ω
Erityisesti, jos funktio G(ω-ω 0 ) on delta-funktio, on g(t)=1. Silloin
e
jω
⇔ 2πδ
( ω −
0
)
0 t
ω
Muunnos voidaan nyt kirjoittaa muodossa
jω0t
− jω0t
{ I(
e ) + I(
e )}
1
I(cosω
0t)
=
2
1
=
0
2
= πδ ( ω −ω
) + πδ ( ω + ω )
{ 2πδ
( ω −ω
) + 2πδ
( ω + ω )}
0
0
0
Mikä tarkoittaa sitä, että kosinifunktion spektri koostuu kahdesta delta-funktiosta taajuuksilla ±ω 0.
Vastaavalla tavalla voidaan johtaa sinille kaava
1
I(sinω 0t)
=
0
+ ω
0
j
[ πδ ( ω −ω
) −πδ
( ω )]
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
34
1
−1
1 2π
=
f ω
0
cos( ω t) 0
0
−ω 0
ω0
ω
t
⇔
1
1
sin( ω t) 0
t
⇔
−
−ω 0
ω
1 2π
=
f ω
0
0
ω 0
Saatu tulos on varsin odotettu. Kun sinimuotoinen signaali sisältää vain yhden taajuuden f 0 , kyseinen
taajuus näkyy taajuustasossa yhtenä piikkinä. Mitä negatiiviset taajuudet sitten todellisuudessa ovat ? Ei
kannata vaivata niillä päätään ☺ Käytännössä taajuustaso katkaistaan puoliksi siten, että tarkastelun
kohteena ovat ainoastaan positiiviset taajuudet. Negatiivinen osa on siinäkin mielessä turha, että sen
tiedetään olevan tarkka peilikuva (mahdollista vaihe-eroa lukuunottamatta) positiivisesta.
3.4 FOURIER-MUUNNOKSEN OMINAISUUKSIA
Kootaan seuraavaksi yhteen Fourier-muunnoksen ominaisuudet ja lasketaan muutaman tärkeän
funktiotyypin muunnokset näitä ominaisuuksia käyttäen. Osa, kuten lineaarisuus ja taajuussiirto,
tulivatkin jo edellä.
3.4.1 VAKIOLLA KERTOMINEN
Jos K vakio ja
I
{ f ( t)
} ⇔ F(
ω)
Niin
Siis funktion f(t)
{ ( t)
} KF(
ω)
I Kf ⇔
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
35
kertominen vakiolla K vastaa muunnoksen F(ω) kertomista samalla luvulla.
3.4.2 LINEAARISUUS (SUPERPOSITIO)
Jos funktioiden f 1 (t), f 2 (t) ja f 3 (t) ovat F 1 (ω),F 2 (ω) ja F 3 (ω), niin
I
( f
1(
t)
− f
2
( t)
+ f3
( t))
= F1
( ω)
− F2
( ω)
+ F3
( ω)
Todistus seuraa suoraan määrätyn integraalin laskulaeista.
3.4.3 AJAN SKAALAUS
Kun aikaskaalaa venytetään, taajuusskaala kutistuu ja päinvastoin, eli
1 ⎛ω
⎞
f ( at)
⇔ F⎜
⎟,
a > 0
| a | ⎝ a ⎠
Kun 0

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
36
Jos a > 0, funktiota siirretään vasemmalle (negatiivisen ajan suuntaan). Jos a < 0, funktiota siirretään
oikealle (positiivisen ajan suuntaan). Aikasiirto muuttaa vaihetta, mutta jättää funktion itseisarvon
muuttumattomaksi.
Esimerkki: Tarkastellaan kanttipulssia f(t),
joka alkaa ajanhetkellä t=0 ja loppuu hetkellä
t
rect( ) T
t −T
rect (
T
/ 2
)
t + T
rect (
T
/ 2
)
t=T. Nyt pulssia on siirretty T/2:n verran
positiiviseen suuntaan verrattuna rect-
−T / 2 T / 2
t
0 T
t
−T
0
t
funktion määritelmään. Silloin pulssi voidaan esittää muodossa
f ( t)
=
⎛ t − T / 2 ⎞
Arect⎜
⎟
⎝ T ⎠
Rect-funktion Fourier-muunnos oli
Arect( t / T ) ⇔ ATsinc(
fT )
Nyt voidaan käyttää aikasiirtoa (a -> T/2), jolloin
T − jπfT
f ( t − ) ⇔ e ATsinc(
fT )
2
Jos pulssi siirretään T/2:n verran negatiiviseen suuntaan, saadaan vastaavasti
□
T jπfT
f ( t + ) ⇔ e ATsinc(
fT )
2
3.4.5 TAAJUUSSIIRTO
Taajuustason siirto ω 0 :n verran vastaa kertomista termillä e jω0t :
e
jω
f ( t)
⇔ F(
ω −
0
)
0 t
ω
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
37
Esimerkki: Radiotaajuuspulssi (RF-pulssi). Pulssi koostuu äärellisen pituisesta (T) siniaallosta,
jonka amplitudi on A ja taajuus f c .. Nimi tulee siitä, että yleensä tämän tyyppistä pulssia käytetään
radiotaajuusalueella esimerkiksi tutkissa.
Signaali on muotoa
t
g( t)
= Arect(
) cos(2πf
ct)
T
A
g(t)
1
f c
t
Fourier-muunnoksen laskemiseksi muutetaan
kosini ensin eksponenttimuotoon:
−T
/ 2
−T / 2
T
g(
t)
=
Arect(
t
T
⎡1
)
⎢
e
⎣2
1
+ e
2
⎤ 1 t
⎥
= Arect(
) e
⎦ 2 T
1 t
+ Arect(
) e
2 T
j2πf
ct
− j2πfct
j2πfct
− j2πfct
Verrataan oikeanpuoleista lauseketta taajuussiirron kaavaan. Havaitaan, että sehän on täysin samaa
muotoa, eli tässä tapauksessa funktio f(t)=1/2Arect(t/T) kerrottuna eksponenttitermillä. Rect-funktion
Fourier-muunnos me osataan laskea:
Arect( t / T ) ⇔ ATsinc(
fT)
Nyt voidaan käyttää taajuussiirto-ominaisuutta, jolloin
t j 2πfct
Arect(
) e ⇔ ATsinc[ ( f − f
c
) T ]
T
t − j2πf
ct
Arect(
) e ⇔ ATsinc
( f + f
c
) T
T
RF-pulssin g(t) Fourier-muunnos G(f) on siten
[ ]
AT
I(
g(
t))
= G(
f ) =
+
2
{ sinc[ ( f − f ) T ] + sinc[ ( f f T ]}
c c
)
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
38
Se siis koostuu kahdesta taajuuksilla - f c ja + f c olevasta sinc-pulssista. Huomaa katkaisuefektin
vaikutus ! Koska käytännön pulssit ovat AINA äärellisen mittaisia, taajuustasossa on aina enemmän tai
vähemmän sinc-funktion aiheuttamaa oskillointia. □
Edellisessä esimerkissä on itseasiassa kyse amplitudimodulaatiosta. Tulos voidaankin yleistää:
3.4.6 AMPLITUDIMODULAATIO
Amplitudimodulaatiossa sinimuotoisen kantoaallon amplitudia muutetaan lähetettävän signaalin tahtiin.
Kantoaalto on vakiotaajuinen ja informaatiota välittävä signaali sisältyy amplitudin muutoksiin. Jos
moduloivaa signaalia merkitään f(t):llä, moduloitu kantoaalto on muotoa f(t)cosω 0 t. Kantoaallon
amplitudispektri on yhtä kuin f(t):n amplitudispektri jakautuneena tasan taajuuksien ±ω 0 välille:
3.4.7 DERIVOINTI
I
{ f t) cosω t} = F(
ω −ω
) + F(
ω + )
Funktion f(t) Fourier-muunnoksen 1. derivaatta on
1
2
1
2
(
0 0
ω
0
⎧df
( t)
⎫
I⎨
⎬ =
⎩ dt ⎭
jωF(
ω)
Yleisesti n:s derivaatta määritellään kaavalla
n
⎧d
f ( t)
⎫
n
I⎨
= ( jω)
F(
ω)
n ⎬
⎩ dt ⎭
Derivointi aikatasossa tarkoittaa siis sitä, että muunnoksessa korkeat taajuudet vahvistuvat
verrannollisena tekijään jω. Tulos voidaan todistaa varsin suoraviivaisesti: Derivoidaan f(t) ajan suhteen.
Derivoinnin ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa:
∞
∞
jωt
jωt
( H ( ω)
e ) dt = jω
H ( ω)
e dt = jωf
( )
df ( t)
d
f ( t)
= jωt
∫ H ( ω)
e dt ⇒ =
t
dt
∫
dt
∫
−∞
∞
−∞
−∞
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
39
Jos f(t) ⇔ F(ω), niin edellä esitetyn vakiolla kertomissäännön mukaan
⎧df
( t)
⎫
I⎨
⎬ = I
⎩ dt ⎭
{ jωf
( t)
} ⇔ jωF(
ω)
3.4.8 INTEGROINTI
Jos
t
∫
−∞
g ( t)
= f ( x)
dx
niin
Kaava on voimassa, mikäli
I
{ g t)
}
( =
F(
ω)
jω
Integroinnin vaikutus on, kuten odottaa sopiikin, juuri päinvastainen derivoinnille. Integrointi
vaimentaa korkeat taajuudet ω:hen verrannollisesti.
Esimerkki: Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista bipolaarista kanttipulssia (duplettipulssi) g 1 (t). Kun
pulssi integroidaan ajan suhteen, saadaan, kuinka paljon kantin pinta-alaa tiettyyn ajanhetkeen mennessä
on kertynyt. Positiivisella puolijaksolla pinta-ala
kasvaa ja ollaan kolmion nousevalla reunalla. Kantin
negatiivisella puolijaksolla ollaan kolmion laskevalla
reunalla. Nettopinta-ala on nolla. Tällaisilla
bipolaarisia pulsseja käytetään esimerkiksi
magneettikuvauksessa
protonien
radiotaajuusvirityksen yhteydessä (tarkemmin
mittalaitekurssilla).
∞
∫
−∞
f ( x)
dx = 0
g
1(
t)
g 2
( t)
AT
A
Tehtävänä on lasketa kolmiopulssin g 2 (t) Fourier-muunnos G 2 (f). Tämä tapahtuu helpoiten siten, että
lasketaan ensin g 1 (t).n Fourier-muunnos G 1 (f), ja käytetään integraalin muunnoksen määritelmää. Kantin
−T
− A
T
t
− T
T
t
t + T / 2
rect( ) ⇔
T
ATsinc(
fT ) e
jπfT
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
40
positiivinen puolijakso on täsmälleen sama, jolle laskettiin muunnos aikasiirron yhteydessä:
Vastaavasti, negatiivinen puolijakso on muotoa
t − T / 2
− rect(
) ⇔ −ATsinc(
fT ) e
T
− jπfT
missä miinusmerkki tulee siitä, että se on invertoitunut (nurinpäin). Nyt voidaan kirjoittaa suoraan G 1 (f)
käyttäen hyväksi lineaarisuussääntöä:
G1(
f ) = ATsinc(
fT ) e
= ATsinc(
fT )
jπfT
jπfT
− jπfT
[ e − e ]
= 2 jATsinc(
fT )sin( πfT
)
− ATsinc(
fT)
e
− jπfT
Viimeisessä vaiheessa on käytetty Eulerin muunnoskaavaa sinille. Kolmioaalto on kantin integraali.
Siten kolmion ja kantin Fourier-muunnosten välillä on yhteys
G ( f ) =
2
1
G1
( f ) =
j2πf
sin( πfT
)
= AT sinc( fT ) = AT
πf
= AT
2
2
sinc ( fT )
1
2 jATsinc(
fT )sin( πfT
)
j2πf
2
sin( πfT
)
sinc( fT )
πfT
8
Kolmioaallon Fourier-muunnos on siis
sinc-funktion neliö. Oheisessa kuvassa on
esitetty sincin ja sen neliön kuvaajat.
Kolmioaallon spektri on keskittynyt
enemmän nollataajuuden ympäristöön
(tässä maksimi on 64) ja se vaimenee
6
4
2
0
-10 -5 0 5 10
-2
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
41
nopeammin. Vaimeneminen on sinc 2 :lle verrannollinen tekijään 1/f 2 , kun se sincille on verrannollinen
1/f:ään.
3.4.9 KONVOLUUTIO AIKATASOSSA
Jos funktio y(t) on funktioiden x(t) ja h(t) konvoluutio, eli
∞
y ( t)
= ∫ x(
λ)
h(
t − λ)
dλ
= x * h
−∞
niin
I( y ( t))
= Y ( ω)
= X ( ω)
H ( ω)
Missä Y, X, ja H ovat y:n, X:n ja h:n Fourier-muunnokset. Toisin sanoen kahden funktion konvoluutio
aikatasossa siis vastaa niiden Fourier-muunnosten kertomista taajuustasossa. Konvoluutioteoreema on eräs
keskeisimpiä Fourier-muunnosten sovellutuksia. Palataan siihen myöhemmin tarkemmin.
3.4.10 KONVOLUUTIO TAAJUUSTASOSSA
Jos funktioiden f 1 (t) ja f 2 (t) tulo on
f(t)= f 1 (t) f 2 (t)
niin
∞
1
F( ω)
= ∫ F 1(
u)
F2
( ω − u)
du
2π
−∞
missä F, F 1 ja F 2 ovat vastaavien pienten kirjainten Fourier-muunnokset. Tulos on siis juuri
päinvastainen kuin edellä.
3.5 KAISTARAJOITETUT SIGNAALIT JA KAISTANLEVEYS
Edellisistä esimerkeistä kävi varmasti ilmi, että aika- ja taajuustaso ovat kääntäen verrannollisia
toisiinsa. Jos signaalin ominaisuudet kiinnitetään jommassakummassa tasossa, se samalla yksikäsitteisesti
kiinnittää ne myös toisessa. Signaalin sanotaan olevan tiukasti kaistarajoitettu taajuustasossa, jos se sisältää
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
42
vain tietyn taajuuskaistan sisällä nollasta eroavia taajuuksia ja on nolla tämän taajuuskaistan
ulkopuolella. Tällainen signaali on aina asymptoottisesti kaistarajoitettu aikatasossa. Esimerkiksi sinc-pulssi
aikatasossa on asymptoottisesti kaistarajoitettu. Se saa yhä pienempiä ja pienempiä arvoja, kun t →±∞,
mutta se ei mene koskaan nollaksi. Sen Fourier-muunnos on kantti, joka sisältää vain tietyllä välillä
olevia taajuuksia ja on nolla aina kantin ulkopuolella. Tämä on selvästikin tiukasti kaistarajoitettu
signaali. Signaali ei voi olla yhtä aikaa tiukasti kaistarajoitettu sekä aika- että taajuustasossa.
Kaistaleveys mittaa sitä, kuinka laajalla taajuusalueella (-kaistalla) signaalin spektrissä on merkittävästi
nollasta eriäviä taajuuksia. Tiukasti kaistarajoitetulle signaalille kaistaleveys on helposti määritettävissä,
esimerkiksi kanttipulssin pituus. Asymptoottisesti rajoitetuille signaaleilla joudutaan sopimaan jokin
muu määritelmä kaistanleveydelle. Tällaisille se voidaan määritellä ylä- ja alarajataajuuksien erotuksena
(kuten TST:n labroissa). Jos signaalin spektrissä on selvästi erottuva päämaksimi, jota erottaa
sivumaksimeista nollat (esim. sinc), on kaistaleveys päämaksimin molemmin puolin olevien nollakohtien
väli. Toinen varsin paljon käytetty kaistaleveyden mitta on määritelty -3 dB:n rajojen avulla.
Rajataajuudet ovat silloin ne taajuudet, joilla signaali on vaimentunut kertoimella 0,707 maksimiarvosta.
3.6 NÄYTTEENOTTOTEOREEMA
Näytteenotto (sampling) on perusoperaatio, jolla analoginen signaali muutetaan digitaaliseksi.Sen
avulla signaalista otetaan (yleensä) tasaisin väliajoin näytteitä. On tärkeää valita näytteenottotaajuus
oikein, jotta näytejono
yksikäsitteisesti kuvaa signaalin.
Tarkastellaan oheista jatkuvaa
energiasignaalia g(t). Kun g(t) :stä
otetaan näytteitä joka T s sekunnin
välein, saadaan uusi diskreetti
signaali g δ (t). T s :n käänteisluku on näytteenottotaajuus f s =1/T s .. Signaali g δ (t) on siis funktiolla g(t) painotettu
Diracin kampafunktio. Menemättä tässä teorian johtoon sen tarkemmin, voidaan näytteenottoteoreema
esittää muodoissa:
g(t)
t
g δ
(t)
T (s)
t
− Kaistarajoitettu energiasignaali, jonka suurin taajuuskomponentti on W hertsiä, on täysin määrätty,
kun signaalista otettujen näytteiden väli on enintään 1/2W sekuntia.
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006

TL908Z SIGNAALITEORIA, OSA II
43
− Kaistarajoitettu energiasignaali, jonka suurin taajuuskomponentti on W hertsiä, voidaan palauttaa
alkuperäiseksi siitä otettujen näytteiden perusteella, jos näytteenottotaajuus on 2W hertsiä.
Edellä on esitetty ns. Nyqvistin kriteeri. Rajataajuutta 2W sanotaan Nyqvistin taajuudeksi. End of part
two…
OULUN SEUDUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN YKSIKKÖ
©JUKKA JAUHIAINEN 2006