1. JOHDANTO 1.1 Pari esimerkkiä Esimerkki 1.1 Laadunvalvontaa ...

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-1
TTY Pori
1. JOHDANTO
1.1 Pari esimerkkiä
Esimerkki 1.1 Laadunvalvontaa
Siuro Oy:n nuori laadunvalvontainsinööri on ottanut 100 puhelimen
näytteen tuotantolinjalta. Puhelimista 10 osoittautuu viallisiksi.
Firman johtaja on kuitenkin mahtipäätöksellään määrännyt, että yhtiö
suvaitsee korkeintaa 5% viallisia puhelimia tuotannosta.
Onko tuotantolinja kunnossa?

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-2
TTY Pori
Esimerkki 1.2 Biologiaa
Biologi P. Petäjä tutkii mäntyjen ja juurisienien vuorovaikutuksia.
Hänellä on kasvihuoneessa kaksi tutkimusaluetta, joista toisessa
männyntaimille annetaan typpilannoitetta toisessa ei. Ohessa juurien
paino grammoina 140 päivän jälkeen
Ei typpeä
Typpeä
0.32 0.26
0.53 0.43
0.28 0.47
0.37 0.49
0.47 0.52
0.43 0.75
0.36 0.79
0.42 0.86
0.38 0.62
0.43 0.46
Eroavatko populaatiot toisistaan?
1
männyn taimet
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
juuren paino g

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-3
TTY Pori
2
1
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Values

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-4
TTY Pori
1.2 Tilastollisia tunnuslukuja
Otoskeskiarvo
x =
n
∑
i=1
x i
n
Otosmediaani
Järjestetään havainnot suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan
– tällöin otoksen mediaani
x ˜ =
⎪
⎧
⎨
⎩ ⎪
x ( n+1)/2
x n 2
+ x n 2+1
2
n pariton
n parillinen
Esim 1.3 Eräs ryhmä sai matematiikan kokeesta seuraavat
pistemäärät:
{ 32,20,26,27,11,34,36,31,35,23,25,35, 41,36,26,43,34}
Laske ryhmän keskiarvo ja mediaani

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-5
TTY Pori
1
10 15 20 25 30 35 40
Values

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-6
TTY Pori
Otosvarianssi
s 2 =
n
∑
i=1
( x i − x ) 2
n −1
Otoskeskihajonta
s = s 2
Esim 1.4 Laske esimerkin 1.2 näytteiden otosvarianssit ja
keskihajonnat
Ei typpeä
Typpeä
0.32 0.26
0.53 0.43
0.28 0.47
0.37 0.49
0.47 0.52
0.43 0.75
0.36 0.79
0.42 0.86
0.38 0.62
0.43 0.46

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-7
TTY Pori
1.5
männyn taimet
1
0.5
0
-0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
juuren paino g
2
1
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Values

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-8
TTY Pori
1.3 Datan kuvaaminen graafisesti
Esim 1.5 Esimerkin 1.2 juurinäytteiden histogrammit
3
ei N 2
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
6
N 2
5
4
3
2
1
0
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
Ei typpeä
Typpeä
0.32 0.26
0.53 0.43
0.28 0.47
0.37 0.49
0.47 0.52
0.43 0.75
0.36 0.79
0.42 0.86
0.38 0.62
0.43 0.46

Todennäköisyyslaskenta © J.T. Tanttu 12.1.2006 1-9
TTY Pori
Esim 1.6 Oheisessa kuvassa on suhteellisten esiintymistiheyksien
histogrammi IMA 1A:n pistemääristä neljälle eri ryhmällä – ovatko
jakaumat samoja?
0.4
R1 pistemääröt
0.35
R2 pistemääröt
0.3
0.3
0.25
0.2
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0.35
R3 pistemääröt
0.35
R4 pistemääröt
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45