9 MATRIISIN ASTE Riviavaruus Vastaavasti kuten matriisin A Rm n ...

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-1
TTY, Pori
9 MATRIISIN ASTE
Riviavaruus
Vastaavasti kuten matriisin A !! m"n sarakkeet virittävät
sarakeavaruuden myös matriisin A rivit virittävät vektoriavaruuden
Row(A) ! ! n . Helposti nähdään, että
Row(A) = Col(A T )
Lause 9.1 Riviekvivalenteilla matriiseilla A!ja!B, A ! B, on sama
riviavaruus. Jos matriisi B on porrasmuodossa, niin matriisin B
nollasta poikkeavat rivit muodostavat sekä A:n että B:n riviavaruuden
kannan.
Esim 9.1 Määritä matriisin
A =
"!2 !5 !!8 0 !17%
$
1 !3 !!5 1 !!!5
'
$
'
$ 3 11 !19 7 !!!1 '
$
'
# 1 !7 !13 5 !!3 &
rivi-, sarake- ja nolla-avaruuden kannat.

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-2
TTY, Pori
% P2 Esim 9.1
% Lay p. 280
% © Juha T. Tanttu, 2008-08-28
A = [-2 -5 8 0 -17;
1 3 -5 1 5;
3 11 -19 7 1;
1 7 -13 5 -3]
Ar = rref(A)
Nul_A = null(A)
ATr = rref(A')
A =
-2 -5 8 0 -17
1 3 -5 1 5
3 11 -19 7 1
1 7 -13 5 -3
Ar =
1 0 1 0 1
0 1 -2 0 3
0 0 0 1 -5
0 0 0 0 0
Nul_A =
-0.3571 -0.3804
0.8421 -0.1160
0.3827 0.2051
-0.1279 0.8769
-0.0256 0.1754

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-3
TTY, Pori
Matriisin aste - rank(A)
Matriisin A !! m"n riviaste on lineaarisesti riippumattomien rivien
lukumäärä.
Matriisin A !! m"n sarakeaste on lineaarisesti riippumattomien
sarakkeiden lukumäärä
Voidaan osoittaa, että
riviaste = sarakeaste = rank( A)
= matriisin A riviredusoidun porrasmuodon, rref( A),
nollasta poikkeavien rivien lukumäärä
" 1 0 ! 0 0 ! ! !%
$
0 1 ! 0 0 ! ! !
'
$
'
$ " " " " " " '
$
'
$
0 0 ! 0 1 ! ! !
'
$ 0 0 ! 0 0 0 ! 0'
$
'
$ " " " " " " '
# $ 0 0 ! 0 0 0 ! 0&
'

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-4
TTY, Pori
Lisää matriisin asteesta
Matriisin A riviredusoidun muodon rref ( A) ei-nollarivien lukumäärä
on hyvin määritelty parametri
" 1 0 ! 0 0 ! ! !%
$
0 1 ! 0 0 ! ! !
'
$
'
$ " " " " " " '
$
'
$
0 0 ! 0 1 ! ! !
'
$ 0 0 ! 0 0 0 ! 0'
$
'
$ " " " " " " '
# $ 0 0 ! 0 0 0 ! 0&
'
Lause 9.2 Jos A ja B saadaan toisistaan alkeisrivimuunnoksilla, niin
rank(A) = rank(B).

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-5
TTY, Pori
Sovellutus: yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen lukumäärä
# 1 0 ! 0 0 ! ! ! c 1 &
%
0 1 ! 0 0 ! ! ! c
(
%
2
(
%" " " " " " " (
%
(
%
0 0 ! 0 1 ! ! ! c r (
% 0 0 ! 0 0 0 ! 0 " (
%
(
% 0 0 ! 0 0 0 ! 0 0 (
%" " " " " ! " " (
%
(
$ 0 0 ! 0 0 0 ! 0 0 '

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-6
TTY, Pori
Sama lohkokaaviona

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-7
TTY, Pori
Lisää tuloksia matriisin asteelle
Lause 9.3 Matriisin aste teoreema
Matriisille A !! m"n pätee
rank(A) + dim(Nul(A)) = n
" 1 0 ! 0 0 ! ! !%
$
0 1 ! 0 0 ! ! !
'
$
'
$ " " " " " " '
$
'
$
0 0 ! 0 1 ! ! !
'
$ 0 0 ! 0 0 0 ! 0'
$
'
$ " " " " " " '
# $ 0 0 ! 0 0 0 ! 0&
'

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-8
TTY, Pori
Lause 2.10 s. MAT 2-13
Olkoon A n ! n reaalimatriisi. Silloin seuraavat lauseet ovat
ekvivalentteja. Toisin sanoen tietylle matriisille A lauseet ovat joko
kaikki tosia tai kaikki epätosia.
a. A on säännöllinen matriisi.
b. A on riviekvivalentti matriisin I n
kanssa
c. Matriisilla A on n tukialkiota.
d. Yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu.
e. Matriisin A sarakkeet muodostavat lineaarisesti
riippumattoman joukon.
f. Lineaarinen kuvaus x ! Ax on bijektio.
g. Yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu.
h. Matriisin A sarakkeet virittävät joukon ! n .
i. On olemassa C !! n"n siten, että CA = I .
j. On olemassa D !! n"n siten, että AD = I .
k. Matriisi A T on säännöllinen

Matematiikka P2 © J.T. Tanttu 25.11.2008 Mat 9-9
TTY, Pori
Lause 9.4 Käänteismatriisiteoreema, jatkoa
l. Matriisin A sarakkeet muodostavat avaruuden ! n kannan.
m. Col(A) = ! n
n. dim(Col(A)) = n
o. rank(A) = n
p. Nul(A) = { 0}
q. dim(Nul(A)) = 0
r. det A ! 0