Koko luentomoniste - FMI

48 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA
Kolmannelle varaukselle
( q1
W 3 = q 3 + q )
2
4πɛ 0 r 31 4πɛ 0 r 32
ja niin edelleen kaikille N kappaleelle varauksia. Koko systeemin sähköstaattinen
energia U on
⎛
⎞
N∑ N∑ j−1 ∑ q
U = W j = ⎝ j q k ⎠ (4.3)
4πɛ 0 r jk
j=1
j=1
k=1
Summaus voidaan järjestää uudelleen muotoon
U = 1 (
N∑ N
)
∑
′ q j q k
2 4πɛ 0 r jk
j=1
k=1
(4.4)
missä ∑ ′
merkitsee, että termit j = k jätetään pois. Energia voidaan siis
ilmaista varaukseen j vaikuttavien kaikkien muiden varausten potentiaalin
avulla:
ϕ j =
N∑
k=1
′ q k
4πɛ 0 r jk
(4.5)
U = 1 N∑
q j ϕ j (4.6)
2
j=1
4.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energia
Tarkastellaan seuraavassa jatkuvia varausjakautumia. Osa varauksista voi
olla johteiden pinnalla ja lisäksi systeemissä saa olla eristeitä, mutta ne
on oletettava lineaarisiksi. Syy tähän on, että epälineaarisilla eristeillä varaussysteemin
kokoaminen riippuu tiestä, jota pitkin varaukset tuodaan
äärettömyydestä tarkastelualueeseen.
Suoraviivaisimmin energian lausekkeen saa yleistämällä diskreettien varausjakautumien
tulokset jatkuville jakautumille eli muuttamalla summa
integraaliksi:
U = 1 ∫
ρ(r)ϕ(r) dV (4.7)
2 V
Tässä ei ole kirjoitettu erikseen näkyviin mahdollisia pintavarauksia tai diskreettejä
pistevarauksia. Johdekappaleet on käytännöllistä käsitellä erikseen,
sillä niiden varaukset Q j ovat kokonaan pinnoilla S j ja kunkin johteen
potentiaali ϕ j on vakio:
U = 1 ∫
σϕ dS = 1 2 S j
2 Q jϕ j (4.8)