Sähkökenttä väliaineessa - FMI

Luku 3Sähkökenttä väliaineessaEdellä tarkasteltiin sähköstaattista kenttää tilanteissa, joissa oli annettujavarausjakautumia tai vapaita varauksia johdekappaleiden pinnalla. Läheskäänkaikki aineet eivät kuitenkaan ole johteita. Hyvän johteen vastakohtaon ideaalinen eriste, jossa ei ole lainkaan vapaita varauksia. Aine on kuitenkinkoostunut positiivisista atomiytimistä ja negatiivisista elektroneista.Jos eriste asetetaan sähkökenttään, kenttä aiheuttaa voimavaikutukseneristeen rakenneosasiin. Vaikutuksen suuruus riippuu aineen mikroskooppisistaominaisuuksista. Eristeeseen syntyvää makroskooppista vaikutustakuvataan eristeen erimerkkisten varausten siirtymänä toistensa suhteen. Aineensanotaan tällöin polarisoituneen. Sisäisen polarisoituman ja ulkoisenkentän vuorovaikutusketju on usein hyvin monimutkainen, sillä polarisoitumamuuttaa puolestaan ulkoista kenttää. Mikäli eristeen lähellä on johdekappaleita,niiden pinnalle indusoituva varausjakautuma muuttuu, mikäpuolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaa ulkoista kenttää.3.1 Sähköinen polarisoitumaPalautetaan ensin mieleen, että sähköstatiikka hallitaan yhtälöillä∇ · E = ρ/ɛ 0 (3.1)∇ × E = 0 (3.2)Erityisesti on huomattava, että ρ sisältää kaikki varaukset eikä mitään jakoa”vapaisiin” ja ”’muihin” varauksiin tarvitse tehdä. Periaatteessa polarisoituvaaine voidaan siis käsitellä varausjakaumien avulla.Tarkastellaan polarisoituneen aineen pientä tilavuusalkiota △V , jonkadipolimomentti on △p. Sähköinen polarisoituma määritellään dipolimomenttitiheytenäP = △p(3.3)△V35

36 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSATämä määritelmä edellyttää, että △V on makroskooppisessa mielessä pieni.Varsinaisesta raja-arvosta △V → 0 ei ole kysymys, koska tilavuusalkiossatäytyy olla monta molekyyliä, jotta polarisaatio ylipäänsä syntyisi. Makroskooppiseltakannalta polarisoitumaa voi kuitenkin tarkastella jatkuvanapaikan funktiona. Polarisoituman SI-yksikkö on C/m 2 , joten [P] = [ɛ 0 ][E].Cgs-yksiköissä tyhjön permittiivisyys on 1/4π, joten niissä polarisoitumallaon sama yksikkö kuin sähkökentällä.3.2 Polarisoituman aiheuttama sähkökenttäTarkastellaan pisteessä r ′ sijaitsevan pienen eristealkion dV ′ dipolimomenttiadp = PdV ′ . Oletetaan, että korkeampien multipolien vaikutus voidaanjättää huomiotta. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella, että havaintopiste r onniin etäällä, että tämän alkion aiheuttama sähköinen potentiaali saadaanlaskemalla pelkän dipolimomentin potentiaalidϕ(r) = dp · (r − r′ )4πɛ 0 |r − r ′ | 3 = P(r′ ) · (r − r ′ )dV ′4πɛ 0 |r − r ′ | 3 (3.4)Kokonaispotentiaali pisteessä r on tämän integraaliϕ(r) = 1 ∫P(r ′ ) · (r − r ′ ) dV ′4πɛ 0 V 0|r − r ′ | 3 (3.5)Mikäli polarisoituma tunnetaan, potentiaali voidaan laskea tästä suoraan.Käytännössä sama asia on hyödyllistä ilmaista hieman eri tavalla. Koska( )∇ ′ 1|r − r ′ = r − r′| |r − r ′ | 3 (3.6)voidaan potentiaalin integrandi kirjoittaaP(r ′ ) · (r − r ′ ( ))|r − r ′ | 3 = P(r ′ ) · ∇ ′ 1|r − r ′ |(3.7)Käyttämällä kaavaa ∇ · (fF) = f∇ · F + F · ∇f saadaanP(r ′ ) · (r − r ′ () P(r|r − r ′ | 3 = ∇ ′ ′ )) 1·|r − r ′ −| |r − r ′ | ∇′ · P(r ′ ) (3.8)Tämän avulla ja soveltamalla divergenssiteoreemaa potentiaali voidaan ilmaistaseuraavasti:∮1 P(r ′ ) · n ′ dS ′ϕ(r) =4πɛ 0 S 0|r − r ′ + 1 ∫(−∇ ′ · P(r ′ )) dV ′| 4πɛ 0 V 0|r − r ′ |=[∮14πɛ 0σ P (r ′ ) dS ′S 0|r − r ′ |ρ P (r+∫V ′ ) dV ′ ]0|r − r ′ |(3.9)

3.3. SÄHKÖVUON TIHEYS 37missä S 0 on eristeen pinta.Potentiaali voidaan siis laskea lausekkeista, jotka muistuttavat edellisessäluvussa olleita avaruus- ja pintavaraustiheyden integraaleja. Tämä onkäytännön ongelmissa usein näppärin tapa laskea potentiaali. Suureitaσ P ≡ P · n (3.10)ρ P ≡ −∇ · P (3.11)kutsutaan polarisaatiovaraustiheyksiksi. Niiden laatu on varaus/pintaala(σ P ) ja varaus/tilavuus (ρ P ) ja ne aiheuttavat eristeen ulkopuolella todellisenpotentiaalin ϕ, josta saadaan sähkökenttä E = −∇ϕ. Kyse ei olekuitenkaan oikeista vapaista varauksista, vaan tavasta kuvata eristeen ominaisuuksiavarausjakautuman avulla. Tämän vuoksi polarisaatiovarauksiakutsutaan usein näennäisiksi varauksiksi, mikä ei kuitenkaan tee niille täyttäoikeutta. Eriste on kokonaisuudessaan neutraali, joten kokonaisvaraus∫∮Q P = (−∇ · P) dV ′ + P · n dS = 0 (3.12)V 0 S 0mikä seuraa suoraan divergenssiteoreemasta.3.3 Sähkövuon tiheysEdellä oletettiin eristeen polarisoituma P tunnetuksi. Todellisuudessa näinei yleensä ole, vaan polarisoituma syntyy vasteena ulkoiseen sähkökenttään.Tarkastellaan eristettä, jonka sisällä on mahdollisesti ulkoisia (”vapaita”)varauksia. Sovelletaan Gaussin lakia eristeen sisällä olevalla pinnalla S, jokasulkee sisäänsä niin ulkoiset varaukset kuin polarisaatiovarauksenkin:∮SE · n dS = 1 ɛ 0(Q + Q P ) (3.13)missä Q = ∑ i=1,...,N q i on ulkoisten varausten summa ja∫Q P =V∮(−∇ · P) dV = − P · n dS (3.14)Son polarisaatiovaraus. Tässä on implisiittisesti oletettu, että ulkoiset varauksetovat pistemäisiä. Jos eristeen sisällä olisi makroskooppisia johdekappaleita,niiden pinnoilta tulisi osuus polarisaatiovaraukseen Q P . Nämäpintatermit kuitenkin kumoutuisivat muutettaessa tilavuusintegraalit pintaintegraaleiksi.Saadaan siis∮(ɛ 0 E + P) · n dS = Q (3.15)S

38 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAeli vektorinD ≡ ɛ 0 E + P (3.16)vuo suljetun pinnan läpi on sama kuin pinnan sulkemaan tilavuuteen sijoitettunettovaraus. Tätä vektoria kutsutaan sähkövuon tiheydeksi (electricdisplacement). Käyttämällä taas divergenssiteoreemaa ja toteamalla, ettäQ = ∫ Vρ dV , saadaan Gaussin laki eristeessä differentiaalimuotoon∇ · D = ρ (3.17)missä ρ on nyt ulkoisten varausten tiheys ja kokonaisvaraustiheys on ρ + ρ P .Huom. Ulkoisia varauksia kutsutaan usein vapaiksi, mutta tämä saattaaaiheuttaa sekaannusta, sillä eristeessä oleva ulkoinen varaus ei ole vapaasamassa mielessä kuin johteen pinnalla oleva varaus.Sähköstatiikan peruslait on nyt siis puettu muotoon∇ · D = ρ (3.18)∇ × E = 0 (3.19)Etuna tässä on se, että ulkoinen varaus on helpommin hallittavissa kuinpolarisaatiovaraus. Kuitenkin sähkökenttä E on suure, joka loppujen lopuksihalutaan määrittää. Siksi on vielä tunnettava rakenneyhtälö P = P(E).3.4 Dielektrisyys ja suskeptiivisuusSähköinen polarisoituma aiheutuu sähkökentästä. Niiden riippuvuus voidaanusein ilmaista sähköisen suskeptiivisuuden χ(E) avulla:P = χ(E)E (3.20)χ(E) määräytyy väliaineen mikroskooppisesta rakenteesta. Yleisesti χ(E)on tensori, jolloin polarisoituma ei välttämättä ole samansuuntainen kuinsähkökenttä eli eriste voi olla epäisotrooppista. Tällaisia väliaineita ovat esimerkiksikiderakenteet, joissa epäisotropia aiheuttaa kahtaistaittavuuden.Tällöin eri tavoin polarisoituneet sähkömagneettiset aallot taittuvat eri tavoin.Kahtaistaittavuutta tapahtuu myös vapaista varauksista koostuvassamagnetoituneessa plasmassa. Toinen ongelmakenttä ovat väliaineet, joissaχ(E) on sähkökentän funktio, jolloin P riippuu sähkökentästä epälineaarisesti.Tämä ilmiö esiintyy yleensä vain hyvin voimakkailla sähkökentillä.Kaikissa aineissa ei edes ole suoraa relaatiota P:n ja E:n välillä. Ferrosähköisissäaineissa on polarisoitumaa myös ilman ulkoista sähkökenttää.Tarkastellaan nyt vain isotrooppisia eristeitä, joille χ(E) on skalaari jarajoitutaan lineaarisiin väliaineisiin, joille χ on sähkökentästä riippumaton

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 39Taulukko 3.1: Eristeiden ominaisuuksia. Tässä annettu ilman läpilyöntikestävyysE max koskee kuivaa ilmaa, muissa oloissa arvo on pienempi. Lasinsuhteellinen permittiivisyys vaihtelee kemiallisesta koostumuksesta riippuen.aine ɛ r E max [MV/m]akryyli 3,3 20eboniitti 2,7 10kuiva ilma 1,0006 4,7lasi 5-10 15kova paperi 5 15eristyspaperi 5 30posliini 5,5 35tislattu vesi 81 30suure. Tällöin vallitsevat rakenneyhtälötP = χE (3.21)D = ɛE (3.22)missä permittiivisyys ɛ = ɛ 0 + χ voi olla paikan funktio. Laadutonta suurettaɛ r = ɛɛ 0= 1 + χ ɛ 0(3.23)kutsutaan väliaineen eristevakioksi, dielektrisyysvakioksi tai suhteelliseksipermittiivisyydeksi.Riittävän suuri kenttä repii elektroneja ulos molekyyleistä, jolloin ainealkaa johtaa sähköä. Tätä rajaa kutsutaan aineen dielektriseksi vahvuudeksitai läpilyöntikestävyydeksi. Taulukossa 3.1 on joidenkin aineiden eristevakioitaja dielektrisiä vahvuuksia. Ilma on sähköisesti hyvä eriste. Vedeneristevakio on taas suuri, mikä merkitsee vahvaa polarisoitumista ja sitenkohtuullisen hyvää sähkönjohtokykyä polarisoitumisvarausten kantamana.3.5 Sähkökenttä rajapinnallaEristeet ovat usein paljon hankalampia käsiteltäviä kuin johteet. Hyvän johteenominaisuus on, että sen sisäinen sähkökenttä on nolla ja kaikki varauskertyy pinnalle. Eristeet sen sijaan polarisoituvat ja erilaiset eristeet polarisoituvateri tavoin. Eristeongelmissa joudutaan usein tarkastelemaan kenttienominaisuuksia eri eristeiden tai eristeiden ja johteiden rajapinnoilla.Tarkastellaan tilannetta kahden yksinkertaisen (lineaarinen, isotrooppinen,homogeeninen = LIH) eristeen rajapinnalla ja oletetaan rajapinta

40 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAmakroskooppisessa mielessä ohueksi. Tämä tarkastelu voidaan ulottaa myösepähomogeenisiin eristeisiin, jos eriste voidaan kuvata eri eristevakiolla varustettuinakerroksina. Merkitään väliaineita indekseillä 1 ja 2 ja olkoonσ pintavaraustiheys rajapinnalla. Tarkastellaan pientä sylinterinmuotoistapillerirasiaa, jonka kannet ovat eri väliaineissa (kuva 3.1).Sovelletaan Gaussin lakia∮D · n dS = D 1 · n 1 △S 1 + D 2 · n 2 △S 2 +∮vaippaD · n dS = Q (3.24)Annetaan pillerirasian korkeuden lähestyä nollaa. Tällöin integraali vaipanyli on nolla ja pillerirasian sisällä oleva varaus on pintavaraus kerrottunapinta-alalla: Q = σ△S, missä △S = △S 1 = △S 2 . Koska n 1 = −n 2 , voidaankirjoittaa reunaehto sähkövuon tiheyden normaalikomponentille:tai(D 2 − D 1 ) · n 2 = σ (3.25)D 2n − D 1n = σ (3.26)Mikäli kahden eristeen rajapinnalla ei ole ulkoista varausta, sähkövuon tiheydennormaalikomponentti on jatkuva rajapinnan läpi. Koska eristeet polarisoituvat,on tarkasteltava nimenomaan sähkövuon tiheyttä eikä sähkökenttää.Myös sähköstaattiselle kentälle löytyy reunaehto rajapinnalla. Koska E =−∇ϕ, niin viivaintegraali ∮E · dl = 0 (3.27)pitkin mitä tahansa suljettua silmukkaa. Sovelletaan tätä suorakulmaiseensilmukkaan ABCD eristeiden rajapinnalla. Olkoot rajapinnan suuntaiset12n D 11∆S 1α 11σD 212Kuva 3.1: Pillerirasia kahden väliaineen rajapinnalla ja sähkövuon tiheydentaittumiskulmien määritelmä.

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 41sivut AB ja CD kumpikin eri väliaineessa ja pituudeltaan △l. Väliaineestatoiseen kulkevat sivut BC ja DA oletetaan häviävän lyhyiksi. Tällöin∮E · dl = (E 2 − E 1 ) · △l = 0 (3.28)jotenE 2t = E 1t (3.29)eli sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnan yli. Tämätulos on voimassa riippumatta mahdollisesta pintavarauksesta.Tutkitaan sitten vektorin D taittumista rajapinnalla tapauksessa σ = 0.Olkoon α 1 ”rajapinnalle tulevan” vektorin D 1 ja n 1 :n välinen kulma ja α 2”rajapinnalta lähtevän” vektorin D 2 ja n 2 :n välinen kulma. Koska väliaineeton oletettu yksinkertaisiksi, niinTällöinD 1t = ɛ 1 E 1t ; D 2t = ɛ 2 E 2t (3.30)tan α 2tan α 1= D 2tD 2nD 1nD 1t= ɛ 2E 2tɛ 1 E 1t= ɛ 2ɛ 1= ɛ r2ɛ r1(3.31)Sähkövuon tiheysvektori taittuu siis poispäin normaalin suunnasta mentäessähuonommasta parempaan eristeeseen. Tämä on sukua aaltojen taittumiselleeri väliaineiden rajapinnalla, johon tutustutaan luvussa 11.Tarkastellaan sitten potentiaalin reunaehtoa rajapinnalla. Oletetaan jälleenσ = 0, jolloin D 2n = D 1n ja ɛ r2 ɛ 0 E 2n = ɛ r1 ɛ 0 E 1n . Koska E n = −∂ϕ/∂n,tulee reunaehdoksi∂ϕ 2ɛ r2∂n = ɛ ∂ϕ 1r1(3.32)∂nTämän lisäksi ϕ on jatkuva reunan yli. Tämä nähdään tarkastelemalla kahtapistettä r 1 ja r 2 reunan molemmin puolin. Tällöin∫ r2E · dr = ϕ 1 − ϕ 2 → 0 (3.33)r 1kun r 1 ja r 2 lähestyvät toisiaan eri puolilta rajapintaa sillä fysikaalisellaoletuksella, että sähkökenttä on äärellinen rajapinnalla.3.5.1 Eristepallo sähkökentässäYksinkertaisessa väliaineessa D = ɛE, joten ∇ · E = ρ/ɛ. Ainoa muodollinenero edellisten lukujen käsittelyyn on korvata ɛ 0 → ɛ. Useissa käytännönongelmissa eristeessä ei ole ulkoista varausta, joten ∇ 2 ϕ = 0 koko eristeessä.Tarkastellaan a-säteistä eristepalloa homogeenisessa sähkökentässäE 0 . Ratkaisumenetelmä on samanlainen kuin johdepallon tapauksessa. Valitaanz-akseli alkuperäisen sähkökentän suuntaiseksi: E 0 = E 0 e z , jolloin

42 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAkaukana pallosta ϕ = −E 0 r cos θ. Asetetaan origo pallon keskipisteeseenja todetaan kiertosymmetria z-akselin suhteen: ϕ = ϕ(r, θ). ɛ r on vakioeristeessä ja ɛ = ɛ 0 muualla. Ilman ulkoisia varauksia ρ = 0 kaikkialla jaLaplacen yhtälö on voimassa eristeessä ja sen ulkopuolella. Kirjoitetaan ratkaisujälleen vyöhykeharmonisten funktioiden sarjana (2.80):ϕ(r, θ) =∞∑n=0(A n r n + B n r −(n+1)) P n (cos θ) (3.34)Merkitään termejä pallon ulkopuolella (r > a) indeksillä 1 ja sisäpuolella(r < a) indeksillä 2. Etäällä pallosta ratkaisu lähenee alkuperäistä potentiaalia−E 0 r cos θ, joten pallon ulkopuolellajolloinA 1n = 0, kun n ≥ 2 ; A 11 = −E 0∞∑ϕ 1 = B 1n r −(n+1) P n (cos θ) − E 0 r cos θ (3.35)n=0Pallon sisällä potentiaalin on oltava äärellinen origossa, joten kaikki kertoimetB 2n ovat nollia ja sisäratkaisu on muotoa∞∑ϕ 2 = A 2n r n P n (cos θ) (3.36)n=0Käytetään sitten potentiaalin reunaehtoja rajapinnalla. Potentiaalin onoltava jatkuva eli ϕ 1 (a, θ) = ϕ 2 (a, θ), joten−E 0 a cos θ + B 10a + B 11a 2 cos θ + B 12a 3 P 2(cos θ) + . . .= A 20 + A 21 a cos θ + A 22 a 2 P 2 (cos θ) + . . . (3.37)Toisaalta potentiaalin derivaatan reunaehdosta∂ϕ 1 (r, θ)∂ϕ 2 (r, θ)= ɛ∂r ∣ r ∣r=a∂rseuraa∣ r=a−E 0 cos θ − B 10a 2 − 2 B 11a 3 cos θ − 3 B 12a 4 P 2 (cos θ) + . . .= ɛ r A 21 cos θ + 2ɛ r A 22 aP 2 (cos θ) + . . . (3.38)Koska Legendren polynomit muodostavat ortonormaalin kannan, kunkin P n -termin täytyy toteuttaa yhtälöt erikseen. Nyt molemmat yhtälöt (3.37) ja(3.38) toteutuvat vain, jos A 2n = 0 ja B 1n = 0 kaikilla n ≥ 2. Yhtälön (3.38)

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 43ainoa cos θ:sta riippumaton termi on B 10 = 0, joka sijoitettuna yhtälöön(3.37) antaa A 20 = 0 ja jäljelle jää yhtälöpari−E 0 a + B 11a 2 = A 21 a (3.39)−E 0 − 2 B 11a 3 = ɛ r A 21 (3.40)joiden ratkaisuna saadaanA 21 = − 3E 0ɛ r + 2 ; B 11 = ɛ r − 1ɛ r + 2 E 0a 3 (3.41)Kaiken kaikkiaan ratkaisu pallon ulkopuolella on(ϕ 1 (r, θ) = − 1 − ɛ r − 1 a 3 )ɛ r + 2 r 3 E 0 r cos θ (3.42)ja pallon sisälläϕ 2 (r, θ) = − 3ɛ r + 2 E 0r cos θ = − 3ɛ r + 2 E 0z (3.43)Pallon sisällä on siis vakiokenttä E 2 = 3E 0 /(ɛ r + 2), mikä on erona johdepalloon,jossa pintavaraukset kumoavat sisäkentän. Koska ɛ r ≥ 1, niinkenttä eristeen sisällä on pienempi kuin ulkopuolella. Eristepallon aiheuttamahäiriö pallon ulkopuolella on dipolikenttä.Sähkövuon tiheydellä ei ole lähteitä, vaan kaikki kenttäviivat jatkuvatpallon läpi. Sitävastoin polarisoitumisesta johtuva pintavarauskate aiheuttaasen, että sähkökentällä on lähteitä ja nieluja pallon pinnalla ja osallakenttäviivoista pää on pallon pinnalla. Siksi kenttäviivat eivät myöskään olekohtisuorassa pallon pintaa vastaan (HT: piirrä kuva). Tämä osoittaa, ettäpolarisaatiovarauksen kutsuminen näennäiseksi on kyseenalaista.3.5.2 Pistevaraus eristepinnan lähelläJakakoon xy-taso avaruuden kahteen homogeeniseen eristealueeseen: (z >0, ɛ 1 ) ja (z < 0, ɛ 2 ). Asetetaan varaus q pisteeseen (0, 0, d) alueeseen 1. Oletetaan,ettei rajapinnalla ole ulkoisia varauksia. Tehtävänä on laskea potentiaalikoko avaruudessa. Helpoimmalla päästään kuvalähteiden avulla.Maadoitetun johdetason tapauksessa ongelma ratkesi peilikuvavarauksella−q pisteessä (0, 0, −d). Eristeenkin tapauksessa potentiaali alueessa 1 yritetäänesittää varauksen q ja jonkin alueessa 2 sijaitsevan kuvavarauksenq ′ avulla. Sivistynyt arvaus on sijoittaa kuvavaraus pisteeseen z = −d, jolloinpotentiaali alueessa 1 on sylinterikoordinaateissa lausuttuna Poissoninyhtälön toteuttavaϕ 1 (r, z) = 1 q( √4πɛ 1 r 2 + (z − d) + q ′2 √r 2 + (z + d) ) (3.44)2

44 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAKiertosymmetrian vuoksi kannattaa käyttää sylinterikoordinaatistoa, muttatehtävä ratkeaisi sujuvasti myös karteesisessa koordinaatistossa.Alue 2 on eriste, joten johdetilanteesta poiketen sielläkin on kenttä. Koskaalueessa 2 ei ole varauksia, potentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön. Ainakinlaskennallisesti kelvollinen ratkaisu alueessa 2 saadaan alueessa 1 sijaitsevankuvavarauksen q ′′ avulla, joka viisaasti sijoitetaan pisteeseen z = d.Tällöin potentiaali alueessa 2 onϕ 2 (r, z) = 14πɛ 2q ′′√r 2 + (z − d) 2 (3.45)Mikäli kuvavarausten suuruudet saadaan sovitettua siten, että reunaehdottoteutuvat, niin ongelma on ratkaistu. Reunaehtojen mukaan sähkövuontiheyden z-komponentti on jatkuva rajapinnalla (ei pintavarausta) samoinkuin sähkökentän r-komponentti. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa,että potentiaali on jatkuva. Näin saadaan yhtälöpariKuvavaraukset ovat sitenq − q ′ = q ′′1(q + q ′ )ɛ 1= 1 q ′′ɛ 2(3.46)q ′ = − ɛ 2 − ɛ 1qɛ 2 + ɛ 1q ′′ =2ɛ 2qɛ 2 + ɛ 1(3.47)HT: Laske polarisoitumaan liittyvä varaustiheys aineiden rajapinnalla. Josväliaine 2 on johde, niin ratkaisu saadaan muodollisesti asettamalla ɛ 2 äärettömäksi,jolloin potentiaali alueessa 2 häviää ja q ′ = −q.Viimeistään reunaehtoja sovellettaessa tuli selväksi, että kuvalähteetkannatti sijoittaa nimenomaan pisteisiin z = −d ja z = d. Paikkariippuvuudetsupistuvat silloin pois reunaehtoyhtälöistä. Kuvalähteet ovat vain kuvitteellisiaapuvälineitä, jotka eivät oikeasti sijaitse missään. Kun ratkaisu onlöydetty, kuvalähteet voidaan unohtaa ja todeta saaduista lausekkeista, ettäkaikki vaadittavat yhtälöt reunaehtoineen toteutuvat.3.6 Molekulaarinen polarisoituvuusTarkastellaan yksinkertaista väliainetta, jossa yksittäisen molekyylin dipolimomenttip m on verrannollinen polarisoivaan sähkökenttään E m :p m = αɛ 0 E m (3.48)

3.6. MOLEKULAARINEN POLARISOITUVUUS 45¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡cab¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡E¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Kuva 3.2: Sähkökentän määrittäminen erilaisissa onkaloissa.Suuretta α kutsutaan polarisoituvuudeksi (yksikkö m 3 ). Oletetaan, etteimolekyylillä ole pysyvää dipolimomenttia. Tavoitteena on lausua molekyylinpolarisoituvuus makroskooppisesti mitattavien suureiden avulla. Polarisoivasähkökenttä on kenttä, jonka aiheuttavat kaikki ulkoiset lähteet javäliaineen polarisoituneet molekyylit lukuunottamatta tarkasteltavaa molekyyliäitseään. Poistetaan makroskooppisesti pieni, mutta mikroskooppisestisuuri palanen ainetta molekyylin ympäriltä ja lasketaan kenttä jäljellejäävässä onkalossa. Kenttä molekyylin kohdalla on silloinE m = E + E p + E near (3.49)Tässä E on keskimääräinen kenttä koko kappaleessa, E p onkalon pinnanpolarisaatiovarauksen aiheuttama kenttä ja E near on onkalossa olevien kaikkienmuiden molekyylien aiheuttama kenttä. Aivan tarkasteltavan molekyylinkohdalla on siis otettava huomioon aineen yksityiskohtainen rakenne.Kenttä E near on nolla esimerkiksi säännöllisen kuutiohilan hilapisteissä,jos molekyylien dipolimomenttivektorit ovat identtisiä (HT). Samoin voidaanolettaa E near nollaksi nesteissä ja kaasuissa, joissa molekyylit ovattäysin satunnaisesti jakautuneita. Useista molekyylityypeistä koostuvissa aineissase voi kuitenkin poiketa nollasta. Jatkossa oletetaan, että E near = 0.Kenttä E p riippuu onkalon muodosta (kuva 3.2). Jos se on kapean suorakaiteenmuotoinen ja pitkä sivu on kentän E suuntainen (a), niin kenttä ononkalossa sama kuin väliaineessa kentän tangentiaalikomponentin jatkuvuudenperusteella. Jos suorakaidetta käännetään 90 astetta (b), niin onkalossaE b = E + P/ɛ 0 sähkövuon tiheyden normaalikomponentin jatkuvuudenvuoksi (pinnoilla on polarisaatiovarausta, mutta ei vapaata varausta).Luonnolliselta tuntuva vaihtoehto on olettaa onkalo palloksi (c). Kenttäonkalossa saadaan vähentämällä tasaisesti polarisoituneen pallon kenttä kentästäE. Voidaan käyttää hyväksi analogiaa tilanteeseen, jossa tasaisestipolarisoituneen pallon sisällä on vakiokenttä −P/(3ɛ 0 ) (HT), ja onkalossa

46 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAE m = E + P/(3ɛ 0 ). Tämä on jonkinlainen välimuoto suorakaiteen muotoistenonkaloiden kentistä.Jos molekyylien lukumäärätiheys on n, polarisoituma on määritelmänmukaan P = np m , jotenP = nαɛ 0 (E + P/(3ɛ 0 )) (3.50)Toisaalta P = (ɛ r − 1)ɛ 0 E, joten saadaan Clausiuksen ja Mossottin yhtälöα = 3(ɛ r − 1)n(ɛ r + 2)(3.51)jossa ɛ r ja n ovat makroskooppisia suureita. Voidaan esimerkiksi mitatakaasun ɛ r ja n, jolloin saadaan α laskettua. Jos polarisoitumismekanismion samanlainen myös nesteessä, voidaan tunnettujen tiheyksien avulla ennustaasen suhteellinen permittiivisyys. Näin saadaan varsin hyviä tuloksiaesimerkiksi aineille CS 2 , O 2 ja CCl 4 . Vedelle tulisi vastaavalla tavalla ennusteeksinegatiivinen permittiivisyys, joten pysyvästi polarisoituneelle aineelleesitetty malli ei päde.Pysyvän polarisaation P 0 tapauksessa ulkoisen kentän ollessa nolla E m =P 0 /(3ɛ 0 ), joten on oltava nα = 3. Useimmilla aineilla nα/3 < 1, joten nekäyttäytyvät kuten tavalliset eristeet. Jotkin kristallirakenteiset kiinteät aineetkuitenkin toteuttavat ehdon ja niitä kutsutaan ferroelektrisiksi materiaaleiksi.Esimerkiksi BaT iO 3 on ferroelektristä alle 120 ◦ C:n lämpötilassa(Feynman Lectures, osa II, luku 11-7).Pysyvästi polarisoitunut kappale (elektretti) on kestomagneetin sähköinenvastine. Se eroaa kuitenkin magneetista ratkaisevasti, koska elektretinpinnalle ”sataa” vähitellen väliaineesta varauksia, jotka neutralisoivat polarisaatiopintavarauksen.Ferroelektrisyydelle ominainen pysyvä polarisoituvuusaiheuttaa hystereesi-ilmiön. Kun aine on kerran polarisoitu tasolleP , niin polarisaatio ei katoa vietäessä sähkökenttä nollaan, vaan vastaselvästi nollan alapuolella. Kasvatettaessa negatiivista sähkökenttää polarisaatiosaavuttaa uudelleen uuden tason −P , josta ei puolestaan päästä eroonkasvattamalla sähkökenttä nollaan, vaan kenttää on kasvatettava riittävänpaljon nollan yläpuolelle. Polarisaation ja sähkökentän välinen yhteys ei oleyksikäsitteinen. Vastaavaan ilmiöön tutustutaan myöhemmin ferromagnetisminyhteydessä.