Sähkömagneettinen induktio - FMI

Luku 7Sähkömagneettinen induktioToistaiseksi on tarkasteltu vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiostikuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään,mikä puolustaisi Feynmanilta lainattua toteamusta kurssin alussa. Tässä luvussaaletaan tarkastella ajasta riippuvia kenttiä ja siirtyä alueelle, jossamielikuvitus joutuu paljon kovemmalle koetukselle.7.1 Faradayn lakiSähköstaattiselle kentälle pätee ∮ CE · dl = 0. Mikäli kenttä ei ole staattinenja siten integraali ei ole nolla, silmukkaan C sanotaan indusoituvansähkömotorisen voiman (smv)∮E =CE ′ · dl (7.1)Tässä E ′ (r) on kenttä silmukka-alkion dl(r) kohdalla. Havaintojen mukaansmv vastaa silmukan läpäisevän magneettivuon muutosta:E = − dΦdt = − d ∫B · n dS (7.2)dt STämä on Faradayn induktiolaki. Se ei riipu mitenkään siitä, kuinka magneettivuontiheys itsessään muuttuu. Lain olemassaolo ei myöskään riipufysikaalisen silmukan olemassaolosta, vaan pätee annettua reittiä C pitkinlasketulle integraalille. Faradayn laki on kokeellinen luonnonlaki, joka ei seuraamistään muista luonnonlaeista.Sähkömotorisen voiman yksikkö on sama kuin potentiaalieron eli voltti.Sähkömotorinen voima ei kuitenkaan ole minkään kahden pisteen välinenjännite, koska se lasketaan aina suljetun silmukan yli!89

90 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOHT: Osoita, että pinnan läpäisevä magneettivuo riippuu vain pinnan reunakäyrästä.Ohje: magneettikenttä on aina divergenssitön.Jos tarkastellaan liikkuvia silmukoita ja mahdollisesti liikkeen mukanamuuttuvia silmukoita, on oltava huolellinen. Faradayn lain integraalimuodossaolevan kokonaisaikaderivaatan on otettava huomioon nämä muutokset.On tärkeää huomata, että E ′ (r) on sähkökenttä alkion dl(r) kohdallakoordinaatistossa, jossa dl on levossa. Jos nimittäin silmukka olisi todellinenvirtapiiri, niin nimenomaan kenttä E ′ aiheuttaisi virran siinä.Oletetaan seuraavassa aluksi, että Faradayn laissa olisi kokeellisesti määritettäväverrannollisuuskerroin k siten, että∮E ′ · dl = −k d ∫B · n dS (7.3)C dt SVedotaan lisäksi klassiseen Galilei-invarianssiin eli siihen, että toistensa suhteenvakionopeudella v liikkuvissa koordinaatistoissa K ja K ′ fysiikan laitovat samat muunnoksessa r ′ = r + vt, t ′ = t.Vuo silmukan läpi voi johtua eksplisiittisestä aikariippuvuudesta (∂/∂t)tai muutoksesta liikkeen vuoksi (v·∇). Käyttämällä konvektiivista derivaattaad/dt = ∂/∂t + v · ∇ voidaan osoittaa (HT), että∫∫d∂BB · n dS =dt SS ∂t∮C· n dS + B × v · dl (7.4)Tällöin Faradayn laki saa muodon∮(E ′ − k(v × B)) · dl = −kC∫S∂B∂t· n dS (7.5)Tämä voidaan tulkita toisinkin. Tilannetta sivusta tarkastelevan levossa olevanhavaitsijan voi ajatella katsovan paikallaan olevaa silmukkaa C. Faradaynlaki sovellettuna tällaiseen kiinteään silmukkaan on∮C∫E · dl = −kS∂B∂t· n dS (7.6)missä E on kyseisen havaitsijan näkemä kenttä. Galilei-invarianssin perusteellaon oltava E ′ = E + k(v × B).Tarkastellaan sitten todellisessa johtimessa liikkuvaa virtaa kuljettavaaelektronia. Silmukan C mukana liikkuvan koordinaatiston suhteen johdinelektronitovat käytännössä levossa (HT: tarkastele tavanomaista metallijohdintaja siinä kulkevaa tavanomaista virtaa). Elektroneihin vaikuttavassaLorentzin voimassa on siis vain sähköinen osuus qE ′ . Ulkopuolisen havaitsijanmielestä Lorentzin voima on q(E + v × B), joten on oltava k = 1.Nyt Faradayn laki saadaan helposti differentiaalimuotoon. Oletetaan,että silmukka C on levossa valitussa koordinaatistossa. Tällöin myös kentät

7.1. FARADAYN LAKI 91B ja E on määritelty samassa koordinaatistossa. Stokesin kaavan avullasaadaan∫∫∂B∇ × E · n dS = − · n dS (7.7)SS ∂tKoska silmukka on muuten mielivaltainen, niin on oltava∇ × E = − ∂B∂t(7.8)joka on Maxwellin kolmas yhtälö.Huom. Tarkasteltaessa liikkuvaa silmukkaa oletettiin implisiittisesti, ettäB ′ = B. Tämä on totta kertalukuun (v/c) 2 asti. Kenttien relativistisiinmuunnoskaavoihin perehdytään kurssin lopussa. Faradayn laki ei kuitenkaanole approksimaatio, vaan fysiikka on samaa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa,joita yhdistää Lorentzin muunnos.Faradayn laissa oleva miinusmerkki ilmaisee Lenzin lain: ”induktiovirtavastustaa muutosta, joka sen aiheuttaa”. Induktiovirta kuluttaa energiaa.Tämä energia on saatava systeemiltä, joka aiheuttaa induktion. Tämämerkitsee, että induktion aiheuttajan on tehtävä työtä induktiovirran vastavaikutuksenvoittamiseksi. Lenzin laki on usein kätevä tapa määrittää indusoituvanvirran suunta, joka saattaa olla vaikea johtaa aikaderivaatan jaroottorin sisältävästä abstraktin näköisestä Faradayn laista.Faradayn lain avulla voidaan ymmärtää esimerkiksi betatronin toiminta.Vain sähkökenttä voi tehdä työtä varaukselliseen hiukkaseen. Betatronissamuuttuva magneettikenttä indusoi hiukkasia kiihdyttävän sähkökentän.Esimerkki. Liikkuva johdin magneettikentässäTarkastellaan yksinkertaisena, mutta toivottavasti ajatuksia herättävänä esimerkkinämagneettikentässä likkuvaa johdetankoa. Oletetaan, että johdetankoab (pituus l) liikkuu vakionopeudella v pitkin johdinkiskoja ja saapuualueeseen x > x 0 , jossa on vakiomagneettikenttä B kohtisuorassa silmukantasoa vastaan (kuva 7.1). Asetetaan välille cd suuriresistanssinenjännitemittari (silmukassa abcda ei siis kulje virtaa).Kentässä olevan johdetangon vapaisiin varauksiin vaikuttaa LorentzinvoimaF = q(E + v × B) (7.9)Voiman magneettinen osa ajaa positiivisia ja negatiivisia varauksia tangoneri päihin. Tämä aiheuttaa sähkökentän, joka pyrkii vastustamaan varausseparaatiotaja syntyy tasapainotilanne, jossa sähkökenttä suuntautuu pisteestäa kohti pistettä b ja kentän suuruus on E = vB. Tangon päiden a ja

92 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOcb¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤Vn¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤vB¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤da¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤x 0¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤x¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥£¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤Kuva 7.1: Magneettikenttään saapuva kiskoilla liikkuva johdintanko. Huomaapositiivisten suuntien valinnat.b välillä on jänniteV ab = ϕ a − ϕ b =Tätä sanotaan liikkeen indusoimaksi potentiaalieroksi.∫ baE · dl = El = Blv (7.10)Tässä ei tarvittu induktiolakia ollenkaan, vaan mikrofysikaalinen tarkasteluriitti. Toisaalta voidaan laskea magneettivuo silmukan abcda läpi,kun johdetanko kulkee magneettikentässä. Valitsemalla integroimispinnaneli silmukan tason normaalivektori magneettikentän suuntaiseksi saadaanvuon muutosnopeudeksidΦdt = B dA dx= Bl = Blv (7.11)dt dtjoten Faradayn lain mukaan piiriin indusoituu smv− dΦdt= −Blv (7.12)Merkki kertoo, että sähkömotorinen voima vaikuttaa kuvaan merkittyä positiivistakiertosuuntaa vastaan. Jos virtapiiri oikosuljettaisiin jännitemittarinkohdalta, niin induktiovirta kulkisi myötäpäivään. Induktiovirta pyrkii siispienentämään magneettivuon muutosta silmukan läpi.Ajatellaan sitten, että neliösilmukka (sivu l) saapuu magneettikenttäännopeudella v. Oikosuljetaan piiri, jolloin virta voi kulkea siinä. Silmukantullessa magneettikenttään vuon muutos on vakio (−Blv), ja piiriin syntyvänmyötäpäivään kulkevan induktiovirran suuruus on Blv/R (R on piirinresistanssi). Kun silmukka on kokonaan magneettikentän sisällä, vuo eienää muutu ja virta lakkaa kulkemasta (itseinduktion takia virran kulku ei

7.2. ITSEINDUKTIO 93käytännössä lopu aivan heti). Kannattaa huomata, että induktioilmiö voitaisiintässäkin tapauksessa selittää Lorentzin voiman avulla.Silmukan tullessa kenttään sivuun ab kohdistuu nopeudelle vastakkaissuuntainenvoima F suuruudeltaan BlI, joten silmukan kiskomiseen tarvittavateho on F v = BlIv. Tämä on täsmälleen yhtä suuri kuin virtasilmukanohmiset tehohäviöt.Oletetaan nyt, että neliösilmukka on kokonaan alueessa x > x 0 eikä liiku.Muutetaan magneettikenttää silmukan kohdalla ajan funktiona: B(t) =Bvt/l. Tällöin magneettivuo silmukan läpi on Φ(t) = Bvlt, jolloin vuonmuutos on sama kuin edellä liikkuvan tangon tapauksessa. Ratkaisevanaerona on se, ettei induktioilmiötä voida selittää Lorentzin voiman avulla.Magneettikenttään saapuvan silmukan tilannetta voitaisiin tarkastellamyös silmukan mukana liikkuvan tarkkailijan kannalta. Hänen mielestäänmagneettisia voimia ei ole, joten taas tarvitaan induktiolakia selittämäänsähkömotorisen voiman syntyminen.Se, että liikkeen indusoima jännite on yhtä suuri kuin muuttuvan magneettikentänaiheuttama sähkömotorinen voima, ei ole itsestään selvää. Tämänekvivalenssin selvittäminen oli keskeisessä osassa, kun Einstein kehittisuppeamman suhteellisuusteorian vuonna 1905. Liikkuvissa koordinaatistoissaoikean integroimistien valinta vuon muutoksen laskemiseksi ei oleaina helppoa. Koska Maxwellin yhtälöt kuitenkin osoittautuvat Lorentzinvarianteiksi,Faradayn laki differentiaalimuodossa ja Lorentzin voiman lausekepätevät kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.7.2 ItseinduktioTarkastellaan eristettyä virtasilmukkaa, jossa magneettivuo on silmukan itsensäaiheuttama. Biot’n ja Savartin lain mukaan magneettikenttä riippuulineaarisesti silmukassa kulkevasta sähkövirrasta I. Kiinteässä muuttumattomassasilmukassa vuon muutos johtuu vain virran muutoksesta, jotendΦdt = dΦ dIdI dtVirran ja vuon muutoksen välistä verrannollisuuskerrointaL = dΦdI(7.13)(7.14)kutsutaan silmukan itseinduktanssiksi. Jos vuo on suoraan verrannollinenvirtaan, niin L = Φ/I. Virran muutos indusoi sähkömotorisen voimanE = −L dIdt(7.15)

94 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOKoska sähkömotorisen voiman SI-yksikkö on voltti, niin induktanssin SIyksikköon Vs/A ≡ H eli henry. Itseinduktio ilmenee esimerkiksi siten, ettävirtapiireissä virta ei koskaan kytkeydy tai katkea täysin hetkellisesti. Itseinduktiokorostuu, jos piirissä on käämi, koska silloin piirin induktanssi onkäytännössä sama kuin käämin induktanssi.Esimerkki. Toroidaalisen kelan itseinduktanssiKierretään johdinlankaa N kierrosta toruksen ympäri (poikkileikkauksenala A). Itseinduktanssiin vaikuttaa sekä kela itse että silmukkaan virtaasyöttävä johteen ulkoinen osa. Oletetaan, että ulkoinen osa on koaksiaalikaapeli,joka ei aiheuta merkittävää ulkoista kenttää. Ampèren kiertosääntöantaa magneettikentäksi toruksen sisälläB = µ 0 NI/l (7.16)missä l on toruksen keskimääräinen pituus (luku 5.3). Magneettivuo jokaisenyksittäisen kierroksen läpi onΦ 1 = µ 0 NIA/l (7.17)ja kaikkien kierrosten yhteenlaskettu vuo on Φ = NΦ 1 , josta saadaan induktanssiL = dΦdI = µ 0N 2 A/l (7.18)7.3 KeskinäisinduktioTarkastellaan sitten n kappaletta erillisiä silmukoita. Kirjoitetaan kaikkiensilmukoiden aiheuttama yhteenlaskettu vuo silmukan i läpi muodossaTähän silmukkaan indusoituu smvn∑Φ i = Φ ij (7.19)j=1E i = −n∑j=1dΦ ijdt(7.20)Jos kaikki silmukat ovat kiinteitä, kunkin silmukan j osuus Φ ij riippuu vainsiinä kulkevan virran I j muutoksesta, jotendΦ ijdt= dΦ ijdI jdI jdt(7.21)

7.4. PÄHKINÄ PURTAVAKSI: FEYNMANIN KIEKKO 95KertoimiaM ij = dΦ ijdI j, i ≠ j (7.22)kutsutaan silmukoiden i ja j välisiksi keskinäisinduktansseiksi; L i = M ii onsilmukan i itseinduktanssi. Jos väliaine on magneettisesti lineaarinen, M ij :tovat vakioita. Keskinäisinduktanssi voi olla positiivinen tai negatiivinen riippuenvirtojen kulkusuunnista silmukoissa.Tarkastellaan kahta kiinteää silmukkaa lineaarisessa väliaineessa (yksinkertaisuudenvuoksi µ = µ 0 ). TällöinM 21 = Φ 21I 1(7.23)Lasketaan magneettikenttä Biot’n ja Savartin lailla ja integroidaan siitämagneettivuo:Φ 21 = µ [∮]04π I dl 1 × (r 2 − r 1 )1∫S 2 C 1|r 2 − r 1 | 3 · n dS 2 (7.24)Käyttämällä kaavaa∮saadaanC 1dl 1 × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 = ∇ 2 ×M 21 = µ ∫0∇ 2 ×4π S 2= µ 04π∮C 2∮[∮dl 1 · dl 2C 1|r 2 − r 1 |∮dl 1C 1|r 2 − r 1 |]dl 1· n dS 2C 1|r 2 − r 1 |(7.25)(7.26)jota kutsutaan Neumannin kaavaksi. Se ei ole kovin käytännöllinen, muttase osoittaa, että keskinäisinduktanssi on puhtaasti silmukoiden geometriastajohtuva suure ja siten silmukoiden itsensä ominaisuus. Silmukoissakulkeva sähkövirta ei vaikuta lineaarisessa tapauksessa induktanssiin.Lisäksi keskinäisinduktanssi on symmetrinen silmukoiden vaihtamisen suhteen(M 12 = M 21 ), mikä vaikuttaa ensi näkemältä hieman yllättävältä.Keskinäisinduktanssin laskeminen on hankalaa, mutta mittaaminen varsinyksinkertaista: syötetään piiriin 1 tunnettu virta ja mitataan sen indusoimasmv piirissä 2. Helpointa tämä on toteuttaa sinimuotoisen vaihtovirranavulla.7.4 Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekkoPalataan lopuksi perusongelmien pariin (Feynman, osa 2, luku 17-4). Tarkastellaanlevyä, joka pääsee pyörimään akselinsa ympäri (kuva 7.2). Keskellä

96 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOIKuva 7.2: Levy, jonka keskellä kulkevassa käämissä kulkee tasavirta I. Reunallaon tasaisin välein varattuja palloja.on käämi, jossa pieni paristo pitää yllä tasavirtaa. Levyn reunalla on tasainenvarausjakauma, esimerkiksi samanlaisia varattuja palloja. Oletetaan,että levy ei tässä tilanteessa pyöri. Oletetaan sitten, että virta käämissäkatkeaa äkillisesti ilman ulkopuolista vaikutusta. Alkaako levy pyöriä?Magneettikentän heikkeneminen indusoi vähäksi aikaa sähkökentän. Geometrianperusteella kenttäviivat ovat ympyröitä, joiden keskipiste on levynakselilla. Varauspalloihin kohdistuva voima aiheuttaa silloin vääntömomentin,jonka takia levy alkaa pyöriä.Toisaalta laitteiston liikemäärämomentti ennen virran katkaisua on nolla.Siihen ei kohdistu ulkoisia voimia, joten liikemäärämomentin 1 säilymislainperusteella levy ei ala pyöriä.Jos ensimmäinen vastaus on oikea, miten käy liikemäärämomentin säilymislain?Jos taas jälkimmäinen selitys pätee, niin sovellettiinko induktiolakiaväärin? Asiaan palataan luvussa 9.1 Liikemäärämomenttia sanotaan usein myös impulssimomentiksi. Liikemäärämomenttiaja liikemäärää ei puolestaan pidä sekoittaa toisiinsa!