SALAUSMENETELM¨AT (801346A) 4 op, 2 ov

2. Salakirjoitus matriiseilla
Jos viestiyksikön pituus on r>1 kirjainta, on luontevaa tarkastella viestiyksikköjä Z r N :n
vektoreina ja käyttää salauksessa r × r matriiseja. Rajoitumme seuraavassa tapaukseen
r =2.
Kertaamme lyhyesti matriisien laskusääntöjä:
( )
( )
x a b
Z 2 N :n alkiot ovat ;2× 2 matriisit ,
y
c d
- yhtäsuuruus ⇔ samoilla paikolla olevat alkiot yhtäsuuria,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x u x + u a b x u a + x b+ u
- yhteenlasku + = ; + =
,
y v y + v c d y v c + y d+ v
( ) ( ) ( ) ( )
x ax a b au bu
- skalaarilla kertominen a = ,u =
,
y ay c d cu du
( ) ( )
a b x ax + by
- kertolasku
=
,
c d)(
y cx + dy
( )( ) ( )
a b x u ax + by au + bv
=
, ei vaihdannainen,
c d y v cx + dy cu + dv
( )
1 0
- yksikkömatriisi I = on kertolaskun neutraalialkio,
0 1
( )
a b
- käänteismatriisi: Matriisin A = käänteismatriisi on matriisi A
c d
−1 , jolle
AA −1 = A −1 A = I,
mikäli tällainen matriisi on olemassa. Voidaan osoittaa, että A −1 on olemassa
jos ja vain jos D = ad − bc ∈ Z ∗ N , ja tällöin
( )
d −b
A −1 = D −1 .
−c a
Esimerkki Z 26 ,A=
(
a b
Lause 1. Jos A =
c d
( )
e
ja B =
f
( )
2 3
. Määritä A
7 8
−1 .
∈ Z 2 N , niin affiini kuvaus
)
, a, b, c, d ∈ Z N , D = ad − bc ∈ Z ∗ N ,
E : Z 2 N → Z2 N
; E(X) =AX + B,
on bijektio, jonka käänteiskuvaus on
D : Z 2 N → Z2 N ; D(Y )=A−1 (Y − B).