SALAUSMENETELM¨AT (801346A) 4 op, 2 ov

niin kaikki käyttäjät voivat valita
P = {k−kirjaimiset sanat} ⊂Z nU
C = Z nU ⊂{l-kirjaimiset sanat}.
Esimerkki.
4. Diskreetti logaritmi
Reaalilukujen joukossa lukujen b x ja log b x laskeminen tietyllä tarkkuudella on yhtä
helppoa. Tarkastelemme nyt vastaavaa tilannetta joukossa Z ∗ n. Jos b ∈ Z ∗ n, niin b x on
laskettavissa nopeasti suurillakin x ∈ N. Oletamme nyt, että tiedämme alkion y ∈ Z ∗ n
olevan muotoa y = b x . Kuinka x = log b y saadaan selville (tässä logaritmi on ns.
diskreetti logaritmi, ei R:n logaritmifunktio)? Tälle ns. ”diskreetin logaritmin ongelmalle”
ei tunneta nopeaa ratkaisua yleisessä tapauksessa, joten voimme jälleen rakentaa
yksisuuntaisen funktio.
Määritelmä. Luku g, 1≤ g ≤ n − 1, on primitiivijuuri (mod n), jos
Z ∗ n = {ḡk |k =0, 1, ..., ϕ(n) − 1} = {¯1, ḡ, ḡ 2 , ..., ḡ ϕ(n)−1 }.
Esimerkki.
Lause 2. Primitiivijuuri (mod n) on olemassa jos ja vain jos n on
2, 4,p l , 2p l ,l=1, 2, ..., missä p>2 on alkuluku.
Jos g on primitiivijuuri (mod n) (n on L2:n muotoa), niin sen määräämää jäännösluokkaa
sanotaan Z ∗ n:n primitiiviseksi alkioksi.
Määritelmä. Olkoon g ∈ Z ∗ n primitiivinen. Alkion y ∈ Z∗ n diskreetti logaritmi kannan
g suhteen on sellainen luku k ∈{0, 1, ..., ϕ(n) − 1}, jolle y = g k . Tällöin merkitsemme
k = log g y.
Usein valitsemme edellä n = p (alkuluku), jolloin Z p on äärellinen kunta.
5. Diffie-Hellman avaimenvaihto
Oletamme tässä, että joukossa Z ∗ n on primitiivinen alkio g. Tiedonsiirtojärjestelmän
avaimen vaihtomenettely voidaan hoitaa seuraavasti:
Kaikki käyttäjät tuntevat luvun n ja primitiivialkion g. Kukin käyttäjä U valitsee luvun
m U ∈{1, ..., ϕ(n)−1} ja laskee g m U
, jonka hän julkaisee. Käyttäjien A ja B keskinäisen
yhteydenpidon avaimen määrää g m Am B
.
Käyttäjä A saa avaimen potenssiinkorotuksella (g m B
) m A
= g m Am B
ja käyttäjä B vastaavasti
(g m A
) m B
= g m Am B
.