tässä

INSINÖÖRIFYSIIKKA 1A:N LUENNOILLA SYKSYLLÄ 2004ESITETTYJÄ TIIVISTELMIÄ YM.SI-yksiköiden oikeinkirjoitussääntöjä * ......................................2SI-yksiköiden ääntämisestä * ......................................................3Mekaniikan osa-alueet ...............................................................4Liikkeen lajeja .............................................................................5Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 2 .....................................6Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 3 ** ...................................7Newtonin I laki ..........................................................................10Newtonin II laki .........................................................................11Newtonin III laki ........................................................................12Pistemäisten kappaleiden systeemi tasapainossa ................13Pistemäisten kappaleiden systeemi kiihtyvässä liikkeessä ..14Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 5 ** .................................15Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 6 ** .................................21Hyötysuhde * ..............................................................................26Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 7 ** .................................27Konservatiivisen voiman tekemä työ ......................................33Konservatiivisuuden matemaattinen osoittaminen ...............34Impulssi ....................................................................................35Liikemäärän ja liike-energian vertailu .....................................36Törmäys ....................................................................................37Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 8 ** .................................38Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 9 ** .................................41Pyörimisen liikeyhtälö ..............................................................43Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 10 ** ...............................44Mekaniikan säilymislait ............................................................48Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 11 ** ...............................49Kimmoisuuteen liittyvää sanastoa * .........................................50Esimerkkien tehtävänantoja luvussa 12 ** ...............................51* Sisältää oppikirjaan nähden olennaista lisätietoa.** Oppikirjan vanhan painoksen mukainen numerointi on hakasuluissa. Heittomerkkiesimerkin numerossa merkitsee poikkeamista oppikirjan käsittelystä.Oppikirjaan nähden ylimääräisten esimerkkien numeroissa on Y-kirjain.

SI-YKSIKÖIDEN OIKEINKIRJOITUSSÄÄNTÖJÄSuureiden tunnukset kirjoitetaan vinolla tai kursiivilla(esim. F, v ), mutta yksiköiden tunnukset normaalillakirjasimella (esim. N, m/s 2 ).Yksiköiden nimet kirjoitetaan pienellä kirjaimella, vaikka neolisi johdettu henkilönimestä (esim. newton, pascal), muttasellaisten yksiköiden tunnukset kirjoitetaan isollaalkukirjaimella (esim. N, Pa).Lukuarvo erotetaan yksiköstä sanavälillä (esim. 11,9 m).Desimaalit erotetaan pilkulla. (Tämä on ISO:n suositus, jotaei kattavasti maailmalla kuitenkaan noudateta.)Johdetussa yksikössä toisillaan kerrottavat tunnukseterotetaan sanavälillä tai pisteellä (ei vinoristillä), mikäliväärinkäsityksen vaara on olemassa. (ei esim. mN, vaanm N, m·N, N m, N·m tai Nm).Nimittäjässä esiintyvä yksiköiden tulo on ympäröitäväsuluilla, jos käytetään vinoa jakoviivaa (esim. W/(K·m)).Kerrannaisyksikön etuliite kirjoitetaan välittömästi yhteentunnuksen kanssa (esim. mN, Mm, kPa).Etuliite ja yksikkö muodostavat yhdessä uuden tunnuksen,joka voidaan korottaa potenssiin sellaisenaan ilmansulkumerkkejä (esim. mm 2 , µs –1 ).Useampia etuliitteitä ei saa yhdistää samaan yksikköön (eiesim. Mkm, vaan Gm). Yksiköiden tuloissa etuliite liitetäänvain etumaiseen yksikköön (ei mN·mm, vaan µN·m).Yksiköiden tunnuksiin ei (SFS:n mukaan) liitetä taivutuspäätettä,jos sijamuoto ilmenee asiayhteydestä yksikäsitteisesti.(Esim. "2 m pituinen", mutta "2 m:iin saakka".)

SI-YKSIKÖIDEN ÄÄNTÄMISESTÄN njuut(o)n ei newtonJ joule ei džaul(e)W vatti ei uotHz hertsi ei hertsC kulombi ei koulombiΩ oomi ei ohmi, omegaµ mikro ei myy

MEKANIIKAN OSA-ALUEET1. KINEMATIIKKA• Tutkii liikettä ilmiönä.• Pyrkii esittämään liikkeen mitattavilla suureilla janäiden suureiden väliset riippuvuudet.• Ei tutki liikkeen aiheuttajaa.2. DYNAMIIKKA• Tutkii liikkeen riippuvuutta liikkuvasta kappaleesta jakappaleen ympäristöstä.3. STATIIKKA• Tutkii tasapainoehtoja.

LIIKKEEN LAJEJAETENEMISLIIKE vs. PYÖRIMISLIIKEULKOINEN LIIKE vs. SISÄINEN LIIKEJÄRJESTÄYTYNYT vs. JÄRJESTÄYTYMÄTÖN LIIKE

Example 2.10Lähtien suoraviivaisen liikkeen nopeuden ja paikanyleispätevistä kaavoista (2.17) ja (2.18) johda kaavat(2.8) ja (2.12), jotka pätevät erityisesti tasaisesti kiihtyvässäliikkeessä.

Example 3.1&4 [10 th Ed. 3-1&3]Auton paikkaa kuvaavat tason koordinaatitx = (2,0 m) – (0,25 m/s 2 ) t 2 ,y = (1,0 m/s) t + (0,025 m/s 3 ) t 3 ,missä t on aika. Laske auton vauhti, tangenttikiihtyvyysja normaalikiihtyvyys hetkellä t = 2,0 s.

Example 3.10’ [10 th Ed. 3-9’]Millä lähtökulmalla heitetty pallo lentää tasaisellakentällä pisimmälle, jos ilmanvastusta ei otetahuomioon?

Example 3.16 [10 th Ed. 3-15]Lentokoneen matkanopeus (ilman suhteen) on240 km/h ja lentäjä haluaa matkata suoraanpohjoiseen, vaikka tuulee lännestä 100 km/h. Mihin(kompassi)suuntaan lentäjän pitää ohjata ja mikä ontällöin koneen nopeus maan suhteen?Fig. 3.36 [3-30]

Newtonin I lakiJos kappaleeseen ei vaikuta mikäänvoima tai siihen vaikuttavien voimiensumma on nolla, kappale pysyylevossa tai jatkaa suoraviivaista liikettätasaisella nopeudella.Jatkavuuden laki, hitauden laki

Newtonin II lakiKappaleen kiihtyvyys on kappaleeseenvaikuttavan nettovoiman suuntainen janettovoimaan suoraan verrannollinensekä kääntäen verrannollinenkappaleen massaan.Dynamiikan peruslaki

Newtonin III lakiJos kappale vaikuttaa toiseenkappaleeseen jollakin voimalla,jälkimmäinen kappale vaikuttaaedelliseen yhtä suurella,vastakkaissuuntaisella voimalla.Vaikutuksen ja vastavaikutuksen laki

PISTEMÄISTEN KAPPALEIDEN MUODOSTAMANSYSTEEMIN TASAPAINO-ONGELMAN RATKAISEMINEN1. Piirrä kuvio, jossa näkyvät kaikki etäisyydet ja kulmat.2. Valitse systeemin jokin kappale ja piirrä siitä vapaakappalekuvio,jossa kappaletta esittää piste ja jostasysteemin kaikki muut kappaleet puuttuvat.3. Piirrä ympäristön kappaleeseen kohdistamat voimatvektoreina näkyviin:• painovoima alaspäin,• pinnan tukivoima kohtisuorasti pinnasta uloskappaleeseen päin,• kitkavoima pinnan suuntaisesti (ja vastakkaisestiliikkeen tai liikepyrkimyksen suunnalle),• köyden aiheuttama jännitysvoima köyden suuntaisestija kappaleesta poispäin.Anna jokaiselle voimalle tunnus ja tarkista, ettet olekeksinyt olemattomia voimia. (Kysy itseltäsi mikä toinenkappale on kyseisen voiman aihettanut kosketuksellaantai kaukovaikutuksena.)4. Älä piirrä kuvioon voimia, joita tarkastelemasi kappalekohdistaa ympäristöönsä.5. Valitse koordinaatisto. (Laskutoimituksia helpottaa, josuseat voimat ovat akseleiden suuntaisia. Esim. pinnansuunta kannattaa yleensä valita x-akseliksi, vaikka pintaolisi kalteva.)6. Kirjoita tasapainoehto kullekin akselisuunnalle erikseen:∑ Fix= 0 , ∑ Fiy= 0, ∑ Fiz= 0.iii7. Jos kappaleita enemmän kuin yksi, toista kohdat 2–6jokaiselle erikseen. (Koordinaatistojen ei tarvitse ollasamoja.) Käytä Newtonin III lakia keskenäänvuorovaikuttavien kappaleiden toisiinsa kohdistamiinvoimiin. Ratkaise tuntemattomat suureet yhtälöryhmästä,jonka kunkin kappaleen tasapainoehdot ja kappaleidenväliset vastavoimaehdot muodostavat.8. Testaa lopputuloksen järkevyyttä sijoittamallaparametreille arvoja, jotka antavat helposti arvattavantuloksen. (Esim. kaltevuuskulmat 0° ja 90°.)

PISTEMÄISTEN KAPPALEIDEN MUODOSTAMA SYSTEEMIKIIHTYVÄSSÄ LIIKKEESSÄRatkaistaan muuten samaan tapaan kuin pistemäistenkappaleiden muodostaman systeemin tasapaino-ongelma,mutta nyt käytetään tasapainoehtojen sijasta Newtonin IIlakia:∑iFi x= max, ∑ Fiy= may,∑ Fiz= maz.iiErityisesti on nyt varottava kiihtyvyyden (tai massallakerrotun kiihtyvyyden) merkitsemistä vapaakappalekuvioonkappaleeseen vaikuttavaksi voimaksi. Kiihtyvyyden voikyllä muistutukseksi merkitä omalla nuolellaan kappaleenviereen.

Example 5.3 [10 th Ed. 5-2]Auton moottori, jonka paino on w, on ripustettu mitättömänpainoisilla ketjuilla kuvion 5.3a [5-2a] osoittamalla tavalla.Laske ketjuihin vaikuttavat voimat.

Example 5.9&10 [10 th Ed. 5-7&8]Alaspäin 10,0 m/s kulkeva hissi, jonka massa matkustajineenon 800 kg, pysäytetään 25,0 m matkalla. a) Laske hissinvaijeriin jarrutuksen aikana kohdistuva jännitysvoimaolettaen kiihtyvyys vakioksi. b) Matkustaja, jonka massa on50,0 kg, seisoo hississä jousivaan päällä. Mitä arvoa vaakanäyttää jarrutuksen aikana?Fig. 5.10&11 [5-8&9]

Example 5.13 [10 th Ed. 5-11]Kappale, jonka massa on m 1 , liukuu kitkatonta kiskoapitkin, kun siihen massattoman ja kitkattoman väkipyöränyli vedetyllä, massattomalla ja venymättömällä langallayhdistetty kappale, jonka massa on m 2 , painuu alaspäinkuvion 5.16a [5-13a] järjestelyssä. Laske kappaleidenkiihtyvyydet ja langan jännitys.

Example 5.16’ [10 th Ed. 5-15’]Opiskelija raahaa tasamaalla köydestä vetämällä laatikkoa,jonka paino on 500 N. Laatikon ja maan välinen liikekitkakerroinon 0,40. Onko laatikkoa helpointa raahata tasaisellanopeudella, kun köyden kulma vaakatasoon nähden on 0°,30° vai 60°?Fig. 5.22 [5-19]

Example 5.17&18 [10 th Ed. 5-16&17]Kelkka, jonka massa matkustajineen on m, liukuu alasmäkeä, jonka kaltevuuskulma on α. Kelkan pohjan ja mäenpinnan välinen liikekitkakerroin on µ k . a) Millä kulman αarvolla kelkka liukuu tasaisella nopeudella? b) Jos mäki ona-kohdan tapausta jyrkempi, mikä on kelkan kiihtyvyys?Fig. 5.23&24 [5-20&21]

Example 5.23 [10 th Ed. 5-22]Laske suurin nopeus, jolla auto pysyy tiellä laakeassa kaarteessa,jonka säde on 230 m, kun pyörien ja tien välinenlepokitkakerroin on 0,87.Fig. 5.34 [5-28]

Example 6.2Halkorekeä, jonka paino on 14700 N, vedetään tasamaalla20 m matka traktorilla. Reen vetoköysi on 36,9° kulmassavaakatasoon nähden. Traktori kohdistaa köyteen 5000 Nvoiman, ja 3500 N kitkavoima vastustaa reen kulkua. Laskekaikkien rekeen kohdistuvien voimien tekemät työt erikseenja yhteensä.Fig. 6.6 [6-5]

Example 6.5Paalutuskoneen nuija, jonka massa on 200 kg, nostetaan3,00 m hakattavan palkin yläpuolelle ja pudotetaan, jolloinpalkki tunkeutuu 7,4 cm syvemmälle maahan. Nuijaankohdistuu sitä ohjaavista kiskoista 60 N kitkavoima. Laskea) nuijan vauhti iskeytymishetkellä ja b) keskimääräinenvoima, jonka nuija kohdistaa palkkiin.Fig. 6.9 [6-8]

Example 6.8Kappale, jonka massa on 0,100 kg, liukuu vaakasuoraakiskoa pitkin ja on kiinnitetty kiskon toiseen päähänjousella, jonka jousivakio on 20,0 N/m. Alkuhetkellä jousion lepoasennossaan ja kappale liukuu siitä poispäin1,50 m/s. Laske kuinka pitkälle kappale liikkuu, jos a) sen jakiskon välillä ei ole kitkaa tai b) liikekitkakerroin on 0,47.Fig. 6.18 [6-16]

Esimerkki 6-Y1a) Laatikko on kuljetettava tasaista vauhtia 10 km/hkaltevaa tasoa pitkin ylös vetämällä sitä tason suuntaisestaköydestä. Laatikon massa on 50 kg ja tason kaltevuus 30°.Laatikon ja tason välinen kitkakerroin on 0,35. Kuinka suuriteho vetämiseen tarvitaan?

) Mikä on laatikon nostamiseen edellä käytetyn menetelmänhyötysuhde?

HYÖTYSUHDEη = P anto / P otto= W anto / W otto= saatu / maksettu

Example 7.2Pallo, jonka massa on 0,145 kg heitetään suoraan ylöspäin0,50 m pituisella kädenliikkeellä siten, että pallo saa alkuvauhdikseen20,0 m/s. Laske a) voima, jonka käsi kohdistaapalloon, olettaen voima ajan suhteen vakioksi ja b) pallonvauhti, kun se on 15,0 m irtoamispisteensä yläpuolella.(Ilmanvastusta ei oteta huomioon.)Fig. 7.4 [7-3]

Example 7.4Laske pallon lakikorkeus, kun pallo heitetään alkuvauhdillav 0 ja kulmassa α 0 eikä ilmanvastusta oteta huomioon.Fig. 7.7 [7-6]

Example 7.7Laatikko, jonka massa on 12 kg, saa 30∞ kaltevuisen luiskanalapäässä alkuvauhdin 5 m/s, liukuu 1,6 m matkan luiskaapitkin ylös, pysähtyy ja liukuu takaisin alapäähän. a) Laskelaatikkoon kohdistuva kitkavoima olettaen se vakioksi. b)Laske laatikon loppuvauhti sen palatessa luiskanalapäähän.Fig. 7.10 [7-9]

Example 7.11Hissin vaijereiden pettäessä korin murskaantumisen estäähissikuilun pohjalle sijoitettu iskunvaimennin, jonka onpysäytettävä kori, kun vaimentimen jousi on puristunut 3,00m. Mitoita iskunvaimentimen jousivakio, kun hissikorinmassa matkustajineen on 2000 kg, hissin putoamistahidastava hätäjarru tuottaa 17000 N kitkavoiman ja korikohtaa iskunvaimentimen 25 m/s vauhdilla.Fig. 7.17 [7-13]

Example 7.13, missä C on vakio, konservatiivi-Onko voimanen?rF=C xˆjFig. 7.20 [7-16]

Example 7.16’Etsi lauseke konservatiiviselle voimalle, johon liittyvän2 2 2potentiaalienergian lauseke on U = 1 k(x + y + z ) .2

Konservatiivisen voiman tekemä työ1. voidaan aina ilmaista jonkinpotentiaalienergiafunktion alku- jaloppuarvojen erotuksena,2. on palautuvaa,3. ei riipu kohteena olevan kappaleenkulkemasta reitistä, vaan ainoastaansen alku- ja loppupisteistä,4. on kaikkiaan nolla, jos kohteenaolevan kappaleen loppupiste yhtyysen alkupisteeseen.

MITEN VOIDAAN LASKEMALLAOSOITTAA, ETTÄ ANNETTUVOIMA ON KONSERVATIIVINENTAI EPÄKONSERVATIIVINEN?Jos tunnetaan voiman lauseke paikanfunktiona ja halutaan todistaa, ettävoima on konservatiivinen, riittäälöytää jokin lauseke, jonka gradientinnegaatio on tuo kyseinen voima.Jos tunnetaan voiman lauseke paikanfunktiona ja halutaan todistaa, ettävoima on epäkonservatiivinen, riittäälöytää jonkin kahden paikan välisetkaksi reittiä, joita pitkin tuon voimantekemät työt ovat erisuuret.

IMPULSSIYleispätevä määritelmä:rJ=t2∫ ∑rF dt it1iYhteys keskimääräiseen nettovoimaan:r rJ = F ( t − tav 1 ) 2Yhteys liikemäärään:r r rJ = p − p 2 1

LIIKEMÄÄRÄN JA LIIKE-ENERGIANVERTAILULiikemäärä muuttuu, kun nettovoimavaikuttaa kappaleeseen tietyn aikaa:r∆p=rJ=∑ rFii⋅ ∆tLiike-energia muuttuu, kun nettovoimavaikuttaa kappaleeseen tietyn matkaa:∆ K=W=∑ir rF ⋅∆si

TÖRMÄYSTörmäys = kappaleiden lyhytaikainenvuorovaikutusTörmäyksen päätyypit:• Kimmoisa törmäys = törmäys, jossakappaleiden kokonaisliike-energiasäilyy.• Kimmoton törmäys = törmäys, jossakappaleiden kokonaisliike-energia eisäily.• Täysin kimmoton törmäys =törmäys, jossa törmäävät kappaleetyhtyvät.Kokonaisliikemäärä säilyy sekäkimmoisissa että kimmottomissatörmäyksissä, mikäli törmääjiin eivaikuta ulkoisia voimia.

Esimerkki 8-Y1Aki Parviaisen juoksuvauhti on 5 m/s ja hänen 800 gmassaisen keihäänsä lähtövauhti on 30 m/s. a) Mikä onAkin vedon keihäälle antama impulssi? b) Jos veto kestää0,1 s, kuinka suuren keskimääräisen voiman Aki kohdistaakeihääseen vetonsa aikana?

Example 8.4Veltosti asetta pitelevä ampuja laukaisee 3,00 kg massaisenkiväärin, jolloin 5,00 g massainen luoti saa vauhdin 300m/s. Laske luodin ja kiväärin liikemäärät ja liike-energiatlaukaisun jälkeen.

Example 8.13Kiekko A, jonka massa on 0,500 kg, ja kiekko B, jonkamassa on 0,300 kg, törmäävät kimmoisesti kitkattomallaalustalla. A:n alkunopeus on 4,00 m/s +x-akselin suuntaanja loppunopeus 2,00 m/s tuntemattomaan suuntaan. LaskeB:n loppunopeuden suuruus ja molempien kiekkojen liikesuunnat.Fig. 8.23 [8-19]

Example 9.9Umpinainen lieriö, jonka säde on R ja massa on M, pääseepyörimään kitkattomasti vaakasuoran keskiakselinsaympäri. Lieriön vaipan ympäri on kierretty venymätön,massaton vaijeri, ja vaijerin toiseen päähän on kiinnitettym-massainen punnus, jonka etäisyys lattiasta on aluksi h.Laske punnuksen vauhti ja lieriön kulmanopeus hetkellä,jolloin punnus iskeytyy lattiaan, jos systeemi on päästettylevosta liikkeeseen.Fig. 9.19 [9-15]

Example 9.13Tasa-aineisen, onton suoran ympyrälieriön massa on M,korkeus L, sisäsäde R 1 ja ulkosäde R 2 . Laske lieriönhitausmomentti symmetria-akselinsa suhteen.Fig. 9.25 [9-19]

PYÖRIMISEN LIIKEYHTÄLÖ∑ τ z= IαzJäykkään kappaleeseen vaikuttavienvoimien nettomomentti (Στ) aiheuttaakulmakiihtyvyyden (α), joka on suoraanverannollinen voimien nettomomenttiinja kääntäen verrannollinen kappaleenhitausmomenttiin (I) pyörimisakselin (z)suhteen.

Example 10.4Kappale, jonka massa on m 1 , liukuu kitkatonta kiskoapitkin, kun siihen massattomalla, venymättömällä langallayhdistetty m 2 -massainen kappale painuu alaspäin. Lankakulkee liukumatta yli kitkattomasti pyörivästä väkipyörästä,joka on ohutseinäinen rengas massaltaan M ja säteeltäänR. Laske kappaleiden kiihtyvyydet, väkipyörän kulmakiihtyvyysja langan eri osien jännitysvoimat.Fig. 10.11 [10-10]

Example 10.7Erimuotoisia, mutta ainakin yhden akselinsa suhteenpyöreitä, jäykkiä kappaleita päästetään vierimään liukumattakaltevaa tasoa pitkin. Minkä muotoinen kappale ehtiiensinnä alas?Fig. 10.17 [10-15]

Example 10.9Laske keilapallon kiihtyvyys, kun tämä (lähes) umpinainenpallo vierii liukumatta alas pitkin kourua, jonka kaltevuuskulmaon β.Fig. 10.20 [10-17]

Example 10.15Vauhtipyörä, jonka massa on 2,0 kg, säde 0,20 m ja kulmanopeus50 rad/s, yhdistetään kytkinlevyyn, jonka massa on4,0 kg, säde 0,10 m ja kulmanopeus samaan suuntaan 200rad/s. a) Laske kiekkojen yhteinen kulmanopeus yhdistämisenjälkeen, kun kumpaankaan ei kohdistu ulkoisia voimanmomentteja. b) Säilyykö liike-energia yhdistämisessä?Fig. 10.31 [10-27]

MEKANIIKAN SÄILYMISLAIT JA NIIDEN EHDOT:SYSTEEMIN MEKAANINEN KOKONAISENERGIA(ELI LIIKE- JA POTENTIAALIENERGIAN SUMMA)SÄILYYjos mitkään epäkonservatiiviset voimat eivättee systeemiin työtä (tai sellaisten töidensumma on nolla)SYSTEEMIN KOKONAISLIIKEMÄÄRÄ SÄILYYjos systeemiin ei vaikuta ulkoisia voimia (taiulkoisten voimien summa on nolla)SYSTEEMIN KOKONAISPYÖRIMISMÄÄRÄSÄILYYjos systeemiin ei vaikuta ulkoisten voimienmomentteja (tai ulkoisten momenttien summaon nolla)

Example 11.3Tikkaat, joiden paino on 180 N, on asetettu kitkatontapystyseinää vasten 53,1° kulmassa maahan nähden. Mies,jonka paino on 800 N, seisoo tikkailla kolmanneksenetäisyydellä tikkaiden alapäästä. a) Laske maan tikkaisiinkohdistamat normaalivoima ja kitkavoima. b) Laske pieninlepokitkakerroin, joka riittää estämään tikkaiden liukumisenalapäässä. c) Laske maan tikkaisiin kohdistamankosketusvoiman suuruus ja suunta.Fig. 11.7 [11-5]

KIMMOISUUTEEN LIITTYVÄÄ SANASTOAstress = jännitystensile stress = vetojännityscompressive stress = puristusjännitysstrain = (suhteellinen) venymäelastic modulus = kimmokerroinYoung's modulus = (vetojännityksen) kimmokerroin/ Youngin moduulibulk modulus = tilavuuskimmokerroincompressibility = kokoonpuristuvuusproportional limit = suhteellisuusrajaelastic limit = kimmorajaelastic deformation = kimmoinen muutosplastic deformation = plastinen muutosfracture point = katkeamispistebreaking/ultimate strength/stress = murtolujuustensile strength = vetolujuusductile = muovattava / sitkeäbrittle = haurashysteresis = hystereesi

Example 12-5 = 12.5Laske ammuksen pienin riittävä lähtönopeus, jotta sea) nousisi Maan säteen etäisyydelle Maan pinnasta taib) pääsisi Maan vaikutuspiiristä kokonaan irti. Ilman vastus,maapallon pyöriminen ja toiset taivaankappaleet jätetäänottamatta huomioon.Fig. 12.11 [12-10]

Example 12.6bPaljonko on tehtävä työtä, jotta 1000 kg massainen satelliittisaadaan ympyränmuotoiselle kiertoradalle 300 km Maanpinnan yläpuolelle?