Todennäköisyystulkinta modernissa fysiikassa

Todennäköisyystulkinta modernissafysiikassaFysiikan käsitteet ja rakenteet II Moderni fysiikkaFysiikan opettajankoulutusyksikköFysiikan laitosHelsingin yliopisto12.12.2006Antero SaarnioAri-Pekka TofferiTuomas TuovilaJohannes Vainio

Sisältö✴✴✴✴✴✴✴✴✴MotivointiTodennäköisyyskäsite ja tilastollinen todennäköisyysBohrin atomimalliAineaallot ja aaltopakettiKahden raon sirontakoeHeisenbergin epätarkkuusperiaateSchrödingerin yhtälöAaltofunktion todennäköisyystulkintaOngelmat lukio-opetuksessa

Motivointi✴Lukiolaisen motivointi:✴ Epävarmuus arkipäivän ilmiöissä, bussiesimerkki(odotusarvo, jakauma, aineiston käsittely).✴ Epävarmuuden hallinta, todennäköisyyslaskennanlähtökohta

Todennäköisyyskäsite ja tilastollinentodennäköisyys✴✴✴✴Lähtökohta: epävarmuuden hallintaSatunnaismuuttuja✴ Jakaumat: diskreetti/jatkuvaHavainnoista malleihin, tilastollinen päättely(aihe ei sisälly peruskoulun OPS:n, lukiossa MAB5,MAA6)

Bohrin atomimalli✴✴✴✴Ensimmäinen semikvanttimekanistinen fysikaalinenatomimalli, joka kuvaa atomin pieneksi positiivisestivarautuneeksi ytimeksi, jota elektronit kiertäväteritasoisilla radoilla.Sisäisesti ristiriitainen.Malli toimi ponnahduslautana kvanttimekaniikanteorioiden kehitykselle.Opetetaan yleisesti lukiossa.

Aineaallot ja aaltopaketti✴✴✴Elektronien aaltoluonne voidaan saada näkyviin esimerkiksitarkastelemalla elektronisuihkun sirontaa kiteisen aineenpinnasta.De Broglie johti kaavan , jossa hiukkasen aallonpituus onPlanckin vakio jaettuna hiukkasen liikemäärällä.De Broglien aalto on todennäköisyysjakaumaa kuvaavaaaltofunktio, jolla hiukkasjoukon käyttäytymistä voidaanennustaa. Hiukkasten aalto-ominaisuudet ilmenevät, kunhiukkasen aallonpituus on samaa kertaluokkaa kuinvälimatka hilassa, josta se siroaa. Hiukkasten aaltoluonnevoidaan osoittaa esimerkiksi kaksoisrakokokeella.

Kahden raon sironta koe✴✴✴✴✴Suoritti alun perin englantilainen tiedemies Thomas Young vuonna1802.Tarkoituksena selvittää muodostuiko valo hiukkasista vai aalloista.Alkuperäisessä Youngin kaksoirakokokeessa auringonvalo kulkeeensin yksittäisen raon läpi ja sen jälkeen kahden ohuen pystysuoranraon läpi muutoin valoa läpäisemättömissä levyissä joidentakana olevan levyn (heijastin, varjostin) pinnalle interferenssikuviotmuodostuvat ja josta ne ovat havaittavissa.Kaksoisrakokokeesta eri variaatioineen tuli klassinen ajatuskoekvanttimekaniikan keskeisten kysymysten selvittämiseen.Loi pohjaa dualistiselle mallille ja aaltofunktion todennäköisyystulkinnalle.

Heisenbergin epätarkkuusperiaate✴✴✴✴✴✴✴Hiukkasen paikka ja liikemäärä voidaan havaita siitäsiroavan säteilyn avulla.Paikan ja liikemäärän määrittämisessä tulee epätarkkuutta,joka johtuu käytetyn säteilyn aallonpituudesta ja hiukkasensaamasta impulssista.Hiukkasen liikemäärän ja paikan samankertaista määritystärajoitttaa ehto x p≥ 12 , joka tunnetaanHeisenbergin epätarkkuusperiaatteena.Rakokokeessa aallon tapauksessa voidaan tarkastellaaukon kokoa ja pulssin leveyttä.Kun aukkoa pienennetään, tulee liikemääränepämääräisyys suuremmaksi ja päinvastoin.Paikallisuutta tutkimalla ei ole mahdollista erottaa toisistaanhiukkasta ja aaltoa.Epämääräisyys koskee myös energiaa ja aikaa.

Aaltofunktion todennäköisyystulkinta✴✴✴Elektronien aaltoluonne: elektronisuihkun sirontaa kiteisen aineenpinnasta.De Broglien kaavaDe Broglien aalto: todennäköisyysjakaumaa kuvaava aaltofunktio.

Aaltofunktion todennäköisyystulkinta✴✴✴✴✴✴Aaltofunktio ψ(x,y,z,t) on kvanttimekaniikan tapa kuvatahiukkasta.Max Born: Fysikaalinen merkitys:hiukkasen todennäköisyys P(r,t) esiintyä pisteessä r hetkellä t: .| ψ2 |: hiukkasen esiintymistodennäköisyystiheys tiettynä hetkenätietyssä pisteessä: p(x,y,z)dV = | ψ2 | dV = ψψ * dVPolkuintegraaliformalismi.Schrödingerin aaltoyhtälö: aaltofunktion muoto.Aaltofunktiolla: yksittäiset fotonit noudattavat tuttuadiffraktiokuviota Youngin kaksoisrakokokeessa. Kokeenongelmia:✴ Kvanttimekaniikan säännöt eivät kuitenkaan pysty ennustamaan, mihinyksittäinen hiukkanen tulee osumaan varjostimella.✴ Hiukkanen näyttää olevan vuorovaikutuksessa molempien rakojenkanssa.✴ Ei-lokaalinen aaltopaketti vai yksittäinen pistemäinen hiukkanen.

Schrödingerin yhtälö✴✴✴✴✴✴Kehitti itävaltalainen fyysikko Erwin Schrödinger vuonna1925.Differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu aineaaltoa kuvaavaaaltofunktio ψ.Kvanttifysiikan havaittujen ja mittausten perusteellasaatujen ilmiöiden matemaattinen malli.Ratkaisu antaa kaiken tiedon mitä kvanttimekaanisestasysteemistä voidaan saada.Fysiikan kannalta yhtälön paikkansa pitävyyttä ei voidateoreettisesti todistaa.Tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtälö".

Ongelmat lukio-opetuksessa✴✴Puutteet oppilaiden taustatiedoissa✴ Todennäköisyyksien hahmottaminen✴ Aineiston tilastollinen käsittelyAihe teoreettinen ja vaikea✴ Motivointi ongelmallista✴ Paljon lukiolaiselle vaikeita laskuja