Nombres de classes des corps quadratiques imaginaires

Nombres de classes des corps
quadratiques imaginaires
David Pigeon
Mémoire de Master 2R, sous la direction d’Antoine Chambert-Loir

Table des matières
1 Introduction 4
2 Théorie des corps de classes 5
2.1 Corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Groupe des unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Groupe de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Théorie des corps de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Corps de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Corps de classes de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Corps quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Corps quadratiques réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Corps quadratiques imaginaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.4 Caractères de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Méthodes effectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Calcul de l’unité fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Calcul de hK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.3 Calcul du corps de classes de Hilbert HK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Courbes elliptiques 13
3.1 Courbes elliptiques sur K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Caractéristique différente de 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Isogénies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Hauteur sur les courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Courbes elliptiques sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Fonctions elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Jacobienne d’une courbe elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Courbes elliptiques sur Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1 Conducteur d’une courbe elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.2 Séries de Dirichlet associées à une courbe elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Formes modulaires 19
4.1 Groupes et courbes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.1 Groupe modulaire de niveau N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.2 Courbes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.3 Genre de X0(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.1 Opérateurs sur les formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.2 Séries de Dirichlet associées à une forme modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.3 Etude des formes paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Courbes elliptiques et formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.1 Forme parabolique associée à une courbe elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.2 Espaces des modules sur Γ0(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.3 Paramétrisation modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.1 La fonction discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.2 Les fonctions d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.3 La fonction de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.4 L’invariant modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2

5 Multiplication complexe 30
5.1 Courbes elliptiques à multiplication complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Equation modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Actions sur Ell(OK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 Théorème principal de la multiplication complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Nombre de classes dans les corps quadratiques imaginaires 33
6.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Corps quadratiques imaginaires de nombre de classes un (Heegner-Stark) . . . . . . . . . . . 33
6.3 Corps quadratiques imaginaires de nombre de classes un (Baker) . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.4 Ordres de nombre de classes un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.5 Une minoration de h(dK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.5.1 Deuxième conjecture de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3

1 Introduction
En théorie des nombres, le groupe de classes d’un corps de nombres K est un objet fondamental. Il
correspond au quotient de l’ensemble des idéaux fractionnaires de l’anneau des entiers de K par ceux qui
sont principaux. Ce qui nous intéresse plus particulièrement est son ordre, appelé le nombre de classes.
Le but de cet exposé est de répondre au problème du nombre de classes de Gauss pour les corps quadratiques
imaginaires de nombre de classes un. C’est à dire fournir une liste complète des corps quadratiques
imaginaires avec un nombre de classes un. Nous prouverons le théorème suivant dû à Heegner en 1952
Théorème 1.1
Soit K un corps quadratique imaginaire de discriminant dK alors on a équivalence entre :
h(dK) = 1 ⇐⇒ dK = −3, −4, −7, −8, −11, −19, −43, −67 ou − 163
Ainsi comme le discriminant détermine uniquement le corps quadratique imaginaire, il existe exactement
neuf corps quadratiques imaginaires avec un nombre de classes un.
On va démontrer de deux façons ce thèorème. Pour la première démonstration, il nous faudra étudier la
structure du groupe de classes CK ce qui se fait via le corps de Hilbert HK car Gal(HK/K) ∼ = CK. Nous
utiliserons alors la théorie de la multiplication complexe qui nous apprend que dans le cas où K est un
corps quadratique imaginaire le corps de Hilbert est explicite. Un des points clef ensuite est de montrer que
j((3 + √ −p)/2) est un cube lorsque p ≡ 3 mod 8. La deuxième méthode due à Baker, utilise la théorie des
formes logarithmes.
Le deuxième théorème concerne une minoration effective du nombre de classes. Ce théorème est dû à
Gross et Zagier
Théorème 1.2
Il existe une constante c > 0 calculable telle que pour tout discriminant dK < 0 d’un corps quadratique
imaginaire
h(dK) > c
1 − [2√
p]
log(−dK)
p + 1
p|dK
Pour démontrer ce théorème nous étudierons la courbe elliptique découverte par Gross-Zagier E :
−139y 2 = x 3 + 10x 2 − 20x + 8 et sa forme parabolique associée. Oesterlé a montré en 1984 que l’on pouvait
prendre c = 1/7000.
4

2 Théorie des corps de classes
Dans toute cette section K désigne un corps de nombres (ie une extension finie de Q). On utilise les
notations courantes associées à K
– OK : son anneau des entiers
– dK : son discriminant
– IK : l’ensemble des idéaux fractionnaires de OK
– CK : son groupe de classes d’idéaux
– hK : l’ordre de CK (nombre de classes)
– HK : son corps de Hilbert
On note aussi MK l’ensemble des places de K (archimédiennes et non-archimédiennes).
2.1 Corps de nombres
Soit K un corps de nombres tel que [K : Q] = n, on lui associe son discriminant défini par
avec (xi)1≤i≤n une base de K sur Q.
2.1.1 Groupe des unités
dK = det(Tr K/Q(xixj)1≤i,j≤n)
Notons r le nombre de places réelles de K (ie le nombre de valuations archimédiennes de MK telles que
le complété de K en cette place soit isomorphe à R ou le nombre de morphismes injectifs de K dans R) et
s le nombre de paires de places conjuguées complexes, on a [K : Q] = r + 2s. On leur associe σ1, . . . , σr les
places archimédiennes réelles et σr+1, . . . , σr+s−1 les paires de places archimédiennes complexes.
Le groupe des unités UK de K est un groupe de type fini de rang r + s − 1 (théorème des unités de
Dirichlet). Nous verrons (§ 2.3) que dans le cas où K est un corps quadratique UK a une forme simple. On
associe à UK
regk(K) =
avec 1 ≤ k ≤ r + s
det(li(εj)) 1 ≤ j ≤ r + s − 1
1 ≤ i ≤ r + s, i = k
avec (εj)1≤j≤r+s−1 une base de UK et li : UK → Rr+s les applications
log |σi(x)| si 1 ≤ i ≤ r
li(x) =
log |σi(x)| 2 si r + 1 ≤ i ≤ r + s − 1
L’élément reg k(K) est indépendant de k, on l’appelle le régulateur de K noté reg(K).
2.1.2 Groupe de classes
Le groupe de classes CK de K est le quotient de l’ensemble des idéaux fractionnaires de OK (l’anneau de
entiers de K) par les idéaux fractionnaires principaux. C’est un groupe abélien fini de cardinal hK, appelé
le nombre de classes.
Le premier théorème qui nous donne des informations sur le groupe de classes CK est le théorème de
Minkowski (voir [Jan]). Il dit que dans chaque classe d’idéaux de CK, il existe un idéal entier a tel que
On en déduit alors le théorème fondamental
Théorème 2.1
N K/Q(a) ≤ n!
n n
Pour tout corps de nombres K, CK est un groupe fini.
5
s 4 |dK|
π

Preuve. Notons pour cela M la borne majorante dans l’inégalité de Minkowski, il suffit de montrer que
l’ensemble des a ⊂ OK entiers tels que N K/Q(a) ≤ M est fini. Soient a = B a1
1
. . . Bak
k , ai > 0 un tel idéal de
OK, pi les nombres premiers tels que piZ = Z ∩ Bi et fi = [OK/Bi : Z/(pi)] alors N K/Q(a) =
i pfiai i
≤ M.
Donc pi ≤ M et ai ≤ log 2 M. Mais il n’y a qu’un nombre fini de nombres premiers inférieurs à M. Et au
dessus de ces nombres premiers, il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux premiers de K. Ainsi hK est fini.
On associe à K, sa fonction zeta ζK
ζK(s) =
a=0
1
1
= 1 −
N s
K/Q(a) N
p
K/Q(p) s
−1 avec ℜe(s) > 1
la somme étant prise sur les idéaux entiers de K et le produit sur les idéaux premiers de K. On a alors la
formule des classes (voir [Jan])
avec uK le nombre de racines de l’unité dans K.
2.2 Théorie des corps de classes
lim
s→1 +(s − 1)ζK(s) = 2r+sπsreg(K)
|dK| hK (1)
Références : [Cox], [Ser3] et [Jan] pour une approche directe, [Cas], [Lan1] et [Wei] pour une approche
adélique et [Ser1] pour la théorie locale des corps de classes.
Soient p un idéal premier de K et B un idéal de L au dessus de p. Alors N K/Qp est le cardinal du corps
fini OK/p. D’après la théorie de Galois, il existe un unique σB ∈ Gal(OL/B, OK/p) vérifiant pour tout
x ∈ OL,
σB(x) ≡ x N K/Qp mod [B]
σB ∈ Gal(L/K). On l’appelle l’élément de Frobenius de B. Par la théorie de la ramification, on a
[L : K] = fg avec |GB| = f et g le nombre de B divisant p, ainsi
uK
N L/KB = p f
Si de plus l’extension L/K est abélienne, alors pour tout Bi, Bj ⊂ OL au dessus de p, il existe η ∈
Gal(L/K) tel que Bj = η(Bi), ainsi
σBj = σ η(Bi) = ησBiη −1 = σBi
donc tous les σBi (Bi au dessus de p) sont égaux. On note ce morphisme (p, L/K) (il ne dépend plus des
Bi/p). Par exemple un idéal premier p est totalement décomposé si et seulement si (p, L/K) = 1.
Soit maintenant c un idéal de OK divisible par tous les idéaux ramifiés en L, il se décompose en c =
i pi νp i (OK est un anneau de Dedekind), on lui associe le sous-groupe de IK, IK(c) = p∤c pap
, ap ∈ Z
Définition 2.2
L’application d’Artin est définie par
ϕL/K : IK(c) −→ Gal(L/K)
A ↦−→
p∤c (p, L/K)νp(A)
L’étude de l’application d’Artin en particulier de son noyau est le coeur de la théorie des corps de classes.
6

2.2.1 Corps de classes
Soit m un module de K, c’est un produit formel d’un nombre fini de places de K (archimédiennes et
non-archimédiennes), il s’écrit
m = m0m∞
avec m0 la partie non-archimédienne de m et m∞ la partie archimédienne de m.
On dit que x ∈ K est congrue à 1 modulo m si et seulement si νpi(x − 1) ≥ νpi(m0) pour pi|m0 et
σ(x) > 0 pour σ|m∞. On note IK,m = IK(m0) et PK,m(1) le sous groupe de IK,m des idéaux principaux
(x) avec x ≡ 1 mod m. Le groupe IK(m0)/PK,m(1) est fini. On dit alors que G est un groupe de classes
modulo m si PK,m(1) ⊂ G ⊂ IK,m.
Soient L une extension abélienne finie de K et m un module de K, m peut-être vue comme un module
de L. On définit le groupe de congruence modulo m de l’extension L/K par
Gm(L/K) = PK,m(1)N L/K(IL,m)
On note hm son ordre, la première inégalité fondamentale dit (voir [Ser3] et [Jan])
Définition 2.3
hm ≤ [L : K]
Soit L extension galoisienne finie de K, L est un corps de classes sur K s’il existe un module m de K
tel que hm = [L : K].
On a le théorème important (voir [Ser3] et [Jan])
Théorème 2.4
Les corps de classes au dessus de K sont exactement les extensions abéliennes de K.
Soit L/K un corps de classes, on vérifie facilement que si l’égalité hm = hn = [L : K] tient pour deux
diviseurs n, m de K alors elle tient pour pgcd(n, m). D’où l’existence d’un unique diviseur f L/K divisant
tous les diviseurs pour lequel l’égalité tient. On l’appelle le conducteur de L/K. On dit aussi que L est
le corps de classes de rayon f L/F (ie le plus petit corps de classes pour un conducteur donné). On le
notera H(f L/K). Comme nous verrons, les groupes de classes sont en bijection avec les corps de classes grâce
à l’application d’Artin.
Mais avant cela, on définit la densité de Frobénius pour tout sous-ensemble M de MK par
δ(M) = lim
s→1 +
ζ(s, M)
ζ(s, MK)
avec ζ(s, M) =
p∈M NK/Q(p) −s la fonction zéta associée à M. On a δ(MK) = 1 et δ(M cd
K (L)) = 1/[L : K]
avec M cd
K (L) l’ensemble des idéaux premiers de K complètement décomposés dans L. Ainsi si L/K est un
corps de classes, on a δ(M cd
K (L)) = 1/hm, d’où la proposition (voir [Ser3] et [Jan])
Proposition 2.5
Soit L/K galoisienne finie de degré n,
(i) si L/K un corps de classes, alors il existe un module m et un groupe de classes G tels que
(a) GL/K(Im(L)) ⊂ G.
(b) G ∩ MK ⊂0 M cd
K (cela signifie que l’égalité tient sauf sur un ensemble de densité de Frobénius
nulle).
(ii) Réciproquement, si m et G vérifient (a) et (b), alors L/K est un corps de classes, hm = n et G =
Gm(L/K).
Il vient ainsi pour L1 et L2 des corps de classes au dessus de K,
L1 ⊂ L2 ⇐⇒ Gm(L2/K) ⊂ Gm(L1/K)
Le théorème principal de la théorie des corps de classes s’énonce ainsi
7

Théorème 2.6
(i) Pour tout groupe d’idéaux G défini modulo m, il existe un unique corps de classes L/K tel que
[IK,m : Gm(L/K)] = [L : K] et G = Gm(L/K)
(ii) Soient L/K une extension abélienne finie (ie un corps de classes) et m un diviseur tels que hm = [L : K]
alors ϕ L/K : IK(m) −→ Gm(L/K) est un homorphisme surjectif de noyau Gm(L/K).
(iii) Un idéal premier p de K est ramifié dans un corps de classes L/K si et seulement si p divise f L/K.
2.2.2 Corps de classes de Hilbert
Si on prend le diviseur trivial m = 1, alors IK,1/PK,1(1) = CK. Le théorème 2.6 nous dit qu’il existe un
unique corps de classes HK tel que l’application d’Artin induit un isomorphisme
On l’appelle le corps de classes de Hilbert.
On en déduit le théorème suivant :
Théorème 2.7
CK ∼ = Gal(HK/K)
Le corps de classes de Hilbert HK est l’extension abélienne maximale non ramifiée du corps K.
Cela est due à (iii) du théorème 2.6 et au faite que f HK/K = 1.
2.3 Corps quadratiques
Références : [Cox], [Gau], [Iwa] et [Jan]
Un corps quadratique K est de la forme Q( √ N) avec N entier sans carré. Le discriminant dK de K
vaut N si N ≡ 1 mod 4 et 4N sinon. On a directement que dK ≡ 0, 1 mod 4 et K = Q( √ dK). Deux corps
quadratiques de même discriminant sont égaux.
Son anneau des entiers OK vaut Z[wK] = [1, wK] avec wK = (1 + √ dK)/2 si dK ≡ 1 mod 4 et √ dK
sinon. C’est un Z-module libre de rang 2 de corps de fraction K.
Nous faisons maintenant une étude séparée pour les corps quadratiques réels et imaginaires.
2.3.1 Corps quadratiques réels
Les corps quadratiques réels sont les corps quadratiques K de discriminant positif. Le théorème des unités
de Dirichlet (§ 2.1.1) nous dit que le groupe des unités UK de K (r = 2 et s = 0) vaut
UK = 〈−1〉 × 〈ε〉
avec ε un générateur réel du groupe cyclique infini. On voit que ε, −ε, 1/ε, −1/ε engendrent aussi le groupe
cyclique infini. On appelle unité fondamentale de K le générateur ε tel que ε > 1, on le note εK. Elle
permet entre autre de calculer le régulateur de K (ie le volume du réseau [1, εK]), on a reg(K) = ln εK.
Pour trouver l’unité fondamentale, remarquons qu’une unité x + ywK de UK vérifie l’équation
N K/Q(x + ywK) = ±1
cette équation est parfois appelée équation de Pell-Fermat. L’unité fondamentale est la solution positive
minimale (voir § 2.4.1 pour un exemple de calculs ou [Bor]).
8

2.3.2 Corps quadratiques imaginaires
Les corps quadratiques imaginaires sont les corps quadratiques de discriminant négatifs. Le théorème des
unités de Dirichlet (§ 2.1.1) nous dit que le groupe des unités UK de K (r = 0 et s = 1) vaut
⎧
⎨ {±1; ±i} si dK = −1
UK = {±1; ±wK; ±wK} si dK = −3
⎩
{±1} si d < −3
Ainsi reg(K) = 1 car UK est engendré par des racines de l’unité.
Les idéaux primitifs de OK sont les idéaux entiers a tels que les seuls diviseurs de a dans Z soient ±1.
Comme Z-module ils sont de la forme a = [a, (b + √ D)/2] avec a = N K/Qa et −a < b ≤ a tels que b 2 ≡ D
mod 4a. A tout idéal primitif a, on associe le point dans h
za = b + √ D
2a
On appelle idéal réduit, l’unique idéal primitif qui vérifie avec les notations du dessus −a < b ≤ a < c ou
0 ≤ b ≤ a = c. Toute classe de CK contient un unique idéal primitif, donc hK est le nombre d’idéaux réduits
dans OK.
Un ordre O dans un corps quadratique imaginaire K est un sous-anneau contenu dans K qui est un
Z-module libre de rang 2. Ainsi OK est un ordre qui est maximal pour la relation d’inclusion. On sait que
OK = [1, wK], pour un ordre O de K on a O = Z+fOK = [1, fwK] avec f = [OK, O] appelé le conducteur
de l’ordre O. Son discriminant D vaut D = f 2 dK. Une classe importante d’idéaux fractionnaires de O sont
les idéaux fractionnaires propres de O, les a ⊂ O vérifiant O = {β ∈ K, βa ⊂ a}. Par exemple si
O = [1, aτ] avec τ tel que K = Q(τ) et a le coefficient dominant du polynome minimal de τ sur Q, alors
[1, τ] est un idéal fractionnaire propre de O (voir [Cox]).
En quotientant l’ensemble des idéaux fractionnaires propres par ceux qui sont principaux, on obtient
C(O) le groupe de classes de l’ordre O, c’est un groupe fini d’ordre h(O). De plus C(O) est aussi le groupe
de classes pour le module fOK avec f le conducteur de O. Ainsi par le théorème 2.6 de la théorie des corps
de classes, il existe un unique corps de classes au dessus de K déterminé par le module fOK. On l’appelle
le corps de classes d’anneaux de O, on le note H(O). On sait que OK est un ordre d’où H(OK) = HK.
On finit par une formule donnant une relation entre h(OK) et h(O) avec O un ordre de K de conducteur f
(voir [Cox])
h(O) = h(OK)f
[UK : U(O)]
p|f
∈ h
1 −
dK
p
1
p
avec U(O) les unités de l’ordre O.
Le corps de genre EK de K est la plus grande extension abélienne de Q contenue dans HK. Il vérifie
Gal(HK/EK) ∼ = C 2 K
De plus, si p1, . . . , pt sont les diviseurs premiers impairs de dK alors EK = K(α1, . . . , αt) avec αi = √ p i si
pi ≡ 1 mod 4 et √ −pi si pi ≡ 3 mod 4. D’où [EK : K] = 2 t−1 .
2.3.3 Formes quadratiques
Soit f(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 avec a, b, c ∈ Z une forme quadratique, notée aussi f = (a, b, c). On
appelle D = b 2 − 4ac son discriminant, ainsi D ≡ b 2 mod 4 et donc D ≡ 0, 1 mod 4. On s’intéressera
aux formes quadratiques f définies positives (ie D < 0 et f est à valeurs positives) et primitives (ie
pgcd(a, b, c) = 1). On associe à toute forme quadratique définie positive f = (a, b, c) de discriminant D < 0,
zf = (−b + √ D)/(2a).
Deux formes f et g sont proprement équivalentes s’il existe γ ∈ SL(2, Z) telle que γ(zf ) = zg. Toute
forme quadratique est équivalente à une unique forme quadratique g = (a, b, c) telle que soit −a < b ≤ a < c
9
(2)

soit 0 ≤ b ≤ a = c, on dit qu’elle est réduite. On note QD leur ensemble. Une forme réduite importante est
la forme principale définie pour D < 0 par
x 2 − D
4 y2 si D ≡ 0 mod 4
x 2 1 − D
+ xy + y
4
2 si D ≡ 1 mod 4
Soit C(D) l’ensemble des classes de formes primitives définies positives de discriminant D, on peut le munir
d’une loi de groupe (la composition de Dirichlet, voir [Cox]) dont l’élément neutre est la classe contenant la
forme principale. C’est un groupe fini de cardinal h(D). Le nombre de classes h(D) est donc égal au nombre
de formes quadratiques réduites de discriminant D.
Si O est un ordre de discriminant D alors
C(O) ∼ = C(D)
En particulier si D = dK le discriminant d’un corps quadratique imaginaire K, on a un isomorphisme de
groupe de C(dK) dans CK en associant à la forme quadratique (a, b, c) l’idéal réduit [a, (b + √ dK)/2] avec
dK = b2 − 4ac. D’où CK = C(OK) ∼ = C(dK) et hK = h(OK) = h(dK), on confondra par la suite ces notions.
De (2), on déduit une formule déja connue de Gauss (voir [Gau])
h(f 2 dK) = h(dK)f
[UK : U(O)]
p|f
1 −
dK
p
1
p
On dit que deux formes sont dans le même genre si leurs ensembles images (ie f(Z 2 )) sont identiques dans
(Z/DZ) ∗ . Deux formes équivalentes sont dans le même genre (mais l’inverse est faux). Le genre principal
est le genre contenant la forme principale, il vaut C(D) 2 . Dans le cas, où D = dK, le discriminant d’un corps
quadratique imaginaire alors il existe 2 t−1 genres de formes de discriminant D avec t le nombre de diviseurs
premiers impairs de dK.
2.3.4 Caractères de Dirichlet
Soit K un corps quadratique de discriminant dK, un nombre premier p de Q dans K est soit ramifié, soit
inerte, soit décomposé. On associe alors un caractère χK à cette décomposition
⎧
⎨ 1 si pOK = pp, p décomposé
χK(p) = −1 si pOK = p, p inerte
⎩
0 si pOK = p2 , p ramifié
puis on pose χK(nm) = χK(n)χK(m) pour tout n, m ∈ N ∗ d’où un morphisme χK : N ∗ → {−1, 0, 1}. Pour
tout n ≥ 1, on a la périodicité χK(n + |dK|) = χK(n). D’où χK(n) = (dK/n) (symbole de Legendre), on le
note alors aussi χdK . La série de Dirichlet associée à χK définie pour ℜe(s) > 1 vaut
L(χK, s) =
p
1 − χK(p)
ps −1 Si on pose Λ(χK, s) = ( |dK|/(2π)) s Γ(s)L(χK, s), on a l’équation fonctionnelle
Λ(χK, s) = Λ(χK, 1 − s)
D’où on montre que ΛK(χ, s) admet un prolongement à C avec un pôle d’ordre 1 en s = 1.
10
(3)

En regardant la contribution de chaque nombre premier dans la formule des classes (1), on a ζK(s) =
ζ(s)L(χK, s). La formule des classes (1) devient donc
⎧
⎪⎨
|dK|
L(χK, 1) si dK > 0
hK = 2 ln εK
(4)
⎪⎩
uK |dK|
L(χK, 1) si dK < 0
2π
avec uK le nombre de racine de l’unité dans K.
Les coefficients al dans le developpement ζK(s) =
de l par les formes réduites de QdK (voir [Land2]). D’où la relation
2ζ(s)L(χK, s) =
f(m, n) −s
2.4 Méthodes effectives
Références : [Jan], [Cox], [Lan1] et [Bor]
l al/l s valent la moitié du nombre de représentations
f∈QdK (m,n)=(0,0)
Dans les démonstrations nous aurons besoin de calculer εK, hK et HK. Nous exposons plusieurs méthodes
effectives.
2.4.1 Calcul de l’unité fondamentale
Nous montrons comment calculer l’unité fondamentale εK d’un corps quadratique réel K = Q( √ dK) avec
dK ≡ 1 mod 4 et dK = 5 (si dK = 5 alors εK = (1 + √ 5)/2). On développe ( √ dK − 1)/2 en fraction continue
de la forme :
1
[a0, a1, . . . , am] = a0 +
1
a1 +
a2 + 1
a3+...
le developpement est périodique car ( √ dK − 1)/2 est quadratique. Soient pr/qr = [a0, . . . , ar] le réduit de
rang r et r0 ≥ 1 le premier entier tel que N K/Q(pr0 − wKqr0) = ±1 dont on peut montrer l’existence alors
εK = pr0 + wKqr0 (voir [Bor]).
Exemple : Pour dK = 33, on a ( √ 33 − 1)/2 = [2, 2, 1, 2, 5], on a le tableau
d’où r0 = 3 et εK = 19 + 8( √ 33 + 1)/2 = 23 + 4 √ 33.
2.4.2 Calcul de hK
r ar pr qr N K/Q(pr − wKqr)
0 2 2 1 -2
1 1 5 2 3
2 2 7 3 -2
3 5 19 8 1
Nous donnons trois méthodes fondamentales pour le calcul de hK. Dans [Coh], on pourra trouver deux
autres méthodes utilisant la structure de groupe de CK, ainsi que des calculs de complexités des différentes
méthodes.
(1) Formes réduites :
La première méthode est de chercher le nombre de formes réduites de discriminant dK < 0. Rappelons
qu’une forme réduite f = (a, b, c) vérifie soit −a < b ≤ a < c soit 0 ≤ b ≤ a = c. Ainsi
11
(5)

|dK| = 4ac − b 2 ≥ 4a 2 − a − 2 donc a ≤ |dK|/3 et b ≡ dK mod 2. On a aussi c = (b 2 − dK)/(4a) ∈ Z.
Exemple : Prenons K = Q( √ −5), on a dK = −20 et a ≤ 20/3 ≈ 2, 6. Ainsi il existe deux formes
réduites (1, 0, 5) et (2, 2, 6) (ie hK = 2).
(2) Série de Dirichlet :
En developpant L(χK, 1) dans la formule (4) (voir [Jan]), on montre que
⎧
1
′
⎪⎨ ln εK
χK(j) ln sin
1≤j≤dK/2
hK =
⎪⎩
πj
dK
si dK > 0
uK ′
2|dK| χK(j)j
si dK < 0
1≤j≤|dK|
′ signifie que la somme est prise sur les j premiers à dK.
Exemple : Soit K = Q( √ −3) alors dK = −3, χK(2) = χK(−1) = −1, χK(1) = 1 et les racines de l’unité
dans K sont {±1, ±1/2 ± i √ 3/2} d’où uK = 6, ainsi
hK = 6
|1 × 1 − 1 × 2| = 1
2 × 3
(3) La borne de Minkowski :
Le théorème de Minkowski nous dit que dans chaque classe d’idéaux de CK, il existe un idéal entier a tel
que
2
NK/Q(a) ≤
dK/π si dK
> 0
dK/2 si dK < 0
On en déduit alors une majoration de hK en regardant la ramification des nombres premiers plus petit que
la borne majorante.
Exemple : Par le théorème 1.1 pour K = Q( √ −5), hK > 1. La borne majorante dans le théorème de
Minkowski vaut M = 2 √ 20/π ≈ 2, 8. De plus il n’y a qu’un seul idéal premier de K au dessus du nombre
premier 2 donc hK ≤ 2 donc hK = 2.
2.4.3 Calcul du corps de classes de Hilbert HK
Nous exposons une méthode pour calculer le corps de classes de Hilbert d’un corps quadratique imaginaire
K. La méthode passe par le calcul du corps de genre EK de K, un corps qui est très facile à calculer
(voir § 2.3.2). Il arrivera très souvent que ce corps soit finalement HK ou n’en est pas loin.
Exemple : Le théorème 1.1 nous dit que pour K = Q( √ −15), hK > 1, donc que HK = K. Par
la majoration de Minkowski, la borne majorante vaut M = 2 √ 15/π ≈ 2, 5, d’où on déduit par le même
raisonnement qu’avant que hK = 2. On a EK ⊂ HK et EK = K( √ 3, √ −5) = K( √ 3) ⊂ HK, d’où EK =
HK = K( √ 3) car [EK : K] = 2 = hK = [HK : K].
12

3 Courbes elliptiques
Références : [Lan2], [Sil1], [Sil2], [Iwa], [Dia]
Si aucune précision n’est faite, K désigne un corps de caractéristique quelconque.
3.1 Courbes elliptiques sur K
On utilise quelques notions habituelles pour étudier les courbes algébriques. On notera dans la suite
Div(E) le groupe abélien libre engendré par les points de E. Les deux diviseurs importants sont Div(f),
celui associé à une fonction f ∈ K(E) (diviseur principal) et Div(K), celui associé à une 1-forme sur E
(diviseur canonique). Pour le premier, à tout P ∈ E on associe la valuation νP , on note alors Div(f) =
P ∈E νP (f)(P ), on peut montrer que deg(Div(f)) = 0 (ie f possède autant de zéros que de pôles comptés
avec multiplicité). Pour finir, on note pour tout diviseur D,
L(D) = {f ∈ K(E)\{0}, Div(f) + D ≥ 0} ∪ {0}
c’est un espace vectoriel de dimension l(D). On a alors le théorème de Riemann-Roch :
Théorème 3.1 (Riemann-Roch)
Soit E une courbe algébrique sur K, il existe un entier gE appelé le genre de E tel que pour tout
diviseur D ∈ Div(E)
l(D) = l(K − D) − gE + 1 + deg(D)
avec K le diviseur canonique.
On en déduit alors que deg(K) = 2g2 − 2 et l(K) = gE en prenant respectivement D = K et D = 0. Un
autre cas important est quand deg(D) > 2gE − 2 alors deg(K − D) < 0 (ie l(K − D) = 0), d’où l’on déduit
l(D) = deg(D) − gE + 1. On veut maintenant appliquer cela aux courbes elliptiques.
Définition 3.2
Une courbe elliptique E sur K est une courbe algébrique de genre gE = 1 non singulière munie d’une
origine OE ∈ E(K).
Nous donnons trois applications du théorème de Riemann-Roch pour les courbes elliptiques (voir [Sil1]).
1. On a l(K) = gE = 1 ainsi il existe une unique classe de différentielle non nulle sur E, on peut prendre
par exemple ω = dx/y.
2. Pour tout diviseur D tel que deg(D) > 2g2 − 2 = 0, on a l(D) = deg(D). D’où l’existence de x ∈
L(2OE)\L(OE) et y ∈ L(3OE)\L(2OE)) non constantes d’ordre 2 et 3 respectivement en OE. Ainsi
L(5OE) = 1, x, y, xy, x 2 et x 3 − y 2 ∈ L(5OE). On montre alors que toute courbe elliptique E admet
une représentation affine de Weierstrass de la forme
E : y 2 + a1xy + a3y = x 3 + a2x 2 + a4x + a6 avec ai ∈ K
On identifie E à l’ensemble des points (x, y) ∈ K solutions de cette équation, le point OE étant identifié
à [0 : 1 : 0] ∈ P 1 (K). La non singularité de E signifie que le discriminant ∆E du polynome associé est
non nul.
3. Deux diviseurs D, D ′ ∈ Div(E) sont équivalents s’il existe f ∈ K(E) telle que D − D ′ = div(f). On
construit le groupe de Picard Pic 0 (E) comme étant le groupe des diviseurs de degré 0, Div 0 (E)
quotienté par cette relation d’équivalence. On a alors une bijection entre Pic 0 (E) et E. La bijection
réciproque étant donnée par
E −→ Pic 0 (E)
P ↦−→ (P ) − (0E)
13

En particulier, en transposant la structure de groupe de Pic 0 (E) sur E, on fait de E un groupe
algébrique avec élément neutre OE. Cette structure de groupe sur E est la même que celle déja connue
sur les cubiques (méthode de Poincaré) (voir [Sil1] III.3). Pour tout sous-corps L de K, on note aussi
c’est un sous groupe de E.
E(L) = {P = (x, y) ∈ E, x, y ∈ L} ∪ {OE}
En général, les courbes algébriques de genre 1 admettent toujours une représentation de Weierstrass mais
leur discriminant peut-être nul. Pour les comprendre, on définit un autre paramètre c4 = (a 2 1 + 4a2) 2 −
24(a1a3 + 2a4). On a trois types de courbe algébrique E de genre un :
– E est une courbe elliptique si ∆E = 0
– E est une cubique nodale si ∆E = 0 et c4 ∤ p
– E est une cubique cuspidale si ∆E = 0 et c4|p
3.1.1 Caractéristique différente de 2 et 3
Si la caractéristique de K est différente de 2 et 3 alors par changement de variables admissible, E admet
une représentation de Weierstrass
E : y 2 = 4x 3 − g2x 2 − g3 avec g1, g2 ∈ K
On a ∆E = g2(E) 3 − 27g3(E) 2 = 0 et j(E) = 1728g 3 2/∆E. Soit K0 le sous corps premier de K alors
Proposition 3.3
Pour tout j ∈ K, il existe une courbe elliptique E définie sur K0(j) telle que j(E) = j.
Preuve. Si j = 0, 1728, on peut prendre E : y 2 = x 3 + ax + b avec a = b = −27j/(j − 1728). Si j = 0, on
peut prendre E : y 2 + y = x 3 . Enfin pour j = 1728, on peut prendre y 2 = x 3 + x.
3.1.2 Isogénies
Les morphismes de courbes elliptiques qui respectent l’origine sont appelés isogénies. Deux courbes
elliptiques E et E ′ sont K-isomorphes si elles ont même invariant (ie j(E) = j(E ′ )).
On définit par [N] ∈ End(E) l’endomorphisme de multiplication avec N ∈ Z (comme morphisme sur K).
On note E[N] = Ker[N] l’ensemble des points de N-torsion et Etors l’ensemble des points de torsion de E
(ie ∪N≥1E[N]), ce sont des sous-groupes de E. De plus E[N] =
p E[pνp(N) ], donc il suffit de connaître les
E[p a ] pour a ≥ 1, on a
E[p a ] ∼ =
(Z/p a Z) 2 si p ∤ car(K)
{OE} ou Z/p a Z si p = car(K)
D’où si car(K) ∤ N, E[N] = (Z/NZ) 2 .
On peut étudier le groupe E(K) avec K un corps de nombres, le théorème de Mordell-Weil dit que c’est
un groupe de type fini de la forme
E(K) ∼ = Z r ⊕ Etors
l’élément r est appelé le rang de E.
3.1.3 Hauteur sur les courbes elliptiques
Considérons K un corps de nombres et MK l’ensemble des places de K (archimédiennes et non archimédiennes).
On définit la hauteur logarithmique sur P 2 (K) pour x = [x0 : x1 : x2] ∈ P 2 (K) par
h(x) =
1
log max{|x0|v, |x1|v, |x2|v}
[K : Q]
v∈MK
14

Le produit converge car seul un nombre fini de facteurs sont différents de 1. La formule produit
v |x|v = 1
valable pour tout x ∈ K ∗ donne l’indépendance des coordonnées homogènes. On définit la forme quadratique
sur les courbes elliptiques suivante
Définition 3.4
Soit E ⊂ P 2 (K) une courbe elliptique, on définit sa hauteur logarithmique par
h(2
hE(x) = lim
n→∞
nx) 22n avec x ∈ E(K)
Cela définit bien une forme quadratique positive sur E(K) qui est nulle sur Etors(K). On a hE(x) =
h(x) + O(1) et hE(0) = 0 (voir [Sil2]).
Notons 〈, 〉 : (P, Q) ↦→ (hE(P + Q) − hE(P ) − hE(Q))/2 la forme bilinéaire associée à hE. Si (Pi)1≤i≤r
est une base de la partie libre de E(K) alors on note R(E) le déterminant de la matrice (〈Pi, Pj〉)1≤i,j≤r.
3.2 Courbes elliptiques sur C
Comme nous le verrons une courbe elliptique sur C est isomorphe comme surface de Riemann à un tore
de la forme C/Λ avec Λ réseau de C. D’où l’utilité des fonctions elliptiques pour comprendre les courbes
elliptiques.
Deux réseaux Λ ′ et Λ ′ sont homothétiques s’il existe α ∈ C ∗ tel que Λ ′ = αΛ. En particulier tout réseau
est homothétique à un réseau de la forme Λτ = Z + τZ avec τ ∈ h = {z ∈ C, ℑm(z) > 0}. On en déduit la
bijection
SL(2, Z)\h ←→ L
avec L l’ensemble des classes de réseaux homothétiques (l’action est donnée en 4.1.2).
Pour k ≥ 2 et , on définit la série d’Eisenstein Gk(Λ) =
w=0 1/wk ainsi que le discriminant et l’invariant
de Λ par
∆(Λ) = g2(Λ) 3 − 27g3(Λ) 2 et j(Λ) = 1728g2(Λ) 3 /∆(Λ)
avec g2 = 60G2 et g3 = 140G3. L’invariant j(Λ) est bien défini puisque ∆(Λ) est non nul (voir [Lan2]).
Toutes ces fonctions de réseaux sont définies sur chaque classe de L. Vu que tout réseau Λ est homothétique
à un réseau de la forme Λτ avec τ ∈ h, on notera aussi ces invariants j(τ) et ∆(τ). Cela définit des formes
modulaires (voir § 4.4.4).
3.2.1 Fonctions elliptiques
On fixe dans la suite un réseau Λ.
Définition 3.5
Une fonction elliptique sur Λ est une fonction méromorphe, Λ-périodique, c’est à dire
∀z ∈ C, ∀w ∈ Λ, f(z + w) = f(z)
On note F(Λ) le corps des fonctions elliptiques sur un réseau Λ (modulo Λ les fonctions elliptiques n’ont
qu’un nombre fini de pôles et de zéros). Elles vérifient (voir [Lan2])
νP (f) = 0 et
νP (f)(P ) ∈ Λ (6)
P ∈C/Λ
P ∈C/Λ
La première par exemple nous dit qu’elles ont autant de zéros que de pôles comptés avec multiplicité.
Une fonction elliptique importante est la fonction de Weierstrass définie par
℘Λ(z) = 1
1 1
+ −
z2 (z − w) 2 w
w∈Λ\{0}
2
avec z ∈ C\Λ
15

c’est une fonction elliptique dont les pôles sont doubles et situés en les w ∈ L. On a la proposition fondamentale
Proposition 3.6
Toute fonction elliptique est une fraction rationnelle en ℘Λ, ℘ ′ Λ (ie F(Λ) = C(℘Λ, ℘ ′ Λ )).
La fonction ℘ vérifie l’équation différentielle
℘ ′ Λ(z) 2 = 4℘Λ(z) 3 − g2(Λ)℘Λ(z) − g3(Λ)
Ainsi à tout réseau Λ, on peut associer la courbe elliptique plane
On a un isomorphisme de surfaces de Riemann
EΛ : y 2 = 4x 3 − g2(Λ)x − g3(Λ)
C/Λ −→ EΛ(C)
z ↦−→ [℘Λ(z) : ℘ ′ Λ (z) : 1]
le point 0 étant envoyé sur [0 : 1 : 0]. Réciproquement si E une courbe elliptique sur C, on sait par Riemann
Roch qu’il existe une unique classe de différentielle non nulle sur E, par exemple ω = dx/y. Alors un réseau
associé à E peut être pris égal à ΛE = {
γ ω, γ ∈ H1(E(C), Z)}, c’est bien compatible car si on fait le
changement ω ↦→ αω, α ∈ C ∗ alors ΛE est remplacé par αΛE.
D’où en notant EllC l’ensemble des classes à C-isomorphismes près de courbes elliptiques, on a la bijection
L ←→ EllC
Prenons maintenant deux réseaux Λ, Λ ′ de C et une application analytique f : C/Λ → C/Λ ′ telle que
f(0) = 0. Elle se redresse en une application analytique f : C → C qui est une homothétie f(z) = αz. On a
alors
HomC(EΛ, EΛ ′) ∼ = HomC(C/Λ, C/Λ ′ ) ∼ = {α ∈ C, αΛ ⊂ Λ ′ }
Cette identification sera fondamentale quand nous étudierons End(EΛ) pour EΛ courbe elliptique sur C à
multiplication complexe, on a
End(EΛ) ∼ = {α ∈ C, αΛ ⊂ Λ}
3.2.2 Jacobienne d’une courbe elliptique
Soit E une courbe elliptique sur C, on lui associe sa jacobiene Jac(E) = Ω 1 hol (E)/H1(E(C), Z) c’est un
tore complexe de dimension gE = 1 (voir § 4.1.3). On a même plus, considérons l’application naturelle
Div 0 (E) −→ Jac(E)
P nP (P ) ↦−→
P nP
Elle induit un isomorphisme de groupes Pic 0 (E) ∼ = Jac(E). D’où la suite d’isomorphisme de groupes
P
OE
C/Λ ∼ = E(C) ∼ = Pic 0 (E) ∼ = Jac(E)
Tous ces identifications ont leurs importances dans l’étude des courbes elliptiques sur C.
3.3 Courbes elliptiques sur Q
On considère une courbe elliptique sur Q
E : y 2 + a1xy + a3y = x 3 + a2x 2 + a4x + a6 avec ai ∈ Q
16

Les changements admissibles sont de la forme (x, y) ↦→ (u 2 x, u 3 y) avec u ∈ Q ∗ . On peut donc considérer que
E est à coefficients entiers (courbe entière), ce que nous faisons à présent. Un théorème de Siegel nous dit
qu’il n’y a qu’un nombre fini de solutions entières sur une courbe elliptique à coefficients sur Z.
Soient p un nombre premier et E la courbe E modulo p, plusieurs cas peuvent se produire :
1. E est une courbe elliptique si p ∤ ∆.
2. E n’est pas une courbe elliptique si p|∆, alors on dit que
– E a une réduction multiplicative si de plus p ∤ c4
– E a une réduction additive si de plus p|c4
Le nom "additive" (resp. "multiplicative") vient du faite que E(Fp) pointe singulière est un groupe isomorphe
au groupe additif Fp (resp. au groupe multiplicatif F ∗
p).
3.3.1 Conducteur d’une courbe elliptique
On peut voir de deux façons le conducteur d’une courbe elliptique E à coefficients dans Z. Notons
νp(E) = min{νp(∆E ′), E′ courbe entière équivalente à E, }
L’équation minimale de E est une courbe E ′
équivalente à E telle que ∆E ′ = p pνp(E) , on note ∆E ce
discriminant. Un critère équivalent pour vérifier qu’une équation est minimale est de montrer que pour tout
nombre premier p
min{νp(∆E), 3νp(c4)} < 12 (7)
On considère maintenant E minimale. Soient p un nombre premier et E la réduction de E modulo p. On
définit le conducteur local pour p premier par
⎧
⎨ 0 si E a une bonne réduction en p
fp = δp + 1 si E a une réduction multiplicative en p
⎩
2 si E a une réduction additive en p
δp est appelé la partie sauvage du conducteur local en p. Elle est donnée par l’expression
δp =
n
i=0
gi(L/Qp)
g0(L/Qp) dimFl (E[l]/E[l]Gi(L/Qp) )
avec l un nombre premier différent de p, L = Qp(E[l]) et gi(L/Qp) l’ordre du ième groupe de ramification
Gi(L/Qp) de L/Qp. On a G0(L/Qp) le groupe d’inertie de L/Qp (voir [Ser1]). Les Gi(L/Qp) (i ≥ 0) forment
une filtration décroissante de Gal(L/Qp) (voir [Sil2] et [Ser1]). Le nom "sauvage" vient du faite que L/Qp
est sauvagement ramifié si et seulement si Gi(L/Qp) = 1.
D’où l’on montre (voir [Sil2]IV.10) que
– δp = 0 si E n’a pas une réduction additive ou si p ≥ 5
– δ2 ≤ 6 et δ3 ≤ 3 sinon.
Une autre façon de calculer fp est d’utiliser la formule de Ogg (voir [Sil2] et [Ogg2]) qui nous dit en
particulier que fp ≤ νp( ∆E) . Ainsi fp ≤ νp(∆E). On peut maintenant définir le conduteur global de E
Définition 3.7
Soit E une courbe elliptique, son conducteur (algébrique) est
N =
p fp
Le produit est bien défini car il n’y a qu’un nombre fini de nombres premiers qui divisent ∆p. Au
paragraphe § 4.3.3 on verra l’autre façon de définir le conducteur.
17
p

3.3.2 Séries de Dirichlet associées à une courbe elliptique
Considérons une courbe elliptique E de conducteur N définie sur Q à coefficients sur Z. Pour tout nombre
premier p, on note Ep la réduction modulo p de E et ap(E) = p + 1 − | Ep(Fp)|. On a |ap(E)| ≤ 2 √ p (Hasse),
cette majoration est utile pour les problèmes de convergence et permet aussi de donner une preuve de la
conjecture Riemann dans le cas des courbes elliptiques sur les corps finis.
On définit
Définition 3.8
Lp(E, s) =
(1 − ap(E)p −s + p 1−2s ) −1 si Ep est une courbe elliptique
(1 − ap(E)p −s ) −1 sinon
La série de Dirichlet L(E, s) associée à E vaut
L(E, s) =
Lp(E, s) avec ℜe(s) > 3/2
p
Ce produit converge pour ℜe(s) > 3/2 par la majoration |ap(E)| ≤ 2 √ p. Nous savons maintenant, grâce
à un théorème profond dû à Breuil, Conrad, Diamond, Taylor et Wiles que cette série de Dirichlet admet
un prolongement holomorphe sur C. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer donne aussi un apperçu de
l’importance du comportement de L(E, s) :
Conjecture 3.9 (Birch et Swinnerton-Dyer)
Soit E une courbe elliptique sur Q, alors le rang de E est égal à l’ordre d’annulation de L(E, s) en s = 1.
18

4 Formes modulaires
Références : [Dia], [Iwa], [Lan2], [Lan3], [Mur], [Miy], [Ogg1], [Sch] et [Shi]
On sait qu’une courbe elliptique E peut être identifiée à C/Λτ (z ∈ h) et plus généralement, on a les
bijections (voir § 3.2)
L ←→ EllC ←→ SL(2, Z)\h
L’idée des formes modulaires est alors d’étudier l’ensemble des classes de courbes elliptiques EllC, on
pourra les voir comme :
– des fonctions sur les réseaux
– des fonctions sur les courbes elliptiques sur C
– des fonctions sur h
Par la suite, on les verra essentiellement comme des fonctions sur h.
4.1 Groupes et courbes modulaires
Le groupe SL(2, Z) est engendré par les deux matrices suivantes :
0
S =
1
−1
0
1
et T =
0
1
1
On a S 2 = 1 et (ST ) 3 = 1, ce qu’on résume en disant que SL(2, Z) admet une présentation donnée par
générateurs et relations
SL(2, Z) ∼ = 〈S, T | S 2 , (ST ) 3 〉
4.1.1 Groupe modulaire de niveau N
Les sous-groupes de SL(2, Z) qui vont nous intéresser sont pour N ≥ 1
aγ bγ
Γ0(N) = γ =
∈ SL(2, Z), cγ ≡ 0 mod N
cγ dγ
Γ0(N) est "l’ensemble des matrices triangulaires supérieures modulo N". D’autres sous-groupes de congruences
sont très importants (voir [Dia] et [Shi]), ce sont les groupes Γ1(N) et Γ(N)
Γ1(N) = {γ ∈ SL(2, Z), cγ ≡ 0 mod N et aγ ≡ dγ ≡ 1 mod N}
Γ(N) = {γ ∈ SL(2, Z), γ ≡ I2 mod N}
On a pour tout N ≥ 1, Γ(N) ⊂ Γ1(N) ⊂ Γ0(N) ⊂ SL(2, Z). Et plus généralement, on peut s’intéresser
aux sous-groupes de congruences qui sont des sous-groupes de SL(2, Z), contenant un Γ(N). Un grand
nombre de propriétés qui vont être énoncées sont généralisables à ces sous-groupes de congruences.
Définition 4.1
On appelle Γ0(N) le groupe modulaire de niveau N.
On a [Γ0(1) : Γ0(N)] = N
p|N (1+1/p). A ces sous-groupes, on associe un domaine fondamental ouvert
FN ⊂ h, c’est un ensemble ouvert tel que
– FN contienne au plus un point de toute orbite d’un point de h
– FN contienne par contre au moins un point de chaque orbite.
Il n’y a bien sûr pas unicité d’un tel ensemble. On peut prendre par exemple :
F1 = {z ∈ h, |ℜe(z)| < 1/2, |z| > 1} et FN =
γF1
(8)
19
γ∈Γ0(N)\Γ0(1)

4.1.2 Courbes modulaires
Il y a une action naturelle du groupe SL(2, Z) sur h donnée par
γτ = aγτ + bγ
cγτ + dγ
aγ
avec γ =
cγ
bγ
∈ SL(2, Z)
dγ
On fait aussi agir le groupe Γ0(1) = SL(2, Z) sur P1 (Q) par
a b m
=
c d n
am + bn
cm + dn et
a b
(∞) =
c d
a
c
On note h ∗ = h ∪ P 1 (Q), Y0(N) = Γ0(N)\h et X0(N) = Γ0(N)\h ∗ , on a une application π : h ∗ → X0(N).
Nous allons munir X0(N) d’une topologie et d’une structure complexe pour en faire une surface de Riemann
de genre gN .
Soit Sτ (N) le stabilisateur d’un point τ ∈ h par Γ0(N). Il y a deux classes de points qui vont nous
intéresser : les points elliptiques et les pointes (voir [Dia]).
Définition 4.2
Les points elliptiques pour Γ0(N) sont les points de τ ∈ h tels que Sτ (N) contienne d’autres transformations
que ±I2. On dit aussi que π(τ) ∈ X0(N) est un point elliptique de X0(N).
Pour tout point elliptique τ ∈ h, Sτ (N) est cyclique, on note hτ = |Sτ (N)|/2, la période de τ (on divise
par deux car si γ ∈ Sτ (N) alors −γ aussi).
Il n’y a qu’un nombre fini de points elliptiques dans X0(N). Par exemple pour Γ0(1), les points elliptiques
de X0(1) sont Γ0(1)i (de période 2) et Γ0(1)e2iπ/3 (de période 3), on a
Si(1) =
0 −1
1 0
et S e 2iπ/3(1) =
0 −1
1 1
Donc dans Γ0(N) les points elliptiques ont seulement une période 2 ou 3 grâce au morphisme ΠN défini
en (9). Si on note ε2(N) (resp. ε3(N)) le nombre de points elliptiques de période 2 (resp. 3) de X0(N). On
a ε2(N) = 0 si 4|N et ε3(N) = 0 si 9|N, sinon
Définition 4.3
ε2(N) =
p∤N
1 +
−1
p
et ε3(N) =
p∤N
1 +
−3
p
Les pointes de X0(N) sont définies par l’ensemble P0(N) = X0(N) − Y0(N).
Il n’y a qu’un nombre fini de pointes dans X0(N). Soit ε∞(N) leur nombre alors
ε∞(N) =
ϕ(pgcd(d, N/d))
Par exemple pour Γ0(1), toutes les pointes sont équivalents à ∞ (ie ε∞(1) = 1).
d|N
On construit une topologie sur h ∗ qui passera au quotient :
– voisinage de {∞} : U∞(r) = {τ ∈ h, ℑm(τ) > r} avec r > 0
– voisinage d’un point z ∈ h : Uz(r) = {τ ∈ h, |τ − z| < r} avec 0 < r < ℑm(z)
– voisinage d’un point q ∈ Q : Uq(r) = {τ ∈ h, |τ − (ir + q)| < r} ∪ {q} avec r > 0
La topologie fait des éléments de Γ0(N) des homéomorphismes de h ∗ (des voisinages de l’∞ sont transformés
en des voisinages de q ∈ Q). On définit la topologie sur X0(N) par l’application quotient π : h ∗ → X0(N).
20

Elle passe au quotient et fait de X0(N) un espace séparé compact.
Pour la structure complexe (voir [Dia] et [Shi] pour les détails), soit π(x) ∈ X0(N) avec x ∈ h ∗ , il existe
un ouvert U de h contenant x et ne contenant pas d’autres pointes ni de points elliptiques excepté peut-être
x :
– si x n’est ni un point elliptique ni une pointe, U est homéomorphe à π(U), d’où la carte locale en π(x)
π(U) → U.
– si x est un point elliptique alors l’application δ : y ↦→ [(y − x)/(y − x)] hx définit un homéomorphisme
de U dans un voisinage de 0 de C.
– si x est une pointe alors il existe γ ∈ SL(2, Z) tel que γ(∞) = x. De plus, il existe un entier hx
> 0
1 hx
tel que ± génère le stabilisateur de ∞ dans ±γ
0 1
−1Γ0(N)γ (hx est appelé la période de x).
L’application δ : y ↦→ e2iπγ(y)/hx définit alors un homéomorphisme de U dans un voisinage de 0 de C.
Dans les deux derniers cas, les applications δ passent au quotient pour définir une application de π(U)
dans un voisnage de 0 dans C.
Définition 4.4
La surface de Riemann compacte X0(N) est appelée courbe modulaire de niveau N.
Le nom de "courbe" vient du faite que le corps des fonctions sur C(X0(N)) est engendré par j et jN (voir
§ 4.4.4) et que de plus j et jN sont liés par l’équation modulaire ΦN(j, jN) = 0 (voir § 5.2). Donc C(X0(N))
est un corps de degré de transcendance 1 sur C, d’où le nom de courbe.
4.1.3 Genre de X0(N)
Le genre d’une surface de Riemann est le nombre d’anses sur une sphère. Le genre de X0(1) vaut 0 car
X0(1) ∼ = P 1 (C) (sphère de Riemann). Pour calculer le genre gN de X0(N) à partir de celui de X0(1), on
construit le morphisme non constant (donc surjectif) de surfaces de Riemann :
et on a la formule de Hurwitz
ΠN : X0(N) −→ X0(1)
Γ0(N)τ ↦−→ Γ0(1)τ
2gN − 2 = dN(2g1 − 2) +
x∈X0(N)
(ex − 1)
avec dN = max{#{Π −1
N (y)}} le degré de ΠN et ex l’indice de ramification de ΠN en x qui est l’ordre
d’annulation en 0 de ΠN (regarder dans les cartes). Par la formule de ramification, on a dN =
x∈Π −1
N (y)
ex
pour tout y ∈ X0(1) en regardant la ramification au dessus des pointes et des points elliptiques de X0(1)
(voir [Dia] et [Shi]).
Théorème 4.5
Le genre de X0(N) vaut
gN = 1 + dN
12
− ε2(N)
4
− ε3(N)
3
− ε∞(N)
2
Une autre façon de voir le genre est de considérer l’intégrale d’une 1-forme ω holomorphe sur la surface
X0(N). On a pour tout chemin fermé α sur X0(N)
α
ω =
gN
i=1
mi
αi
21
gN
ω +
i=1
ni
βi
ω
(9)

où αi (resp βi) les boucles longitudinales (resp. lattitudinales) sur les gN anses de X0(N). D’où H1(X0(N), Z) =
ΛgN est un réseau de R2gN . On en déduit que
Ω 1 hol(X0(N)) ∗ = Hom(Ω 1 hol(X0(N)), C) ∼ = C gN
On appelle le tore complexe Ω 1 hol (X0(N)) ∗ /ΛgN de dimension gN la jacobienne de X0(N) notée Jac(X0(N)).
4.2 Formes modulaires
Les formes faibles de h de poid k sont les fonctions méromorphes sur h de poids k qui vérifient f(γ(τ)) =
(cγτ + dγ) kf(τ) avec γ ∈ SL(2, Z) et τ ∈ h. Si on prend la matrice γ = T alors ces fonctions vérifient
f(τ + 1) = f(τ). Elles admettent donc un q-développement de la forme :
f(q) = f(τ) =
anq n avec q = e 2iπτ
n≥n0
On confondra par abus f et f. En particulier, on a ℑm(τ) → +∞ quand q → 0. On dit que f est méromorphe
en ∞ si n0 > −∞, holomorphe en ∞ si n0 ≥ 0 (ie f(0) = a0) et f est une forme parabolique
en ∞ si n0 > 0 (ie f(0) = 0).
On définit l’opérateur [γ]k sur ces formes faibles pour k ∈ Z et γ ∈ SL(2, Z) par
(f[γ]k)(τ) = (cγτ + dγ) −k f(γ(τ))
On note Ak(Γ0(N)) l’ensemble des formes faibles méromorphiques sur h ∗ telles que f[γ]k = f. On sait que
si N > 1, alors X0(N) contient d’autres pointes que ∞. On va demander à f non pas d’être holomorphe en
∞ mais en toutes les pointes. Pour expliquer ce qu’on entend par holomorphe en les pointes, prenons η une
pointe de X0(N), il existe un γη ∈ SL(2, Z) tel que γη(∞) = η. On pose fη = f[γη]k, fη a un q-développement
fη(q) =
n≥nη anqn . On dit que f est holomorphe en la pointe η si nη ≥ 0 et f est une forme parabolique
en la pointe η si nη > 0.
Définition 4.6
Une forme modulaire de poids k, de niveau N est une forme faible f : h → C telle que
(i) f[γ]k = f pour tout γ ∈ Γ0(N)
(ii) f est holomorphe sur h et en les pointes.
On note Mk(Γ0(N)) leur ensemble, c’est un espace vectoriel et Sk(Γ0(N)) le sous-espace vectoriel de
Mk(Γ0(N)) des formes paraboliques en toutes les pointes de Γ0(N). On a
Sk(Γ0(N)) ⊂ Mk(Γ0(N)) ⊂ Ak(Γ0(N))
Soit χ un caractère de Dirichlet modulo N, il induit un caractère de Γ0(N) par χ(γ) = χ(dγ) avec
γ ∈ Γ0(N).
Définition 4.7
Une forme modulaire de poids k, de niveau N, de caractère χ est une fonction holomorphe sur h
telle que
(i) f[γ]k = χ(γ)f pour tout γ ∈ Γ0(N)
(ii) f est holomorphe en tous les pointes de X0(N).
On note Mk(N, χ) cet espace vectoriel et Sk(N, χ) le sous-espace vectoriel de Mk(N, χ) des formes
paraboliques et Ak(N, χ) l’espace vectoriel des formes méromorphiques qui vérifient seulement (i).
Proposition 4.8
On a la décomposition en somme directe
Mk(Γ0(N)) =
Mk(N, χ)
22
χ

De même pour Sk(Γ0(N)) et Ak(Γ0(N)).
Preuve. Soit χ un caractère de (Z/NZ) ∗ , associons lui l’opérateur
πχ = 1
φ(N)
d∈(Z/NZ) ∗
χ(d) −1 〈d〉
avec 〈d〉 l’opérateur diamant (§ 4.2.1). On a π 2 χ = πχ donc πχ est une projection. C’est la projection sur
Mk(N, χ) puisque πχ(Mk(Γ0(N))) ⊂ Mk(N, χ) et πχ = 1 sur Mk(N, χ). On a de plus
χ πχ = 1 et
πχ ◦ πχ ′ = 0 pour χ = χ′ donc les Mk(N, χ) sont linérairement disjoints. On voit alors que Mk(Γ0(N))
s’identifie aux formes modulaires holomorphes sur h et en les pointes de Γ0(N) qui vérifient f[γ]k = f pour
tout γ ∈ Γ0(N). Même description pour Sk(Γ0(N)) et Ak(Γ0(N)).
On a plus généralement l’algèbre graduée
M(Γ0(N)) =
Mk(N, χ)
χ
car pour (f, g) ∈ Ml(N, χ) × Mk(N, χ ′ ) alors fg ∈ Mk+l(N, χχ ′ ), de même pour S(Γ0(N)) et A(Γ0(N)).
Calculons maintenant la dimension de Mk(Γ0(N)) et Sk(Γ0(N)). En regardant localement en les points
π(τ) de X0(N), on définit pour toute forme modulaire f, νπ(τ)(f) = ντ (f)/hτ avec hτ la période de τ. D’où
le diviseur
Div(f) =
νx(f)(x)
k≥0
x∈X0(N)
De plus Ak(Γ0(N)) = C(X0(N))f pour toute forme modulaire non nulle f. Donc
Mk(Γ0(N)) = {f0f ∈ Ak(Γ0(N), ff0 = 0 ou Div(f0f) ≥ 0}
= {f0 ∈ C(X0(N)), f0 = 0 ou Div(f0) + Div(f) ≥ 0}
On regarde plutôt ⌊Div(f)⌋ =
x∈X0(N) ⌊νx(f)⌋ (x) car Div(f) =
x∈X0(N) νx(f)(x) avec νx(f) ∈ Q. Grâce
au théorème de Riemann-Roch (voir [Dia] et [Shi]), pour k pair
⎧
⎨ (k − 1)(gN − 1) +
dim(Mk(Γ0(N))) = l(⌊Div(f)⌋) =
⎩
k
4
ε2 +
k
3
ε3 + k
4 ε∞
1
0
⎧
⎨ l(⌊Div(f)⌋) − ε∞ si k ≥ 4
si k ≥ 2
si k = 0
si k < 0
dim(Sk(Γ0(N))) = gN
⎩
0
si k = 2
si k ≤ 0
4.2.1 Opérateurs sur les formes modulaires
Il y a trois classes d’opérateurs sur les formes modulaires qui vont nous intéresser.
Le premier opérateur sur Mk(Γ0(N)) est l’opérateur diamant défini avec d ∈ (Z/NZ) ∗ , f ∈ Mk(Γ0(N))
et γ ∈ SL(2, Z) telle que dγ ≡ d mod N par
〈d〉 k f = f[γ]k
c’est indépendant du choix de γ. Donc Mk(N, χ) n’est autre que les formes modulaires f de Mk(Γ0(N))
tels que 〈d〉 k f = χ(d)f.
Soient f ∈ Mk(N, χ) et n ≥ 1, le n-ième opérateur de Hecke vaut
T (n)χ,kf(z) = 1
n
ab=n
k
χ(a)a
23
0≤b

Ils commutent tous avec les opérateurs diamants. Par la décomposition M(Γ0(N)) =
χ k Mk(N, χ),
l’opérateur T (n)χ,k peut être vu comme un opérateur sur M(Γ0(N)) (il est nul sur les Mk ′(N, χ′ ) pour
χ = χ ′ et k ′ = k), on note donc simplement cet opérateur T (n). Tous ces opérateurs commutent entre eux.
Ils vérifient la relation utile pour tout m, n ∈ N∗ premiers entre eux, T (mn) = T (m)T (n). Cette relation
nous dit qu’il suffit de connaître les T (pν ), on a
Ce qui se résume en
T (p ν+1 ) = T (p)T (p ν ) − χ(p)p k−1 T (p ν−1 )
n≥1
T (n)
= 1 −
ns p
T (p) χ(p)
−
ps p1+2s−k −1 L’algèbre de Hecke Tk est la sous-algèbre de End(Mk(Γ0(N))) engendrée par les T (n).
On donne enfin une propriété utile des opérateurs de Hecke pour calculer les coefficients du q-développement
d’une forme modulaire f.
Proposition 4.9
Soient f =
n≥0 anq n ∈ Mk(χ, N) et T (n)f =
n≥0 bnq n alors
bn =
d|pgcd(m,n)
χ(d)d k−1 a mn/d 2
Le dernier opérateur important est l’opérateur de Witt W défini sur Mk(N, χ) par
1
W f(z) =
N k/2
−1
f
zk Nz
Cela définit une application de Mk(N, χ) → Mk(N, χ) et Sk(N, χ) → Sk(N, χ).
4.2.2 Séries de Dirichlet associées à une forme modulaire
Soit f =
n≥0 af (n)q n ∈ Mk(χ, N), on lui associe la série de Dirichlet
L(s, f) =
n≥1
af (n)
n s
Les coefficients de f satisfont af (n) = O(n c ) avec c ∈ R (on peut prendre c = k/2 si f est une forme
parabolique). Ainsi L(s, f) est une fonction holomorphe sur le demi plan {z ∈ C, ℜe(z) > c + 1}. En posant
Λ(f, s) = N s/2 (2π) −s Γ(s)L(f, s), alors Λ(f, s) s’étend en une fonction méromorphe sur C avec des pôles en
s = 0 et s = k (voir [Shi]) grâce à l’équation fonctionnelle
4.2.3 Etude des formes paraboliques
Λ(f, s) = i k Λ(W f, k − s)
On munit Sk(Γ0(N)) d’une structure d’espace de Hilbert par le produit scalaire de Petersson
1
〈f, g〉 =
f(z)g(z)ℑm(z)
Vol(X0(N)) FN
k dµ(z)
avec dµ(z) = y−2dxdy (z = x + iy) la mesure sur h et Vol(X0(N)) =
FN ℑm(z)2dµ(z). La convergence de
l’intégrale est due à la majoration af (n) = O(nk/2 ) valide pour toute forme parabolique. Cette intégrale est
24

Γ0(N)-invariante. La norme de Petersson f associée au produit scalaire interviendra dans la formule de
Gross-Zagier.
En utilisant les formules de Stokes et de Gauss-Bonnet (voir [Shi]), on montre que
Vol(X0(N)) = 2π 2gN − 2 + ε∞(N) + ε2(N)
2
+ 2ε3(N)
3
ainsi Vol(X0(1)) = π/3 et Vol(X0(N)) = Vol(X0(1))[Γ0(1) : Γ0(N)].
Les opérateurs de Hecke définissent des éléments de End(Sk(Γ0(N))), on peut regarder l’adjoint de
T (n) pour le produit scalaire de Petersson T (n) ∗ = χ(n)T (n). D’où 〈T (n)f, g〉 = χ(n) 〈f, T (n)g〉 pour
f, g ∈ Sk(χ, N) et pgcd(n, N) = 1.
Une forme parabolique propre f est une forme parabolique qui est un vecteur propre pour tous les
operateurs de Hecke T (n), n ≥ 1. Pour tout n ≥ 1, il existe donc λf (n) tel que T (n)f = λf (n)f. On
veut relier ces valeurs propres aux af (n). Le problème est que l’on a seulement, λf (n)af (1) = af (n) pour
pgcd(n, N) = 1. On va alors décomposer l’espace Sk(N, χ) en deux sous-espaces stables par les T (n).
Considérons pour cela le sous-espace vectoriel Sold k (N, χ) de Sk(N, χ) engendré par toutes les formes
paraboliques de la forme f |d avec f |d(z) = f(dz), f ∈ S2(N ′ , χ ′ ), d ≥ 1 et dN ′ |N. L’espace orthogonal (pour
le produit scalaire de Petersson) de Sold 2 (N, χ) est l’ensemble des formes primitives (ou nouvelles), c’est un
espace stable par tous les opérateurs de Hecke, on le note Snew k (N, χ) :
Il vérifie le théorème fondamental
Théorème 4.10
Soit f ∈ Snew k (N, χ), alors pour tout n ≥ 1
Sk(N, χ) = S old
k (N, χ) ⊗ ⊥ S new
k (N, χ)
af (n) = λf (n)af (1) avec af (1) = 0
On normalise f par f/af (1). Par la suite "forme primitive" signifiera alors "forme primitive normalisée".
La série de Dirichlet de f vaut
L(f, s) =
n≥1
λf (n)
n s
=
p
(1 − λf (p) + χ(p)p k−1−2s ) −1
Soit W l’opérateur de End(Sk(N, χ)) définit par W f(z) = W f(−z). Pour toute forme primitive f, il existe
η ∈ C tel que W (f) = ηf avec |η| = 1 car W 2 = Id. Si on pose Λ(f, s) = ( Nf /(2π)) s Γ(s)L(f, s) avec Nf
le conducteur de f (ie le plus petit entier N tel que f ∈ Sk(N, χ)) alors f vérifie l’équation fonctionnelle
Λ(f, s) = i k ηΛ(f, η − s)
Si N est sans carré et χ trivial alors η est facilement calculable, on a η = µ(Nf )λf (Nf )N 1−k/2
f .
Pour comprendre les valeurs de λf (n), il est souvent utile de calculer leur produit de torsion avec des
caractères primitifs (de noyau trivial)
Définition 4.11
Soient ψ un caractère de Dirichlet primitif modulo r et f ∈ Sk(N, χ). La fonction de torsion f ⊗ ψ est
définie par
f ⊗ ψ(τ) =
ψ(n)af (n)q n
n≥0
25

L’action de ψ définit un endomorphisme des formes paraboliques. Plus exactement pour f ∈ Sk(N, χ),
on a f ⊗ ψ ∈ Sk(N ′ , ψχ) avec N ′ = ppcm(N, Nχr, r 2 ) et Nχ le conducteur de χ (ie le plus petit entier
N divisant r tel que χ = χ0χ ∗ avec χ0 caractère principal modulo r et χ ∗ un caractère modulo Nχ). Cela
n’envoie pas forcément une forme primitive sur une forme primitive, car N ′ n’est pas forcément optimal.
Mais il existe une unique forme primitive fψ de niveau divisant N telle que pout tout n premier à N
λfψ (n) = ψ(n)λf (n)
Si pgcd(r, N) = 1, l’opération de torsion produit une forme primitive qui appartient à Snew k (Nr2 , ψ2χ) 4.3 Courbes elliptiques et formes modulaires
On a vue que toute courbe elliptique E sur C peut-être identifiée à un tore C/Λτ , τ ∈ h et que la théorie
des formes modulaires permet de voir les formes modulaires comme des fonctions sur l’ensemble des courbes
elliptiques sur C. Nous allons énoncer plusieurs liens entre courbes elliptiques et formes modulaires qui nous
permettent de voir les liens profonds entre c’est deux notions (voir [Dia] pour plus de détails).
4.3.1 Forme parabolique associée à une courbe elliptique
On considère E une courbe elliptique. Sa série de Dirichlet a un développement de la forme L(E, s) =
n≥1 aE(n)/ns . Nous enonçons le théorème qui est certainement un des liens les plus fort entre courbe
elliptique et forme modulaire
Théorème 4.12
Soit E une courbe elliptique sur Q de conducteur NE alors la forme f(z) =
n λ(n)n1/2 q n vérifiant
aE(n) = λ(n)n 1/2 est une forme primitive de S2(Γ0(NE))
On dit que f est la forme primitive associée à E. Elle vérifie donc L(f, s) = L(E, s + 1/2). On a l’équation
fonctionnelle Λ(f, s) = w(f)Λ(f, 1 − s) avec ω(f) le nombre de racine de f ou de E noté aussi w(E). On
a aussi W f = −w(f)f. Un cas particulièrement intéréssant est quand N est sans carré alors en utilisant la
théorie des opérateurs de Hecke
w(E) = −µ(NE)aE(NE) = −µ(NE)λ(NE)N 1/2
E
= −(−1)m
avec m le nombre de nombres premiers p tels que Ep est une réduction multiplicative.
Réciproquement, si f est une forme modulaire telle que les af (n) soient rationnels alors on peut construire
une courbe elliptique Ef telle que L(Ef , s + 1/2) = L(f, s). Une telle courbe est dite modulaire. Pour
montrer le grand théorème de Fermat, Wiles a établit en 1995 que toute courbe elliptique semi-stable sur
Q (avec seulement des mauvaises réductions qui sont multiplicatives) est modulaire.
En 2001, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, et Richard Taylor ont démontré la conjecture
de Shimura-Taniyama-Weil disant que toute courbe elliptique sur Q est modulaire.
4.3.2 Espaces des modules sur Γ0(N)
Soit (E, C) un couple où E une courbe elliptique et C un sous-groupe cyclique de E d’ordre N. On dit
que (E, C) est équivalent à (E ′ , C ′ ) si et seulement si il existe un isomorphisme E → E ′ qui envoie C sur C ′ .
Définition 4.13
L’espace des modules S0(N) est l’ensemble des couples (E, C) quotienté par la relation d’équivalence.
Grâce à l’identification E ∼ = C/Λτ , les éléments de S0(N) peuvent être vue comme [Eτ , 1/NZ/Z]. Deux
points [Eτ , 1/NZ/Z] et [Eτ ′, 1/NZ/Z] sont équivalents si Γ0(N)τ = Γ0(N)τ ′ . D’où l’identification
S0(N) −→ Y0(N) = X0(N)\P0(N)
[Eτ , 1/NZ/Z] ↦−→ Γ0(N)τ
26

4.3.3 Paramétrisation modulaire
Un morphisme important entre une courbe elliptique et une courbe modulaire est donné par le théorème
difficile
Théorème 4.14
Soit E courbe elliptique telle que j(E) ∈ Q alors il existe un entier N tel que X0(N) → E surjectif
(morphisme de surfaces de Riemann).
On rappelle qu’un morphisme de surfaces de Riemann connexes est soit constant soit surjectif. Le conducteur
NE de E vérifie ce théorème, on parle alors de paramétrisation modulaire de E, on note πE cette
application.
Ce qu’on va voir maintenant c’est qu’en faite le conducteur est dans un certain sens le plus petit entier
N. Mais non plus entre X0(N) et E mais entre une courbe X0(N)alg et E. Pour cela on définit une nouvelle
fonction. Soient N ≥ 1, ℘τ la fonction de Weierstrass associé au réseau Λτ avec τ ∈ h et
f0(τ) = g2(τ)
N−1
g3(τ)
d=1
℘τ
d
N
cette fonction est primordiale pour l’étude des courbes X0(N). On regarde l’extension Q(j, f0), c’est le corps
des fonctions d’une courbe algébriques projectives non singulières sur Q. On note cette courbe X0(N)alg.
Ainsi (voir [Dia])
Théorème 4.15
Soit E courbe elliptique définie sur Q, il existe un entier N tel que X0(N)alg → E surjectif (morphisme
de courbes algébriques sur Q).
On définit le conducteur (analytique) comme le plus petit N tel que X0(N)alg → E soit surjectif, cet
entier est bien défini sur les classes d’isogénies de courbes elliptiques sur Q. Henri Carayol a montré que le
conducteur algébrique et le conducteur analytique sont en faite égaux. On ne précisera donc pas si c’est le
conducteur analytique ou algébrique.
4.4 Fonctions usuelles
4.4.1 La fonction discriminant
On définit la fonction discriminant ∆ pour τ ∈ h et q = e2iπτ par
∆(z) = q
(1 − q m ) 24
m≥1
c’est une forme parabolique de poid 12 (ie ∆ ∈ S12(Γ0(1))), on a ∆(−1/τ) = τ 12 ∆(τ). Comme dim(S12(Γ0(1))) =
1 on a S12(Γ0(1)) = ∆M12(Γ0(1)) et plus généralement
S(Γ0(1)) = ∆M(Γ0(1))
Cette forme a un q-développement de la forme
n τ(n)qn avec τ la fonction de Ramanujan. Cette fonction
est fondamentale en théorie des nombres, elle a des liens par exemple avec la fonction p(n) qui compte le
nombre de partition de n. On a en remarquant que
n≥0 p(n)qn =
n≥1 (1 − qn ) −1 ,
⎛
q ⎝
p(n)q n
⎞
⎠
n≥0
27
−24
= ∆(q)

4.4.2 Les fonctions d’Eisenstein
On définit les fonctions d’Eisenstein pour k > 2, τ ∈ h et q = e 2iπτ par
Gk(τ) =
m,n=(0,0)
1
(mτ + n) k
ces fonctions holomorphes sont dans M(Γ0(1)). A cause de leur invariance sous Γ(1), on peut les voir aussi
comme des fonctions réseaux Gk(Λ) (voir § 3.2.1). On a Gk(∞) = 2ζ(k), on écrit souvent Ek la fonction
normalisée de Ek = Gk/ζ(k), ainsi que g2 = 60G2 et g3 = 140G3.
L’ensemble {E n 4 E m 6 , 4n + −m = k} forme une base de Mk(Γ0(1)). D’où ∆(z) = (E 3 4 − E 3 6)/1728 =
(2π) −12 (g 3 2 − g 2 3). D’où leur importance pour comprendre la fonction de Ramanujan. Plus généralement on a
M(Γ0(1)) = C[E4, E6]
On peut définir aussi des séries d’Eisenstein d’ordre supérieur et des espaces d’Eisenstein. Ces espaces
sont fondamentaux car ils forment l’orthogonal de Sk(Γ0(N)) dans Mk(Γ0(N)) pour le produit scalaire de
Petersson (voir [Dia] pour plus de renseignement).
4.4.3 La fonction de Dedekind
On définit la fonction η de Dedekind pour τ ∈ h et q = e 2iπτ par
η(τ) = q 1/24
∞
(1 − q n )
Elle est reliée à la fonction discriminant par η(τ) 24 = ∆(τ). Ce n’est pas une forme modulaire mais elle
vérifie les relations simples pour τ ∈ h et ζ24 = e 2iπ/24
i=1
η(−1/τ) = √ −iτη(τ) et η(τ + 1) = ζ24η(τ)
On associe à η les trois fonctions de Weber définies pour τ ∈ h et ζ48 = e 2iπ/48 par
f(τ) = ζ −1 η((τ+1)/2)
48 η(τ) , f1(τ) = η(τ/2)
η(τ) et f2(τ) = √ 2 η(2τ)
η(τ)
Ces fonctions ne sont pas non plus des formes modulaires, mais elles vérifient des relations simples. Il y a
une sorte de permutation entre ces fonctions quand on fait agir le groupe modulaire Γ0(1), plus exactement
on a pour τ ∈ h (voir [Cox])
4.4.4 L’invariant modulaire
f(τ + 1) = ζ −1
48 f 1(τ) f(−1/τ) = f(τ)
f 1(τ + 1) = ζ −1
48 f(τ) f 1(−1/τ) = f 2(τ)
f 2(τ + 1) = ζ24f 2(τ) f 2(−1/τ) = f 1(τ)
L’invariant j est défini j(τ) = 1728g 2 3(τ)/∆(τ), pour τ ∈ h. C’est une forme modulaire de Γ0(1) de poids
0. Le coefficient 1728 sert à normaliser j car on a
j(τ) = (2π)12 + . . .
(2π) 12 1
=
q + . . . q
avec cn ∈ Z. L’invariant j induit un isomorphisme important
X0(1) → P 1 (C)
28
+ cnq n
n≥0

envoyant ∞ sur ∞. Ainsi avec les identifications faites entre les élements de h, les classes de courbes elliptiques
sur C et les classes de réseaux, on en déduit que deux réseaux sont équivalents s’ils ont même invariant j et
deux courbes elliptiques sont isomorphes si elles ont même invariant j (§ 3.2).
L’invariant j engendre M0(Γ(1)) (ie M0(Γ(1)) = C(j(τ))). Plus généralement en remarquant que
jN(τ) = j(Nτ) ∈ M0(Γ(N)), on a alors
C(X0(N)) = A0(Γ0(N)) = C(j, jN) = C(j, f0)
On a même mieux, si f ∈ A0(Γ0(N)) a une q-développement avec des coefficients rationnels alors f ∈ Q(j, jN )
(voir [Cox]).
On va avoir besoin d’une fonction auxiliaire, la fonction γ2(τ) = 3 j(τ) pour τ ∈ h, c’est l’unique racine
cubique de j qui est à une valeur réelle sur l’axe des imaginaires (car j est à valeur réelle sur l’axe des
imaginaires). Cette fonction n’est pas modulaire mais vérifie les relations simples (voir [Cox] 12.3)
γ2(τ + 1) = ζ −1
3 γ2(τ) et γ2(−1/τ) = γ2(τ) (10)
Elle admet un q-développement avec coefficients rationnels en q 1/3 car j a un q-développement à coefficients
rationnels. Cette fonction aura une grande importance dans la deuxième preuve du théorème 1.1. On montrera
entre autre que pour certain τ ∈ h, γ2(τ) est un entier.
On peut exprimer γ2 en fonction des fonctions de Weber (voir [Cox] 12.17))
γ2(τ) = f(τ)24 − 16
f(τ) 8
= f 1(τ) 24 + 16
f 1(τ) 8
29
= f 2(τ) 24 + 16
f 2(τ) 8 avec τ ∈ h (11)

5 Multiplication complexe
Nous souhaitons comprendre les extensions abéliennes d’un corps de nombres K. Nous nous plaçons alors
dans le cadre de la théorie des corps de classes qui nous apprend que le résultat est connu dans le cas K = Q
et dans le cas où K est un corps quadratique imaginaire :
Théorème 5.1
(i) (Kronecker-Weber) Soit L une extension abélienne de Q alors il existe n ≥ 1 tel que L ⊂ Q(e 2iπ/n ).
(ii) (Fueter-Hasse) Soient K un corps quadratique imaginaire et E une courbe elliptique à multiplication
complexe par OK alors l’extension maximale abélienne de K est donnée par
avec ΦE la fonction de Weber associée à E.
K ab = K(j(E), (ΦE(P ))P ∈Etors )
5.1 Courbes elliptiques à multiplication complexe
Soit E une courbe elliptique, alors End(E) contient tous les morphismes du type P ↦→ nP avec n ∈ Z.
Définition 5.2
Une courbe E est à multiplication complexe si End(E) ≇ Z.
C’est à dire qu’il existe des morphismes différents des multiplications par n. Soit Λ = w1Z + w2Z un
réseau (w1/w2 ∈ h), on a vue que
EndC(EΛ) ∼ = EndC(C/Λ) ∼ = {α ∈ C, αΛ ⊂ Λ}
On note OΛ ce dernier ensemble, alors OΛ est un ordre dans le corps quadratique imaginaire Q(w1/w2).
Réciproquement si O est un ordre dans un corps quadratique imaginaire K, il existe un réseau Λ tel que
OΛ = O. De plus tout idéal fractionnaire propre a d’un corps quadratique imaginaire K peut-être vue comme
un réseau Λa (a est de la forme [a, b])
OΛa = {α ∈ C, αΛa ⊂ Λa} = {α ∈ K, αΛa ⊂ Λa} = OK
On note Ea la courbe elliptique associée au réseau Λa. On a alors l’identification pour tout idéal fractionnaire
a de K
End(Ea) ∼ = OK
5.2 Equation modulaire
Considérons M + 2 (Z) l’ensemble des matrices de déterminants positifs et ∆∗N le sous-ensemble des matrices
de déterminant N, primitives (ie le pgcd de ces coefficients vaut 1). SL(2, Z) agit à gauche sur ∆∗ N . Cette
action est transitive sur les classes à gauche. Donc si on prend un représentant γi dans chaque classe, alors
les j(γi) sont permutés transitivement sous l’action de SL(2, Z). On note φ(N) = N (1 + 1/p) le nombre
de classes à gauche et
φ(N)
ΦN(X, j) = (X − j ◦ γi)
i=1
Grâce à l’invariance sous SL(2, Z), on peut montrer que c’est un polynome de Z[X, j], irréductible sur C(j).
Définition 5.3
L’équation modulaire d’odre N est définie par
ΦN (X, j) = 0
30

Un cas intéréssant est quand N est sans carré (par exemple N = |dK| avec dK le discriminant d’un corps
quadratique imaginaire), alors ΦN(j, j) est un polynome en j dont le coefficient dominant vaut 1. On montre
alors
Théorème 5.4
Soit Q(τ) avec τ ∈ h un corps quadratique imaginaire, alors j(τ) est un entier algébrique.
Preuve. Il existe x ∈ OK = [1, wK] tel que N K/Q(x) soit sans carré (en prenant par exemple x = 1 + i si
τ = i et x = √ −m si τ = √ −m et m > 1). Soit γ ∈ M2(Z) telle que
xwK = aγwK + bγ
x = cγwK + dγ
alors N K/Q(x) = det(γ) = aγdγ − bγcγ implique pgcd(aγ, bγ, cγ, dγ) = 1. Donc γ ∈ ∆ ∗ det(γ)
ainsi j(wK)
est racine de Φdet(γ)(X, X) qui est dans Z[X] avec coefficient dominant égal à 1 (ie j(wK) est un entier
algébrique). Il existe γ ′ ∈ M + 2 (Z) primitive telle que τ = γ′ (wK) car Q(wK) = Q(τ). De plus j(γ ′ ) est racine
de Φdet(γ ′ )(X, j) qui est un polynome de Z[X, j] avec coefficient dominant égal à 1 donc j(γ ′ ) est entier sur
Z[j]. Ainsi j(τ) = j(γ ′ (wK)) est entier sur Z[j(wK)]. Donc j(τ) est un entier algébrique.
Comme conséquences directes :
– pour tout ai ∈ OK, j(ai) est un entier algébrique
– j(E) est un entier algébrique avec E courbe elliptique telle que End(E) = OK.
5.3 Actions sur Ell(OK)
Soient Ell(OK) l’ensemble des classes à C-isomorphismes près des courbes à multiplication complexe par
OK. On a une bijection
CK −→ Ell(OK)
b ↦−→ E b
ce qui donne une structure de groupe à Ell(OK). Ainsi cela induit une action de CK sur Ell(OK) par
b.Ea = E b −1 a
Cette action est simplement transitive. Le −1 provient du faite que l’on a transposé l’action de CK sur
elle-même donnée par (a, b) ↦→ a −1 b. Les (j(b)) b∈CK caractérisent ainsi entièrement les classes de Ell(OK) =
(E b ) b∈CK .
On définit une action de Gal(Q/Q) sur E : y 2 = 4x 3 +ax+b avec a, b ∈ Q par E σ : y 2 = 4x 3 +a σ x+b σ avec
σ ∈ Gal(Q/Q). En notant Ell Q (OK) l’ensemble des classes (à Q-isomorphisme près) de courbes elliptiques
définies sur Q, on a une bijection
Ell Q (OK) ←→ Ell(OK)
il faut utiliser le faite que j(E) est un entier algébrique invariant sous Gal(Q/Q) et que End(E σ ) = End(E)
pour tout σ ∈ Gal(Q/Q).
On va maintenant relier ces deux actions sur Ell(OK) grâce au théorème suivant (voir [Sil2])
Théorème 5.5
Soient E ∈ Ell Q (OK), a ∈ CK et σ ∈ Gal(Q/Q) alors
(a.E) σ = a σ .E σ
31

Considérons maintenant Θ : Gal(K/K) ⊂ Gal(Q/Q) → CK définie par E σ = Θ(σ).E pour σ ∈
Gal(K/K) et E ∈ Ell(OK). Cette application passe au quotient car l’action de CK sur Ell(OK) est simplement
transitive. De plus, comme les j(a) caractérisent entièrememt Ell(OK), on peut définir Θ par
j(a) = j(Θ(σ) −1 a). Ainsi le noyau de Θ est Gal(K/K(j(a))). La fonction Θ est aussi surjective grâce à
la relation valable pour tout idéal fractionnaire a de I(f K(j(E))/K), Θ((a, K(j(E))/K)) = a (voir [Sil2]).
D’où
Gal(K(j(E))/K) ∼ = CK
On regroupe tout cela dans le théorème suivant
Théorème 5.6 (Weber-Fueter)
Soient K un corps quadratique imaginiare et E une courbe elliptique à multiplication complexe par OK,
on a
(i) le corps K(j(b)) est indépendant de l’élément b ∈ CK, on le note K(j(E)) ou K(j(OK)).
(ii) [K(j(OK)) : K] = [Q(j(OK)) : Q] = hK
(iii) Gal(HK/K) ∼ = CK, de plus ce groupe permutte les j(b).
(iv) pour tout a idéal fractionnaire de K et b ∈ CK.
j(b) (a,HK/K) = j(a −1 b)
Le point (ii) nous dit que HK = K(j(OK)) et que le polynome minimal unitaire de j(OK) sur Z[X] est
de degré inférieur à hK. Un cas particulier qui nous intéressera est hK = 1, alors j(OK) est alors entier.
Plus généralement, si O est un ordre dans OK alors K(j(b)) est indépendant de l’élément b ∈ C(O), on
le note K(j(O)), c’est H(O) le corps de classes d’anneaux de O. On a de plus pour b ∈ C(O)
[K(j(O)) : K] = [Q(j(O)) : Q] = h(O) et j(b) (a,H(O)/K) = j(a −1 b) (12)
5.4 Théorème principal de la multiplication complexe
On ennonce dans cette partie le théorème principal de la multiplication complexe (voir [Cas] et [Sil2]).
Il rend explicite l’extension maximale d’un corps quadratique imaginaire K. Soit E : y 2 = x 3 + ax 2 + b une
courbe elliptique sur C, on définit la fonction de Weber par
Théorème 5.7 (Fueter-Hasse)
⎧
⎨
ΦE(x, y) =
⎩
x si j(E) = 0, 1728
x 2 si j(E) = 1728
x 3 si j(E) = 0
Soient E une courbe elliptique de Ell(OK), a un idéal entier de OK et P un point primitif de a-division
de E (ie Ann(P ) = a) alors le corps de classes de rayon de a est
H(a) = K(j(E), ΦE(P ))
Ainsi on peut montrer que l’extension maximale abélienne de K est
K ab = K(j(E), (ΦE(P ))P ∈Etors)
32

6 Nombre de classes dans les corps quadratiques imaginaires
6.1 Historique
Voici les dates clefs concernant le calcul du nombres de classes des corps quadratiques imaginaires :
– 1801 : Gauss [Gau] fait plusieurs conjectures concernant le nombres de classes pour les formes quadratiques
:
1. il n’y a qu’un nombre fini de discriminants ayant un nombre de classes donné.
2. il existe neuf discriminants négatifs ayant pour nombre de classes un.
– 1837 : Dirichlet [Dir] établit la formule reliant le nombre de classes et la série de Dirichlet.
– 1918 : Landau [Land1] publit un résultat de Hecke montrant l’importance des zéros de la série de
Dirichlet pour trouver une minoration de h(dK).
– 1933 : Deuring [Deu] montre que si l’hypothèse de Riemann est fausse alors h(dK) → ∞ quand
dK → −∞.
– 1934 : Heilbroon [Hei1] montre qu’il n’existe qu’un nombre fini de corps quadratiques imaginaires avec
un nombre de classes hK ≥ 1 (première conjecture de Gauss).
– 1934 : Heilbronn et Linfoot [Hei2] prouvent qu’en dehors des neuf corps quadratiques du théorème 1.1,
il existe au plus un corps quadratique imaginaire de nombre de classes un et que ce dixième à un
discriminant qui vérifie dK > exp(2, 2.10 7 ) [Sta2].
– 1936 : Siegel [Sie1] démontre que pour tout ε > 0 , il existe une constante c > 0 non effective telle que
h(dK) > c|dK| 1/2−ε
– 1951 : Tatuzawa [Tat] raffine le résultat de Siegel en montrant le résultat avec une constante effective
pour tout discrminant sauf au plus un.
– 1952 : Heegner [Hee] démontre la deuxième conjecture de Gauss, preuve passée un peu sous silence
avant que Stark se rende compte que la preuve était juste et reformule cette démonstration en 1969
[Sta3].
– 1966-1968 : Baker [Bak2](1966), Stark [Sta2](1967) et Siegel [Sie2](1968) démontrent qu’il en existe
seulement neuf.
– 1971 : Baker [Bak3] et Stark [Sta4] démontrent qu’il existe 18 corps quadratiques avec un nombre de
classes deux.
– 1973 : Montgomery et Weinberger [M-W] démontrent que h(dK) = 3 pour 907 < −dK < 10 2500 .
– 1983-1984 : Gross et Zagier [G-Z] trouve une forme modulaire satisfaisant le théorème de Goldfeld, voir
théorème 1.2. Oesterlé [Oes] (1984) trouve que l’on peut prendre une constante c = 1/7000. Mestre,
Oesterlé et Serre (1984) trouvent une nouvelle courbe elliptique de conducteur 5077 satisfaisant le
théorème de Goldfeld et trouvent la constante c = 1/50. Ce qui conjugué avec le résultat de Montgomery
et Weinberger (1973) permet de trouver tous les corps quadratiques de nombre de classes 3.
– 1992 : Arno [Arn] trouve tous les corps quadratiques imaginaires de classes de nombre 4
– 1996 : Wagner [Wag] trouve tous les corps quadratiques imaginaires de classes de nombre 5, 6, 7.
– 2004 : Watkins [Wat] détermine tous les corps quadratiques imaginaires avec un nombre de classes
inférieur à 100.
6.2 Corps quadratiques imaginaires de nombre de classes un (Heegner-Stark)
On démontre de deux façons différentes le théorème suivant (première conjecture de Gauss)
Théorème 6.1
Soit K un corps quadratique imaginaire de discriminant dK alors on a équivalence entre :
h(dK) = 1 ⇐⇒ dK = −3, −4, −7, −8, −11, −19, −43, −67 ou − 163
33

Dans cette section, on démontre ce théorème par la méthode de Heegner (voir [Cox] chap. 3, [Hee] et
[Sta3])
Soit dK tel que h(dK) = 1.
1er cas : si dk ≡ 0 mod 4, on a le lemme suivant
Lemme 6.2
Si dK = −4n avec n ≥ 1, alors
h(−4n) = 1 ⇐⇒ n = 1, 2, 3, 4 ou 7
Preuve. Si n = 1, 2, 3, 4 ou 7, alors on a facilement une unique forme réduite donnée par x 2 + ny 2 .
Si n = 1, 2, 3, 4 ou 7, nous allons trouver une forme réduite autre que x 2 + ny 2 . On distinguera trois cas :
– si n = ab avec pgcd(a, b) = 1 et a, b > 1 alors la forme ax 2 + by 2 est réduite de dicriminant −4n. Donc
h(−4n) > 1.
– si n est de la forme n = 2 r avec r ≥ 3. Si r = 3, on a h(−4.8) = 2. Sinon r ≥ 4 et la forme
4x 2 + 4xy + (2 r−2 + 1)y 2 est de discriminant −4n. Elle est réduite car 4 ≤ 2 r−2 + 1. Donc h(−4n) > 1.
– si n = p r avec p nombre premier impair. Si n + 1 = ab avec pgcd(a, b) = 1 et 1 < a < b, alors
ax 2 + 2xy + cy 2 est de discriminant −4n et réduite. Donc h(−4n) > 1. Sinon n + 1 est de la forme 2 s ,
nous allons distinguer suivant les valeurs de s.
Si s = 1, 2, 3, 4 ou 5 alors n = 1, 3, 7, 15 ou 31, les cas 1, 3 et 5 donne h(−4n) = 1 et le cas n = 31
donne h(−4.31) ≥ 2. Le cas n = 15 est à exclure car 15 n’est pas une puissance d’un nombre premier.
Si s ≥ 6 alors la forme 8x 2 + 6xy + (2 s−3 + 1)y 2 est réduite et de discriminant −4n.
D’où le résultat dans tous les cas.
Donc h(dK) = 1 est équivalent à dK = −4, −8, −12, −16 ou − 28. Mais dK est un discriminant d’un
corps quadratique imaginaire donc dK = −4 ou − 8.
2ème cas : si dk ≡ 1 mod 4. Il y a 2 t−1 genres de formes de discriminant dK (§ 2.3.2) et 2 t−1 |dK donc
t = 1 et dK = −p avec p nombre premier tel que p ≡ 3 mod 4.
Si p ≡ 7 mod 8 alors on déduit de la relation (3)
h(−4p) = 2h(−p)
1 −
−p
2
1
= h(−p) = 1
2
ainsi en réutilisant le lemme 6.2, on a p = 7.
Le coeur de la preuve est le cas p ≡ 3 mod 8, pour cela on va étudier la fonction γ2 définie au paragraphe
§ 4.4.4. On commence par une proposition fondamentale sur les formes modulaires. Nous avons vu § 4.4.4
que toute forme modulaire pour Γ0(N) qui a un q-développement à coefficients rationnels alors f ∈ Q(j, jN).
L’équation modulaire va nous permettre d’affiner ce résultat ponctuellement sous l’hypothèse que f est
holomorphe (voir [Cox]), ce qui nous dira que j en certain point est un cube (ie γ2 est un entier)
Proposition 6.3
Soient f ∈ A(Γ0(N)) holomorphe sur h avec une q-développement à coefficients rationnels et τ0 ∈ h. Si
alors f(τ0) ∈ Q(jN (τ0), j(τ0))
∂ΦN
∂X (jN(τ0), j(τ0)) = 0
Preuve. Nous allons trouver une expression de f comme fraction rationnelle en j et jN. Posons la fonction
G(X, τ) =
φ(N)
i=1
f(γi(τ))
(X − j(Nγi(τ)))
34
j=i

avec les γi définies en § 5.2. G(X, τ) est un pôlynome en X avec des coefficients qui sont des formes modulaires
pour Γ0(1) (ie des fractions rationnelles en j). Donc G(X, τ) ∈ C(j)[X]. On a de plus
en prenant γ1 = Id. Donc
∂ΦN
∂X (jN(τ), j(τ)) =
(j(Nτ) − j(Nγi(τ)))
G(jN (τ), j(τ)) = f(τ) ∂ΦN
∂X (jN(τ), j(τ))
Mais ΦN (X, j(τ)) est irréductible donc séparable, ainsi
D’où
j=1
∂ΦN
∂X (jN (τ), j(τ)) = 0
f(τ) = G(jN (τ), j(τ))
∂ΦN
∂X (jN (τ), j(τ))
Puisque f est holomorphe sur h, les coefficients de G(X, j(τ)) sont aussi holomorphes sur h, donc G(X, j(τ))
est un pôlynome en j et jN sur C. En regardant les q-développements de f et de ∂ΦN/∂X(jN(τ), j(τ)), puis
en multipliant au numérateur et au dénominateur par un facteur bien choisit Q(j) tel que Q(j(τ0)), on peut
supposer que G(X, j(τ))Q(j) ∈ Q(j, jN ) car on sait que si f a un q-développement à coefficients rationnels
(ie f ∈ Q(j, jN )). Donc comme le dénominateur ne s’annule pas en τ0 on peut évaluer en τ0, d’où le résultat.
Un lemme technique nous donnera un critère pour appliquer cette proposition
Lemme 6.4
Soit O = [1, τ0] un ordre dans un corps quadratique imaginaire K tel que U(O) = {±1}. Supposons qu’il
existe un entier s tel que s|Tr K/Q(τ0) et pgcd(s 2 , N K/Q(τ0)) soit sans carré. Alors pour tout entier N ≥ 1
∂ΦN
∂X (j(Nτ0/s), j(τ0/s)) = 0
Preuve. Supposons alors que j(Nτ0/s) soit racine multiple de ΦN(X, j(τ0/s)). Alors il existe σ ∈
SL(2, Z)\∆∗ N tel que
a
j(Nτ0/s) = j(σ(τ0/s)) avec σ =
0
b
N
= σ0 =
d
0
0
1
En terme de réseaux, cela signifie qu’il existe λ = 0 tel que
λ[1, Nτ0/s] = [d, aτ0/s + b]
Il suffit donc de montrer que λ ∈ O∗ = {±1}, ce qui contradira le fait que σ = σ0 dans SL(2, Z)\∆∗ N . Les
deux réseaux [1, Nτ0/s] et [d, aτ0/s + b] sont d’indice N dans [1, τ0/s], donc λ est de norme 1. Il reste donc
à montrer que λ ∈ O. Considérons sτ0, on a
sτ0 ∈ s[d, aτ/s + b] ⊂ [s, τ0]
Donc sτ0 = su + vτ0 avec u, v ∈ Z. En prenant la norme, on a
s 2 = N K/Q(sτ0) = s 2 u 2 + suvTr K/Q(τ0) + v 2 N K/Q(τ0)
Mais s|Tr K/Q(τ0), donc s 2 |v 2 N K/Q(τ0) ainsi s|v. Ainsi τ0 ∈ O ∩ UK = U(O)
35

On est maintenant prêt à montrer que γ2 est un entier en certain point de h :
Lemme 6.5
Soient K un corps quadratique imaginaire, p ≡ 3 mod 8 un nombre premier différent de 3 et τ0 valant
√ −p si dK = −4p et (3 + √ −p)/2 si dK = −p, alors γ2(τ0) est un entier (en particulier j(τ0) est un
cube).
Preuve. Soit τ ∈ h, par récurrence sur (10) on a
aτ + b
γ2 = ζ
cτ + d
ac−ab+a2cd−cd 3
γ2(τ) avec
a b
∈ SL(2, Z)
c d
Donc γ2(3τ) est invariant sous Γ = {γ ∈ SL(2, Z), bγ ≡ cγ ≡ 0 mod 3}. Mais
1/3
Γ0(9) =
0
0 Γ
3
1 0
0
1
Donc γ2(3τ) est invariant sous Γ0(9). De plus par § 4.4.4, on sait que j3 est une forme pour Γ0(3) donc j3
admet une q-développement méromorphique en puissance de q 1/3 ainsi γ2(3τ) admet une q-développement
méromorphique en puissance de q 1/9 , donc γ2(3τ) est une forme modulaire de Γ0(9). C’est une fraction
rationnelle en j et j9 et comme les coefficients de son q-développement sont rationnels, on a γ2(3τ) ∈ Q(j, j9).
Ce que nous voulons montrer c’est que γ2(3τ0) ∈ Q(j(3τ0), j(τ0/3)). Par la proposition 6.3, il suffit de montrer
que
∂Φ9
∂X (j(3τ0), j(τ0/3)) = 0
car γ2(3τ) est holomorphe sur h. Mais on a Tr K/Q(τ0) = 3 et pgcd(N K/Q(τ0), 3 2 ) est sans carré car p ≡
3 mod 8, donc on peut appliquer le lemme technique 6.4. Ainsi γ2(3τ0) ∈ Q(j(3τ0), j(τ0/3)).
L’idéal [1, τ0/3] est un idéal propre de l’ordre O ′ = [1, 3τ0]. Par la théorie de la multiplication complexe,
le corps de classes d’anneaux de l’ordre O ′ vaut H(O ′ ) = K(j(τ0/3)) = K(j(3τ0)) car par définition j(τ0) =
j([1, τ0]). En notant D le discriminant de l’ordre de O = [1, τ0], on a [H(O ′ ) : H(O)] = h(9D)/h(D). Par la
formule (3)
h(9D) =
3h(D)
[U(O) : U(O ′
1 −
)]
D
3
1
3
Mais 3 ∤ D, ainsi [H(O ′ ) : H(O)] = h(9D)/h(D) = 2 ou 4 ( car [U(O) : U(O ′ )] = 1). De plus par la théorie
de la multiplication complexe
[H(O) : Q(j(τ0))] = [K : Q] = 2
donc [Q(γ2(τ0)) : Q(j(τ0))] est une puissance de 2. Mais puisque γ2(τ0) est la racine réelle de j(τ0), on a
[Q(γ2(τ0)) : Q(j(τ0))] = 1 ou 3. Ainsi
[Q(γ2(τ0)) : Q(j(τ0))] = 1
D’où le résultat.
Si p = 3, on a h(−3) = 1. Supposons alors p = 3. Par (3) on a
−p 1
h(−4p) = 2h(−p) 1 −
= 3h(−p) = 3
2 2
d’où [Q(j( √ −p)), Q] = h(−4p) = 3 car Q(j( √ −p)) est le corps de classes d’anneau de O = [1, √ −p]. On
s’intéresse maintenant à l’élément f( √ −p) 2 avec f une des fonction de Weber. Le lemme suivant nous permet
de travailler avec f( √ −p) 2 plutôt que j( √ −p).
36

Lemme 6.6
Soient p ≡ 3 mod 8 (p = 3) alors Q(f( √ −p) 2 ) est le corps de classes d’anneau de O = [1, √ −p]
Preuve. Par (11), on a
γ2(τ) 3 24 f(τ) − 16
= j(τ) =
Donc f(τ) 2 est une racine d’un pôlynome unitaire à coefficients dans Z[j(τ)], mais j(τ) est un entier algébrique,
donc aussi f(τ) 2 .
Par la théorie de la multiplication complexe, le corps de classes d’anneaux de O = [1, √ −p] est H(O) =
K(j( √ −p)). Donc H(O) ⊂ K(f( √ −p) 2 ) car j( √ −p) est une fraction en f( √ −p) 2 par (13). Nous allons
montrer que f( √ −p) 2 ∈ H(O).
Par lemme 6.5, γ2( √ −p) ∈ H(O), ainsi il suffit de montrer que f( √ −p) 6 ∈ H(O) car alors f( √ −p) 24 et
f( √ −p) 8 ∈ H(O) par (13).
On a f(τ) 6 = ζ8f1(τ + 1) 6 (§ 4.4.3). Nous allons montrer que f(8τ) 6 est une forme modulaire pour Γ0(64).
On remarque que pour γ ∈ Γ0(64)
8γτ = 8
a b
τ =
64c d
f(τ) 8
3
a 8b
8τ = γ8τ
8c d
avec γ ∈ Γ(8) = {γ ∈ SL(2, Z), γ ≡ I2 mod 8}. Donc il suffit de montrer que f(8τ) 6 est invariant sous Γ(8).
Or on a la relation f(τ) 6 = ζ8f1(τ + 1) 6 (§ 4.4.3) donc on va montrer que f(8τ) 6 est invariant sous Γ(8). Mais
Γ(8) ⊂ Γ(2) et Γ(2) est engendré par
−I2,
1 0
2 1
et
1 2
0 1
Donc par induction on a que f 1(γτ) 6 = f 1(τ) 6 . Ainsi f 1(8γτ) = f 1(γ8τ) 6 pour γ ∈ Γ0(64).
Par § 4.4.3 et le q-développement de la fonction η de Dedekind, on en déduit que f(8τ) 6 est holomorphe
sur h et a une q-développement à coefficients entiers. Donc f(8τ) 6 est de la forme f(8τ) 6 = W (j(τ/8), j(8τ))
avec W ∈ Q(X, Y ) (§ 5.2). On a Tr K/Q( √ −p) = 0 et pgcd(N K/Q( √ −p), 8 2 ) est sans carré, donc on peut
appliquer le lemme technique 6.4, d’où
∂Φ64
∂X (j(8τ0), j(τ0/8)) = 0
Ainsi f(8 √ −p) 6 = W (j([8, √ −p]), j([1, 8 √ −p])). Soient O ′ = [1, 8 √ −p], H(O ′ ) son corps de classes d’anneaux,
a = [8, 2 + √ −p] et b = [8, √ −p] sont des idéaux fractionnaires propres de O ′ d’où f( √ −p) 6 ∈ H(O ′ ).
Les ordres O et O ′ ont pour discriminant −64p et −p respectivement. Par (3), h(−64p) = 8h(−p), ainsi
[H(O ′ ) : H(O)] = 8
Par la théorie des corps de classes § 2.2.1, on a C(O ′ ) ∼ = Gal(H(O ′ )/K) et C(O) ∼ = Gal(H(O)/K) donc
Gal(H(O ′ )/H(O)) ∼ = Ker(C(O ′ ) → C(O))
Mais a et b appartiennent à ce noyau et son d’ordre respectif 4 et 2. Donc soient σa et σb les images
réciproques de a et b par cet isomorphisme, ils engendrent Gal(H(O ′ )/H(O)) (car |Gal(H(O ′ )/H(O))| = 8).
Il nous suffit donc de montrer que f( √ −p) 6 est fixe sous σa et σb.
On a par (12)
σa(f( √ −p) 6 ) = W (σa(j(b)), σa(j(O ′ )))
= W (j(a −1 b), j(a −1 ))
37
(13)

mais a−1 = [8, 6 + √ −p] et a−1b = [4, 3 + √ −p], d’où σa(f( √ −p) 6 ) = W (j([8, 6 + √ −p]), j([4, 3 + √ −p])).
De même σb(f( √ −p) 6 ) = W (j([1, 8 √ −p]), j([8, √ −p])).
Soient
2
γ0 =
1
11
6
0
et γ1 =
1
−1
0
On a γ0(τ) = (2τ + 11)/(τ + 6) donc [1, γ0(τ)/8] est homothétique à [8(τ + 6), (2τ + 11)] = [8, 6 + τ] et
[1, 8γ1(τ)] est homothétique à [τ + 6, 8(2τ + 11)]. D’où en prenant τ = √ −p,
f(γ0( √ −p)) 6 = W (j([8, 6 + √ −p]), j([4, 3 + √ −p])) = σa(f( √ −p) 6 )
De même f(γ1( √ −p)) 6 = σb(f( √ −p) 6 ). Mais puisque
γ0 = T 2 ST 6 et γ1 = S
avec S et T les générateurs de SL(2, Z). On a par § 4.4.3,
f(γ0( √ −p)) 6 = f( √ −p) 6 et f(γ1( √ −p)) 6 = f( √ −p) 6
D’où le résultat.
Alors f( √ −p) 2 ∈ H(O). De plus f( √ −p) 2 est réel donc [Q(f( √ −p) 2 ) : Q] = 3. Posons τ0 = (3+ √ −p)/2 ∈ h
et α = ζ8f2(τ0) 2 avec f2 une des fonctions de Weber. Nous avons f1(2τ0)f2(τ0) = √ 2 et la suite d’égalités
(§ 4.4.3)
f1(2τ0) = f1(3 + √ −p) = ζ −3
48 f(√−p) = ζ −1
16 f(√−p) Donc α = 2/(f( √ −p) 2 ), ainsi Q(α) = Q(f( √ −p) 2 ).
On va trouver une relation entre le polynome minimal de α et celui de α4 (qui engendre la même extension
que α). L’élément γ2(τ0) est entier (par lemme 6.5). On sait aussi que γ2(τ0) = (f2(τ0) 24 +16)/f2(τ0) 8 par (11),
donc α4 = −f2(τ0) 8 est racine de
X 3 − γ2(τ0)X − 16 = 0 (14)
qui est le polynôme minimal de α 4 sur Z. De plus α est un entier algébrique qui engendre une extension
cubique de Q (car [Q(α) : Q] = [Q(f 2(τ0) 2 ) : Q] = [Q(j(τ0)) : Q] = 3) et annule un polynome de degré 3 sur
Q de la forme X 3 + aX 2 + bX + c avec a, b, c ∈ Z. Donc α satisfait l’équation
(X 3 + bX) 2 = (−aX 2 − c) 2
En développant on obtient alors que α 2 satisfait l’équation X 3 + eX 2 + fX + g = 0 avec e = 2b − a 2 ,
f = b 2 − 2ac et g = −c 2 . En répétant cette procédure, on obtient que α 4 satisfait
En comparant avec (14), on a
Ainsi g = ±4 = −c 4 donc g = −4 et c = ±2. D’où
La première égalité 2f − e 2 = 0 implique que
X 3 + (2f − e 2 )X 2 + (f 2 − 2eg)X − g 2 = 0
2f − e 2 = 0
f 2 − 2eg = −γ2(τ0)
g 2 = 16
γ2(τ0) = −(b 2 − 4a) 2 − 8(2b − a 2 )
2(b 2 − 4a) = (2b − a 2 ) 2
ce qui nous donne que a et b doivent être pairs. Posons X = −a/2 et Y = (b − a 2 )/2, alors X et Y sont
entiers et vérifient
16X(X 3 + 1) = a 4 + 8a = 2(b 2 − 4a) + 4ba 2 − 4b 2 + 8a = 8Y 2
Donc X, Y sont solutions de l’équation diophantienne 2X(X 3 + 1) = Y 2
38

Lemme 6.7
Les solutions entières de l’équation diophantienne 2X(X 3 +1) = Y 2 sont (0, 0), (−1, 0), (−1, ±2) et (2, ±6).
Preuve. Soit (x, y) une solution entière. On sait que pgcd(x, x 3 + 1) = 1, donc il existe z entier tel que
l’on est dans un des quatres cas suivant :
(1). x 3 + 1 = z 2 et y 2 = 2xz 2
(2). x 3 + 1 = −z 2 et y 2 = −2xz 2
(3). x 3 + 1 = 2z 2 et y 2 = 4xz 2
(4). x 3 + 1 = −2z 2 et y 2 = 4xz 2
Soit (x, z) une telle solution de (2), on travaille dans l’anneau factoriel Z[i]. Les entiers de Gauss −z + i
et z + i sont relativement premiers, car leur pgcd d doit diviser −z + i + z + i = 2i = (1 + i)(1 − i)i et on
vérifie facilement en séparant les cas que d = 1. Ainsi (z + i)(−z + i) = x 3 implique que −z + i et z + i
sont des cubes dans Z[i]. On écrit z + i = (a + ib) 3 donc −z + i = (−a + ib) 3 , d’où en additionnant on a
3a 2 b − b 3 = 1 ainsi b = −1 et a = 0 (ie z = 0). Donc les solutions sont (x, z) = (−1, 0) (ie (x, y) = (−1, 0)).
Soit (x, z) une solution de (3) alors x est un carré car y 2 = 4xz 2 . On est ramené à étudier les solutions
entières de W 6 + 1 = 2Z 2 . Soit (x, w) une telle solution, on travaille dans Z[j] avec j = e 2iπ/3 . On a
2z 2 = (w 2 + 1)(w 2 − j)(w 2 − j) et w 2 + 1, w 2 − j et w 2 − j 2 sont relativement premiers deux à deux. Donc
puisque 2 est irréductible, on a soit 2|w 2 + 1 (ie w = ±1) soit w 2 + 1 est un carré et 2 divise soit w 2 − j soit
w 2 − j 2 . Dans le deuxième cas, on écrit w 2 + 1 = (a + jb) 2 , en développant et en séparant partie réelle et
partie imaginaire, on a
0 = ab − b 2 /2
w 2 + 1 = a 2 − ab − b 2 /2
d’où soit b = 0 et w 2 + 1 est un carré dans Z (ie w = 0), soit 2a = b et w 2 + 1 est négatif. Impossible dans
les deux cas. Donc les solutions sont (x, w) = (1, ±1) (ie (x, y) = (1, ±2)).
Soit (x, z) une solution de (4), on a x 3 = ( √ −2z + 1)( √ −2z − 1). De plus √ −2z + 1 et √ −2z − 1 sont
relativement premiers deux à deux dans Z[ √ −2]. Donc ce sont des cubes. On écrit √ −2z + 1 = (a + √ −2b) 3
donc √ −2z − 1 = (−a + √ −2b) 3 , d’où on a le système
1 = b(3a 2 − 2b 2
1 = a(−a 2 + 6b 2 )
donc b = 0 et a = −1 (ie z = 0). Donc les solutions sont (x, z) = (−1, 0) (ie (x, y) = (−1, 0)).
Les solutions entières de (1) sont plus difficiles à déterminer. Soit (x, z) une solution rationnelle de (1),
on pose x = a/b, avec b > 0 et pgcd(a, b) = 1. Supposons que a/b = −1, 0, 2 et posons c = a + b alors
b(a 3 + b 3 ) = bc(c 2 − 3bc + 3b 2 ), or a 3 + b 3 = b 3 z 2 donc bc(c 2 − 3bc + 3b 2 ) est un carré et de plus pgcd(b, c) = 1.
Considérons ensuite f et e des entiers premiers entre eux distincts, avec 3 ∤ e, on va montrer par descente
infinie que fe(e 2 − 3fe + f 2 ) n’est pas un carré. Supposons que fe(e 2 − 3fe + f 2 ) est un carré, alors f, e et
fe(e 2 − 3fe + f 2 ) sont relativement premiers et ce sont des carrés. Ecrivons e 2 − 3fe + f 2 = (mf/n − e) 2
avec m, n > 0, pgcd(m, n) = 1. Alors en développant, on a
f
e
= 2mn − 3n2
m 2 − 3n 2
On a deux cas
– si 3 ∤ m alors f = 2mn − 3n 2 et e = m 2 − 3n 2 . Or e est un carré donc on a de même e = (e ′ n/f ′ − m) 2
avec e ′ , f ′ > 0, pgcd(e ′ , f ′ ) = 1 et 3 ∤ e ′ . Alors en développant on a
m
n = e′2 + 3p ′2
2p ′ q ′
39

d’où f/n2 = (e ′2 − 3e ′ f ′ + 3f ′2 )/(e ′ f ′ ). Alors (e ′2 − 3e ′ f ′ + 3f ′2 )(e ′ f ′ ) est un carré (car f est un carré)
et e ′ = f ′ car sinon e ′ = f ′ = 1 et 3 ∤ e. Donc e ′ et f ′ satisfont les mêmes hypothèses que e et f. On
a f ′ |f donc soit f ′ < f soit f = f ′ = n, mais si f = f ′ = n alors par le raisonnement du dessus, on a
c = (n − m) 2 = m2 − 3n2 donc c = 3, contradiction donc f ′ < f.
– si 3|m alors 3 ∤ n et f/e = (n2 − 2nk)/(n2 − 3nk avec m = 3k. Donc f = n2 − 2nk et e = n2 − 3k2 . Or
e est un carré donc on a de même e = (e ′ n/f ′ − m) 2 avec e ′ , f ′ > 0, pgcd(e ′ , f ′ ) = 1 et 3 ∤ e ′ . Ainsi en
développant on a
n
k = e′2 + 3f ′2
2f ′ e ′
d’où f/n 2 = (e ′ − f ′ )(e ′ − 3f ′ )/(e ′2 + 3f ′2 ). Ainsi (e ′ − f ′ )(e ′ − 3f ′ )(e ′2 + 3f ′2 ) est un carré et
(e ′ − f ′ )(e ′ − 3f ′ )(e ′2 + 3f ′2 ) = tu(u 2 − 3tu + 3t 2 )
avec f ′ = |m ′ − n ′ | et e ′ = |m ′ − 3n ′ |. Donc 3 ∤ e ′ et e ′ = f ′ . En divisant e ′ et f ′ par leur pgcd, on
peut supposer qu’ils sont premiers entre eux, et ils satisfont les mêmes hypothèses que e et f. On a
e ′ |n ± √ n 2 − 3k 2 , donc en séparant les cas f ′ = m ′ − n ′ et f ′ = n ′ − m ′ , on a f ′ < f.
On a construit un couple (e ′ , f ′ ) satisfaisant les mêmes hypothèses que (e, f) tel que f ′ < f. Par descente
infinie on arrive à une contradiction. Donc fe(e 2 − 3fe + f 2 ) n’est pas un carré.
En appliquant cela à f = b et e = c, on trouve que 3|c et donc 3 ∤ b. Soit d entier tel que c = 3d,
alors bd(b 2 − 3bd + 3d 2 ) = (b 2 z/3) 2 donc avec f = d et e = b on a b = d = 1. Donc c = 3 et a/b = 2,
ce qui contredit l’hypothèse. Alors les solutions sont donc (x, z) = (−1, 0), (0, ±1), (2, ±3) (ie (x, y) =
(0, 0), (−1, 0) ou (2, ±6)), d’où le résultat.
D’où le tableau
X Y a b γ2(τ0) τ0 dK
0 0 0 0 0 0 0
1 −2 −2 0 −32 (3+ √ −11)/2 −11
−1 0 2 4 −96 (3+ √ −19)/2 −19
2 −6 −4 4 −960 (3+ √ −43)/2 −43
1 2 −2 8 −5280 (3+ √ −67)/2 −67
2 6 −4 28 −640320 (3+ √ −163)/2 −163
Les valeurs de τ0 se déduisent du faite que γ2(τ0) est un entier égal à [[−q 1/6 + 256q 1/3 ]] avec q = e −2π√ p
([[x]] désigne l’entier le plus proche de x), voir [Cox] pour une preuve de ce fait. Ce qui achève totalement la
preuve du théorème 1.1.
6.3 Corps quadratiques imaginaires de nombre de classes un (Baker)
Références : [Bak1], [Bak2] et [Sta1]
Heilbronn et Linfoot (voir [Sta2]) ont montré que s’il existe un dixième corps quadratique imaginaire L
de nombre de classes un alors forcément −dL > exp(2, 2.10 7 ). L’idée de cette partie est de montrer qu’il n’y
en a pas.
Soit L = Q( √ −d) de nombre de classes un. On a vue dans la section précédente que le cas le plus difficile
est quand d est un nombre premier congru à 3 mod 4, on suppose que c’est le cas et on prend d > 10 20 . Il
y a une seule forme réduite de discriminant d
f(x, y) = x 2 + xy + 1
(1 + d)y2
4
Considérons aussi le corps quadratique réel K = Q( √ k) avec k = 21 ou 33, hK = 1. On associe aux deux
corps L et K leurs caractères de Dirichlet respectifs χL(n) = (−d/n) et χK(n) = (k/n). Le but de ce qui
suit va être d’évaluer L(s, χL)L(s, χLχK) en s = 1.
40

Lemme 6.8
L(s, χL)L(s, χLχK) = ζ(2s)
Preuve. En développant L(s, χL)L(s, χLχK), on a
∞ ∞
k −kd 1
=
n m (nm) s
n=1 m=1
p|k
1 − 1
p2s
∞
l=1
k 1
l ls +
n≥1 m∈Z
n=1 n|l
χL(f(m, n))
f(m, n) s
∞
−d
n
Mais par (5),
n|l (−d/n) n’est autre que la moitié du nombre de représentations de l par la forme f. D’où
L(s, χL)L(s, χLχK) = 1
2
= 1
2
(m,n)∈Z 2 \{(0,0)}
n=0,m=0
= 1
ζ(2s)
2
p|k
χL(f(m, n))
f(m, n) s
χL(m2 )
m2s 1
+
2
1 − 1
p2s
+
m=0,n∈Z
∞
n=1 m∈Z
χL(f(m, n))
f(m, n) s
χL(f(m, n))
f(m, n) s
D’où le résultat.
La double somme de droite peut-être ré-écrite avec z = 1/2 et g(z, n, m) = (n + zm) 2 + dm 2 /4
∞
n=1 m∈Z
χL(f(m, n))
g(z, n, m) s
Cette double somme est k-périodique et de classe C 1 en la variable z. Donc admet un développement en série
de Fourier de la forme
r∈Z Ar(s)e 2iπrz/k avec
Ar(s) = 1
k
k
0
∞
n=1 m∈Z
χL(f(m, n))
g(v, n, m) s e−2iπrv/k dv
On effectue le changement de variable v ↦→ u donné par m + vn = un √ d/2, d’où
Ar(s) = 1
k
2(m+kn)/(n √ d)
2m/(n √ d)
∞
n=1 m∈Z
χL(f(m, n))
(u 2 + 1) s e−iπr√ du/k du
On remplace ensuite m par µ+knν avec 0 ≤ µ < kn. En interchangeant somme-intégrale par convergence
dominée, on a
Ar(s) = 1
√ 1−2s ∞
d
θr(n)
Ir(s)
k 2
n2s avec
Ir(s) =
En posant µ = j + kl avec 0 ≤ j ≤ k − 1, alors
R
e−2iπrv/k (u2 + 1) s du et θr(n)
k−1
=
µ=0
k−1
θr(n) =
=
j=0
n=1
χL(f(j, n))e −2iπrj/(kn)
n−1
χL(f(µ, n))e −2iπrµ/(kn)
e 2iπrl/n
l=0
n k−1
j=0 χL(f(j, n))e −2iπrj/(kn) si n|r
0 si n ∤ r
41

Si s = 0, Ar(s) a un sens en s = 1, on note Ar = Ar(1). Et on note A0 = lims→1 + A0(s). D’où avec z = 1/2
L(1, χL)L(1, χLχK) = π2
1 −
6
1
p2
+
Are πirb/k
(15)
Le lemme qui suit donne une majoration de Ar.
Lemme 6.9
Pour tout r ∈ Z
p|k
|Ar| ≤ 2π
√ d |r|e −π√ d|r|/k
Preuve. Si r = 0, on a par un résultat non trivial de Stark sur les sommes de Gauss (voir [Sta5])
∞
n=1
1
n2s k−1
χL(f(µ, n)) =
µ=0
∞
n=1
1
n2s k−1
µ=0
= ζ(2s − 1)k
r∈Z
χL(µ 2 )e 2iπnµ/k
2−2s
p|k
(1 − p 2s−2 )
Mais ζ(2s − 1) ∼ 1/(2s) et (1 − p 2s−2 ) ∼ (2 − 2s) log p au voisinage de s = 1 + . Comme k = 21 et k = 33
admettent deux diviseurs premiers distincts, on a A0 = 0.
D’où
Sinon r = 0, on a par la théorie des résidus
Ir(1) =
Ar = 2π
√ d e −π√ dr/k
R
e−2iπru/k (u2 e
du = −2iπ lim
+ 1) s u→−i
−2iπru/k
u − i
n>0,n|r
= πe −πr√ d/k
k−1
1
χL(f(µ, n))e
n
−2iπrµ/(kn)
Mais la double somme est majorée par k|r|, d’où le résultat pour r = 0.
Nous avons tous les outils pour démontrer qu’il n’y a pas d’autre corps quadratique imaginaire de nombre
de classes un de discriminant supérieur à exp(2, 2.10 7 ). Posons α = e −π√ d/k , alors
Are
πirb/k
r∈Z
≤ 4π
√ d
µ=0
√
n
dnα
n≥1
≤ 4π
√ d e −π√ d/k
≤ 4π α
√
d (1 − α) 2
r≥1
d
dt
≤ 16π α √ d car d > 10 20
Les formules de Dirichlet (4) pour les corps quadratiques donnent
t=α
L(1, χK) = 2 log εK/ √ k et L(1, χLχK) = h(kd)π/ √ kd
avec εK l’unité fondamentale de K. On a suivant les valeurs de k :
42
t r

– k = 21, on a h(21) = 1, ε21 = (5 + √ 21)/2 et A0 = 0. En substituant la majoration trouvée et les
formules de Dirichlet dans (15), on a pour d > 10 20
h(21d) log ε21 − 32
21 π√
d
< e−π√ d/100
– k = 33, on a h(33) = 1, ε33 = 23 + 4 √ 33 et A0 = 0. On a de même
h(33d) log ε33 − 80
33 π√
d
< e−π√ d/100
D’où
|35h(21d) log ε21 − 22h(33d) log ε33| =
35
h(21d) log ε21 − 32
21 π√
d − 22 h(33d) log ε33 − 80
33 π√
d
< 57e −π100√ d
< e −δ√ d avec δ −1 = 14.10 3 car d > 10 20
Nous utilisons maintenant un théorème important concernant les formes linéaires de logarithme (voir
[Bak2]). Dans ce théorème, on appelle degré d’un entier algébrique le degré de son polynome minimal sur Z,
et hauteur d’un entier algébrique le maximum des valeurs absolues des coefficients de son polynome minimal.
Théorème 6.10 (Baker)
Soient (αi)1≤i≤n des nombres algébriques de degré inférieur à C et de hauteur inférieure à A, avec n ≥ 2,
A ≥ 4 et C ≥ 4. Soient (bi)1≤i≤n des entiers majorés en valeur absolue par B tels que
alors
0 < |
1≤i≤n
bi log αi| < e δB avec 0 < δ ≤ 1
B < (4 n2
δ −1 C 2n log A) (2n+1)2
Les unités fondamentales ε21 et ε33 sont algébriquement indépendantes de polynômes minimals respectifs
x 2 − 10x + 1 et x 2 − 46x + 1. On peut donc appliquer le théorème avec n = 2, C = 4 et A = 46, on obtient
alors B < 10 250 (ie d < 10 250 ). Ce qui avec le résultat de Heilbronn et Linfoot achève la preuve.
6.4 Ordres de nombre de classes un
On vient de voir qu’il n’y a que 9 corps quadratiques imaginaire avec pour nombre de classes un. On
peut se demander s’il existe en plus des ordres dans des corps quadratiques imaginaires avec pour nombre
de classes un. Le théorème suivant nous dit qu’il en existe 13.
Théorème 6.11
Soit D ≡ 0, 1 mod 4 un entier négatif, alors
h(D) = 1 ⇐⇒ D = −3, −4, −7, −8, −11, −12, −16, −19, −27, −28, −43, −67 ou − 163
Preuve. Soit D ≡ 0, 1 mod 4 entier négatif tel que h(D) = 1, on peut l’écrire D = f 2 dK (ie D est le
discriminant de l’ordre du corps quadratique imaginaire K = Q( √ dK) de conducteur f). Par la formule (3),
on sait que h(dK)|h(D), ainsi h(dK) = 1.
– Si f = 1 alors les valeurs de D telles que h(D) = 1 sont données par le théorème 1.1.
43

– Si f = 2, alors
2 1 −
dK
2
1
= [UK : U(O)]
2
possède trois solutions : dK = −3, −4 ou − 7, d’où D = −12, −16 ou − 28.
– Si f = 3, alors
dK 1
3 1 −
= [UK : U(O)]
3 3
possède une solution dK = −3 d’où D = −27.
– Si f > 3, alors pour les dK donnés par le théorème 1.1 on a
f
dK 1
1 −
[UK : U(O)]
p p
p|f
Donc il n’existe pas de solutions.
D’où les 13 ordres ayant pour nombre de classes 1.
6.5 Une minoration de h(dK)
Le but de cette partie est detailler les étapes pour démontrer le théorème de Gross-Zagier (1984 [G-Z] et
[Iwa]) grâce au résultat de Goldfeld (1977 [Iwa], [Oes], [Gol1])
Théorème 6.12 (Goldfeld)
S’il existe f ∈ Sk(N, χ) primitive, χ caractère central trivial telle que
(a) m := ord s= 1/2L(f, s)L(fχ, s) ≥ 3
(b) w(f)w(fχ) = (−1) g avec g = m − 1 ou m − 2
alors il existe une constante c > 0 calculable telle que pour tout discriminant dK < 0 d’un corps quadra-
tique imaginaire
h(dK) ≥ c
p|dK
> 1
1 + 1
−3
1 +
p
λ(p)√
p
(log(|dK|)
p + 1
g−1
Nous allons donc montrer que la forme primitive f que Gross et Zagier ont trouvée satisfait ces hypothèses.
Cette forme est la forme parabolique associée à la courbe elliptique de rang 3 :
Ils en ont déduit le théorème suivant (m = 3) :
Théorème 6.13
E : −139y 2 = x 3 + 10x 2 − 20x + 8
Il existe une constante c > 0 calculable telle que pour tout discriminant dK < 0 d’un corps quadratique
imaginaire K on ait
h(dK) ≥ c
1 − [2√
p]
log(−dK)
p + 1
p|dK
Preuve. (théorème) Soit dK le discriminant d’un corps quadratique imaginaire K. Nous allons considérer
deux cas :
– 37 décomposé dans K (ie χK(37) = 1 ou dK est un carré modulo 37)
– χK(37) = 1
44

Si 37 est décomposé dans K alors 37 = pp et p h(dK) est un idéal principal généré par (m + n √ dK)/2 avec
n = 0. Donc 37 h(dK) = (m 2 − ndK)/4 ≥ dK/4 ainsi
D’où le résultat dans ce cas.
h(dK) log(37) ≥ log(|dK|/4)
Sinon χK(37) = 1. Soit E0 la courbe elliptique de rang 0
E0 : y 2 = x 3 + 10x 2 − 20x + 8
On a ∆E0 = 212 .37 et jE = 4086000/37 donc cette courbe n’est pas minimale par le critère (7). Une courbe
associée minimale est
E ′ 0 : y 2 + y = x 3 + x 2 − 3x + 1
le changement de variable est (x, y) ↦→ (4x − 2, 8y + 4). Son discriminant est ∆E ′ 0
donc le conducteur de E0 vaut N0 = 37.
La forme primitive de poid 2 associée à E0 est
f0(τ) =
λ0(n)n 1/2 n
q ∈ S2(Γ0(37))
n≥1
= 37 qui est sans carré
elle vérifie L(E0, s) = L(f, s − 1/2). Donc le nombre de racine de f0 vaut ω(f0) = 1 (le rang de E0 vaut 0).
Nous étudions maintenant la courbe de torsion de E0
E : −139y 2 = x 3 + 10x 2 − 20x + 8
c’est une courbe elliptique de rang 3, de conducteur N = 37.1392 . La forme primitive de poid 2 associée à E
est f = f0 ⊗ χ−139 ∈ S2(Γ0(N)). On note λ(n) = λ0(n)χ−139(n) alors
f(τ) =
λ(n)n 1/2 n
q
n≥1
et ω(f) = χ−139(−1)ω(f0) = −1.
Nous montrons que cela implique que L(f, s) s’annule à l’ordre au moins 3 en s = 1/2. Mais l’ordre
d’annulation en s = 1/2 est impaire (car w(f) = −1) donc il suffit de montrer le lemme suivant :
Lemme 6.14
On a L ′ (f, 1/2) = 0.
Preuve. (Lemme) Dans cette démonstration, nous allons utiliser la formule de Gross-Zagier suivante (voir
[G-Z]) :
Proposition 6.15 (Formule de Gross-Zagier)
Soient E une courbe elliptique sur Q de conducteur N, f sa forme parabolique associée et L un corps
quadratique imaginaire. Posons LL(f, s) = L(f, s)L(f ⊗ χL, s) alors
LL(f, 1/2) = 0 et L ′ L(f, 1/2) =
8π2 f 2
|UL| 2 hE(yL)
deg(πE)|dL| 1/2
avec yL =
a πE(za) le point de Heegner d’un idéal n ⊂ OL tel que OL/n ∼ = Z/NZ (l’ensemble des n est
en bijection avec les solutions β telles que β 2 ≡ dK mod 4N, notée βn).
45

On va montrer que hE(yL) = 0 avec L = Q( √ −139). Le nombre de classes de L vaut hL = 3 et CL est
généré par a = [5, 1 + √ −139/2]. Soit n = (1 + w) avec w = (1 + √ −139)/2 alors OL/n ∼ = Z/37Z. On associe
à n
za = 151 + √ −139
, z−a =
370
−71 + √ −139
et zOL
370
= 3 + √ −139
74
avec za l’unique zb = (−B + √ dK)/(2A) pour b dans la classe de a tel que N0|A et B ≡ βn mod 2N0 (voir
§ 2.3.3). Par définition, le point de Heegner yL associé à n vaut
yK = πE0 (zOL ) + πE0 (za) + πE0 (z−a)
avec πE0 : X0(37) → E0 la paramétrisation modulaire (§ 4.3.3). Soit Λτ un réseau tel que E0(C) ∼ = C/Λτ , il
suffit de montrer que
πE0 (za) + πE0 (za) + πE0 (za) = 0 ∈ E(C)
Nous allons donc trouver une fonction elliptique g ∈ F(Λτ ) avec un pôle d’ordre 3 en 0 et des zéros d’ordre
1 en les πE0 (zb) et la formule (6) conclura.
Soit u définie sur X0(N0) par
u(z) = η(z)2
η(37z) 2
Par le q-développement de η (§ 4.4.3), on a u(z) = q−3 (1 + . . .), donc le seul pôle de u est d’ordre 3 en ∞.
De plus η est une forme modulaire de niveau 1 donc la substitution z ↦→ −1/z montre que u a un seul zéro
d’ordre 3 en 0.
Soit v(z) = u(z) − u(zOL ) alors aussi v a un seul pôle d’ordre 3 en ∞. Nous allons montrer que v a un
zéro simple en les trois points zOL , za, z−a, ce qui sera les seuls zéros car v doit avoir autant de zéros que de
pôles comptés avec multiplicité.
On a u(z) 12 = ∆(z)∆(37z) −1 avec ∆ la forme modulaire discriminant. Considérons le point zb ∈ h avec
b ∈ CL, on lui associe le couple (C/b, n−1b/b) (§ 4.3.2) car n−1b/b ∼ = 1/37Z/Z et NL/Q(n) = 37. Donc
∆(zb) = ∆(C/b) et ∆(37zb) = ∆(C/(n −1 b))
D’où u(z±a) 12 = u(zOL )12 (car ∆ ∈ M0(Γ0(1))).
On a u(zOL ) = 1 + w ∈ L donc par (12) de la multiplication complexe, on a
u(z±a) = u(zOL )(±a,HL/L) = u(zOL )
la dernière égalité est due au faite que u(zOL ) ∈ L. Ainsi v a un zéro simple en les trois points zOL , ±za.
Posons pour z ∈ E(C) ∼ = C/Λτ ,
g(z) =
v(z ′ )
πE 0 (z ′ )=z
Le produit est fini pour tout z ∈ E0(C). La fonction g est une fonction elliptique avec un pôle d’ordre 3 en
πE0 (∞) = 0 et des zéros d’ordre 1 en les πE0 (zb) avec b ∈ CL. Ainsi avec (6)
πE0(za) + πE0(za) + πE0(za) =
D’où hE0(yL) = 0.
En dérivant LL(f0, s), on a par la formule de Gross-Zagier
P ∈E0(C)
νP (g)(P ) = 0
L ′ L(f0, 1/2) = L(f0, 1/2)L ′ (f0 ⊗ χL, 1/2) + L ′ (f0, 1/2)L(f0 ⊗ χL, 1/2) = 0
On sait que f0 ⊗ χL = f et L(f0 ⊗ χL, 1/2) = L(f, 1/2) = 0. On a numériquement que L(f0, 1/2) = L(E, 1) ≈
0, 7256.... Ainsi L ′ (f0 ⊗ χL, 1/2) = L ′ (f, 1/2) = 0. D’où le résultat.
46

La forme primitive associée à f ⊗ χK ∈ S2(Γ0(Nd2 K )) est dans S2(M) avec M|Nd 2 K , on la note fχK . On
montre maintenant que l’ordre d’annulation de L(s) = L(f, s)L(fχK , s) en s = 1/2 vaut au moins 4 donc
que w(f)w(fχK ) = 1 (ie w(fχK ) = −1). Deux cas se présentent :
– Si 139 ∤ dK, alors M = Nd2 K car M = ppcm(N, d2K ). Ainsi
w(fχK ) = w(f0 ⊗ χ−139dK )
= χ−139D(−N1)µ(N2)λ0(N2) avec N1N2 = 37, ppcm(N1, D) = 1 et N2|D
χ−139D(−37) si N1 = 37 et N2 = 1
=
χ−139D(−37)λ0(37) si N1 = 1 et N2 = 37
= −w(f0) = −1
– si 139|dK. On écrit dK = −139C avec C premier avec dK (car dK est un discriminant sans carré). La
forme primitive de fχK = f0 ⊗ χ 2 −139dK ⊗ χC est f0 ⊗ χC ∈ S2(Γ0(M)) avec M = ppcm(37, C 2 ), on a
alors
w(fχK ) = χC(−N1)µ(N2)λ0(N2) avec N1N2 = 37, ppcm(N1, dK) = 1 et N2|D
χC(−37) si N1 = 37 et N2 = 1
=
λ0(37) si N1 = 1 et N2 = 37
= −1
Ainsi dans tous les cas w(fχK ) = −1. Alors la série L(s) = L(f, s)L(fχK , s) a un nombre de racine
w(f)w(fχK ) = 1. Ainsi l’ordre d’annulation de L(s) en s = 1/2 vaut au moins 4 car il est pair. Donc
on peut appliquer le théorème 6.12 avec g = 2. D’où le résultat.
6.5.1 Deuxième conjecture de Gauss
On va montrer qu’il existe un nombre fini de corps quadratiques imaginaires avec pour nombre de classes
h ≥ 1. On veut résoudre h(dK) = h avec dK le discriminant d’un corps quadratique imaginaire K. Pour
p > 11, on a (1 − [2 √ p])/(p + 1) ≥ 1/2. De plus, on sait qu’il existe 2t formes de genre avec t le nombre de
diviseurs premiers de dK. On en déduit alors que dK est divisible par au plus 2ν2(h) + 1 nombres premiers.
D’où
Ainsi
p|dK
1 − [2√
p]
p + 1
D’où l’on déduit la deuxième conjecture de Gauss
Théorème 6.16
≥
|dK| ≤ e 3.2ν 2 (h)+2 h/c
1
3.2 ν2(h)+2
Soit h ≥ 1, alors il existe un nombre fini de corps quadratiques imaginaires K tels que hK = h.
Dans [Oes], Oesterlé démontre que l’on peut prendre c = 1/7000. On a alors une majoration effective
pour tout dK < 0
|dK| ≤ e 21000.2ν 2 (h)+2 h
En appliquant cette formule pour h = 1, on a |dK| ≤ e84000 ce qui additionné avec la minoration de
Heilbronn et Linfoot [Sta2] (ie le dixième corps quadratique imaginiare de nombre de classes un s’il existe
vérifie |dK| > e2,2.107), montre qu’il n’y a que 9 corps quadratiques imaginaires.
47

Index
Application d’Artin, 6
Birch et Swinnerton-Dyer, 18
Conducteur
algebrique, 17
analytique, 27
caractère, 26
d’un ordre, 9
d’une extension, 7
forme parabolique, 25
local, 17
Corps de classes
d’anneaux, 9
de Hilbert, 8
de rayon, 7
modulo m, 7
Corps quadratiques, 8
imaginaires, 9
réels, 8
Courbe elliptique, 13
cubique cuspidale, 14
cubique nodale, 14
modulaire, 26
semi-stable, 26
Discriminant, 14, 27
Domaine fondamental, 19
Equation minimale, 17
Espace des modules, 26
Fonction
d’Eisenstein, 28
de Dedekind, 28
de Weber, 28, 32
de Weierstrass, 15
elliptique, 15
Forme
faible, 22
modulaire, 22
parabolique propre, 25
primitive, 25
quadratique, 9
Genre de X0(N), 21
Groupe d’inertie, 17
Groupe de Picard, 13
Groupe modulaire, 19
48
Hauteur, 14
Idéal
fractionnaire propre, 9
primitif, 9
réduit, 9
Invariant, 14
Invariant j, 28
Isogénie, 14
Jacobienne, 16, 22
Norme de Petersson, 25
Opérateur
de Hecke, 23
de Witt, 24
diamant, 23
Paramétrisation modulaire, 27
Période, 20, 21
Point elliptique, 20
Pointe
courbe modulaire, 20
Rang, 14
Réduction
additve, 17
multiplicative, 17
Riemann-Roch, 13
Série de Dirichlet
corps quadratique, 10
courbe ellipitique, 18
forme modulaire, 24
forme primitive, 25
Shimura-Taniyama-Weil, 26
Sous-groupe de congruences, 19

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