1 Théorème des catégories de Baire - Département de Mathématiques
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<strong>Département</strong> <strong>de</strong> <strong>Mathématiques</strong>. Année 2010-2011.<br />
Année M2- Approfondissement en Analyse.<br />
Autour <strong>de</strong> la notion <strong>de</strong> compacité<br />
1 <strong>Théorème</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>catégories</strong> <strong>de</strong> <strong>Baire</strong><br />
Un espace topologique X est un espace <strong>de</strong> <strong>Baire</strong> si toute intersection dénombrable d’ouverts <strong>de</strong>nses dans<br />
X est une partie <strong>de</strong>nse <strong>de</strong> X. Une partie Y d’un espace topologique X est dit <strong>de</strong> première catégorie si<br />
X Y contient une intersection d’ouverts <strong>de</strong>nse. Si X est un espace topologique, les sous-ensembles <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>uxième catégorie <strong>de</strong> <strong>Baire</strong> sont tous les sous-ensembles <strong>de</strong> X qui ne sont pas <strong>de</strong> première catégorie. Un<br />
espace topologique est donc <strong>de</strong> <strong>Baire</strong> si tout ouvert non-vi<strong>de</strong> est <strong>de</strong> <strong>de</strong>uxième catégorie. Ou encore, un espace<br />
topologique est <strong>de</strong> <strong>Baire</strong> si toute partie <strong>de</strong> première catégorie est d’intérieur vi<strong>de</strong>.<br />
Le théorème <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>catégories</strong> <strong>de</strong> <strong>Baire</strong> s’énonce alors <strong>de</strong> la façon suivante. Tout espace métrique complet est<br />
<strong>de</strong> <strong>Baire</strong>. Tout espace topologique localement compact est <strong>de</strong> <strong>Baire</strong>.<br />
Exercice 1.1. 1. Soit X un espace topologique séparé et a un point <strong>de</strong> X. Notons V(a) l’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
voisinages fermés <strong>de</strong> a. Montrer que <br />
V = {a} .<br />
V∈V(a)<br />
2. Soit X un espace compact (ce qui supposera toujours X séparé ici).<br />
a) Soit a ∈ X et V un voisinage <strong>de</strong> a. Soit K le complémentaire <strong>de</strong> ◦<br />
V dans X. Montrer que<br />
<br />
W∈V(a)<br />
W ∩K = ∅ .<br />
b) En déduire que tout point <strong>de</strong> X admet un système fondamental <strong>de</strong> voisinages compacts.<br />
c) En déduire que toute partie compacte Y ⊂ X admet un système fondamental <strong>de</strong> voisinages compacts.<br />
Remarque sur cet exercice. La propriété démontrée en b) prouve que tout point d’un espace compact<br />
admet un système fondamental <strong>de</strong> voisinages fermés, ce qui fait <strong>de</strong> X un espace topologique régulier. Enfin,<br />
en c) on prouve que toute partie fermée d’un espace compact X admet un système <strong>de</strong> voisinages fermés , ce<br />
qui fait <strong>de</strong> X un espace topologique normal.<br />
Exercice 1.2. En utilisant l’exercice précé<strong>de</strong>nt montrer les assertions suivantes.<br />
1. Dans un espace localement compact, toute partie compacte admet un système fondamental <strong>de</strong> voisinages<br />
compacts.<br />
2. Tout espace localement compact est régulier.<br />
Remarque. En général un espace localement compact n’est pas un espace normal.<br />
Exercice 1.3. Soit X un espace topologique (séparé) localement compact. Soit (On)n∈N une suite d’ouverts<br />
<strong>de</strong>nses dans X et O un ouvert non-vi<strong>de</strong> <strong>de</strong> X. On va démontrer que<br />
O∩ <br />
On = ∅ .<br />
n∈N<br />
1. En utilisant l’exercice précé<strong>de</strong>nt, construite une suite d’ouverts (Ωn)n∈N non-vi<strong><strong>de</strong>s</strong> et relativement compacts<br />
vérifiants les propriétés suivantes.<br />
2. Conclure.<br />
Ω0 ⊂ O, et Ωn+1 ⊂ Ωn ∩On .<br />
1
2 Compactifié d’Alexandroff d’un espace localement compact<br />
Etant donné un espace topologique localement compact X, on va construire un espace compact X ′ , unique<br />
à homéomorphisme près, en adjoignant à X un point à l’infini.<br />
Exercice 2.1. Soir X espace topologique localement compact muni <strong>de</strong> sa topologie T . Soit ω un ensemble<br />
n’appartenant pas à X. On pose X ′ := X ∪{ω} et on définit<br />
1. Montrer que T ′ définit bien une topologie sur X ′ .<br />
2. Montrer que X ′ est compact pour la topologie T ′ .<br />
T ′ := T ∪{X ′ K | K partie compacte <strong>de</strong> X} .<br />
On montre maintenant que X ′ est, à homéomorphsime près, l’unique espace compact tel que X soit homéomorphe<br />
au complémentaire d’un point ω ∈ X ′ .<br />
3. Soit X ′ 1 et X ′ 2 <strong>de</strong>ux espaces compacts et ω1 ∈ X ′ 1, ω2 ∈ X ′ 2. Soient h1 et h2 <strong><strong>de</strong>s</strong> homéomorphismes <strong>de</strong> X<br />
sur X1 := X ′ 1 {ω1} et X2 := X ′ 2 {ω2}.<br />
a) On définit l’application h : X ′ 1 → X ′ 2. Telle que h |X1 := h2◦h −1<br />
1 et h(ω1) = ω2. Montrer que h est continue<br />
en tout point <strong>de</strong> X1.<br />
b) Montrer que h est continue en ω1. Conclure.<br />
Application : compactification <strong>de</strong> R n . Dans l’espace R n+1 = R n × R on note (x1,...,xn,u) les coordonnées<br />
du point (x,u). On considère la sphère unité <strong>de</strong> R n+1 d’équation<br />
On note N := (0,1) ∈ S n le pôle nord <strong>de</strong> la sphère.<br />
4. Montrer que la projecion stéréographique<br />
est un homéomorphisme.<br />
5. En déduire le compactifié d’Alexandroff <strong>de</strong> R n .<br />
S n : x 2 1 +...x2 n +u2 = 1 .<br />
p : S n {N} → R n : (x,u) ↦→ x<br />
1−u<br />
Le compactifié d’Alexandroff permet une caractérisation simple <strong><strong>de</strong>s</strong> applications propres entre espaces localements<br />
compacts. Rappelons qu’une application continue f : X → Y définie sur un espace séparé X et à<br />
valeur dans un espace localement compact Y est dite propre si l’image réciproque par f <strong>de</strong> tout compact <strong>de</strong><br />
Y est une partie compacte <strong>de</strong> X. On dit également <strong>de</strong> f qu’elle est fermée si l’image directe <strong>de</strong> tout fermé<br />
<strong>de</strong> X est une partie fermée <strong>de</strong> Y .<br />
Exercice 2.2. Soit X un espace séparé et Y un espace localement compact. Soit f : X → Y une application<br />
propre et F une partie fermée <strong>de</strong> X.<br />
1. Soit V un voisinage compact <strong>de</strong> a ∈ f(F) et W = f −1 (V). Montrer qu’alors f(W ∩F) = V ∩f(F).<br />
2. Montrer que tout voisinage <strong>de</strong> a rencontre V ∩f(F).<br />
3. En déduire que f est une application fermée.<br />
Exercice 2.3. SoientX1 etX2 <strong><strong>de</strong>s</strong> espaces localement compacts. On noteX ′ 1 := X1∪{ω1} etX ′ 2 := X2∪{ω2}<br />
leurs compactifiés d’Alexandroff. Montrer qu’une application f : X1 → X2 est propre si et seulement si le<br />
prolongement ˜ f : X ′ 1 → X ′ 2 défini par ˜ f(ω1) = ω2 est continu au point ω1.<br />
3 <strong>Théorème</strong> d’Urysohn et cube <strong>de</strong> Hilbert<br />
On rappelle qu’un espace séparé est dit normal si toute partie fermée admet un système fondamental <strong>de</strong><br />
voisinages fermés. On a vu que les espaces compacts sont normaux.<br />
Exercice 3.1. Soit X un espace topologique normal. Soient A et B <strong>de</strong>ux fermés disjoints dans X. On note<br />
D l’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong> nombres dyadiques <strong>de</strong> l’intervalle [0,1]. On écrit cette ensemble comme la réunion <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
ensembles disjoints suivants.<br />
<br />
1 1 3<br />
D0 = {0,1}, D1 = , D2 = ,<br />
2 4 4<br />
2
et pour tout n ≥ 3 :<br />
On pose O(1) = X B.<br />
Dn =<br />
1. Prouver l’existence d’un ouvert O(0) tel que<br />
2. Prouver l’existence d’un ouvert O( 1<br />
2 ) vérifiant :<br />
<br />
2k +1<br />
2n | 0 < 2k +1 < 2 n<br />
<br />
.<br />
A ⊂ O(0) ⊂ O(0) ⊂ O(1) .<br />
O(0) ⊂ O( 1<br />
) ⊂ O(1)<br />
⊂ O(1) .<br />
2 2<br />
3. En déduire l’existence d’une famille d’ouverts (O(t) <br />
telle que :<br />
t∈D<br />
A ⊂ O(0), O(1) ⊂ X B, O(t) ⊂ O(t ′ ), pour t < t ′ dans D .<br />
4. Montrer que les fonctions<br />
<br />
f := sup 1−t)χO(t)<br />
t∈D<br />
<br />
et g := inf (1−t+tχO(t)<br />
t∈D<br />
sont respectivement semi-continues inférieurement et supérieurement. Montrer que f |A = 1 et f |B = 0.<br />
5. Montrer que f ≤ g.<br />
6. Montrer, en raisonnant par l’absur<strong>de</strong>, que f = g.<br />
7. En déduire l’existence d’une fonction continue f := X → [0,1] telle que f |A = 1 et f |B = 0. Cela démontre<br />
le théorème d’Urysohn.<br />
Ce théorème va nous permettre <strong>de</strong> prouver que tout espace normal à base <strong>de</strong> topologie dénombrable est<br />
homéomorphe à un sous-espace d’un espace compact.<br />
Exercice 3.2. Soit X un normal à base <strong>de</strong> topologie dénombrable (Bn)n∈N. Notons D := {(n,m) ∈ N 2 |<br />
Bn ⊂ Bm}<br />
1. Prouver l’existence d’une fonction continue f : X → [0,1] D telle que pour tout (n,m) ∈ D, fn,m |Bn = 0<br />
et fn,m |XBm = 1.<br />
2. Soient x = y dans X. Montrer que f(x) = f(y).<br />
3. En utilisant le fait que [0,1] D est métrisable, montrer que l’application f −1 : f(X) → X est continue.<br />
4. En déduire que f est un homéomorphisme.<br />
Enfin, on démontre une version du théorème d’Urysohn dans le cas d’espace à priori non normaux, les espaces<br />
localement compacts, en utilisant la compactification d’Alexandroff.<br />
Exercice 3.3. Soit X un espace localement compact. Soient A une partie compacte et B une partie fermée<br />
sans point commun avec A. On note X ′ := X ∪{ω} le compactifié dAlexandroff <strong>de</strong> X.<br />
1. Montrer que B ∪{ω} est fermée dans X ′ .<br />
2. Prouver l’existence d’une fonction continue f : X → [0,1] telle que f |A = 1 et f |B = 0.<br />
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