Algèbre engendrée par une matrice carrée

Sommaire
Algèbre engendrée par une matrice carrée
J. Parizet ∗
1 Cas d’une matrice A nilpotente d’ordre p 1
1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Conséquences algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Cas général 4
2.1 Préliminaires algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Limite éventuelle de A k pour k infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Diagonalisation, Jordanisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.1 Lorsque les zéros du polynôme minimal de A sont simples . . . . . . . . . 6
2.4.2 Lorsque les zéros du polynôme minimal ne sont pas tous simples . . . . . 7
3 Fonction de A à valeur dans son algèbre 8
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Fonction e tA 10
4.1 Propriétés de e tA et système différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Expression de e tA dans la base (I, A, A 2 , . . . , A p−1 ) de l’algèbre . . . . . . . . . . 11
4.3 Equation différentielle linéaire à cœfficients constants avec second membre . . . . 12
4.4 Études particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
L’étude de l’algèbre engendrée par une matice carrée, algèbre commutative de dimension finie, permet de
traiter simplement diverses questions d’algèbre, de géométrie et d’analyse, en faisant intervenir selon les cas sa
base formée de la matrice unité I et des puissances successives de la matrice ou une base définie à partir de son
polynôme minimal.
Soit A une matrice (réelle ou complexe) d’ordre n et I la matrice unité de même ordre.
Considérons d’abord un cas simple donnant l’idée de la démarche suivie en rendant naturel le
cas général.
1 Cas d’une matrice A nilpotente d’ordre p
Il s’agit d’une matrice dont le polynôme caractéristique a un seul zéro (multiple d’ordre n)
et donc de polynôme minimal M de la forme (X − λ) p .
En écrivant
∗ 14920 Mathieu
A = λI + (A − λI) (1)
1

il vient en utilisant la formule du binôme et tenant compte du caractère nilpotent de A − λI :
∀n ∈ N : A n = λ n I + C 1 nλ n−1 (A − λI) + C 2 nλ n−2 (A − λI) 2 + · · · + C p−1
n λ n−p+1 (A − λI) p−1 . (2)
f étant une fonction analytique au voisinage de λ , il est naturel de poser
f(A) = f(λ) I +
p−1
j=1
f (j) (λ)
j!
(A − λI) j
En effet :
• Si f est un polynôme P de degré q, on retrouve P(A), à rapprocher de la formule de Taylor en
λ pour P
P(X) = P(λ) + P ′ (λ)(X − λ)) + · · · + (P q (λ)/q!) (X − λ) q
l’expression correspondante de f(A) étant tronquée si pq.
• f étant analytique : f(x) = limq∞ Sq(x) où Sq(x) = q k=0 f (k) (λ)(x − λ) k /k!. Pour q > p − 1
les Sq(A) restent égaux à Sp−1(A) qui est donc la limite f(A) pour q infini.
Convenons de prendre la relation (3) pour définir, f étant une fonction numérique de classe
Cp−1 en λ, la matrice f(A) élément de l’algèbre Alg(A) engendrée par A.
1.1 Propriétés
f, g étant analytiques en λ et h en f(λ) :
(f + g)(A) = f(A) + g(A) , (f.g)(A) = f(A).g(A) , (h ◦ f)(A) = h(f(A)) (4)
Les deux premières sont évidentes. Quant à la troisième, posons B=f(A) : B−f(λ)I est nilpotente
d’ordre au plus p et
h(B) = h(f(λ)) I +
p−1
j=1
h (j) (f(λ))
j!
((B − h(f(λ)I) j
f (j) (λ)
et en remplaçant B − f(λ)I (et ses puissances) par p−1 j=1 j! (A − λI) j élevé aux puissances
qui interviennent, on s’aperçoit que (h ◦ f)(A) s’obtient à partir du polynôme de degré p-1
au plus défini comme partie principale du développement limité d’ordre (p-1) provenant de la
composition des développements limités d’ordre (p − 1) de f et h aux voisinages respectifs de λ
et f(λ).
Exemples
1. Avec la fonction exponentielle x → f(x) = e tx :
e tA = e tλ I + te tλ (A − λI) + t2
2 etλ (A − λI) 2 + · · · + tp−1
(p − 1)! etλ (A − λI) p−1
A partir de A(A − λI) k = (A − λI) k+1) + λ(A − λI) k on vérifie
d
dt (etA ) = Ae tA
Remarquons qu’en écrivant e tA = e tλI e t(A−tλI) on obtient le produit de e tλI = e tλ I par la série
de Neumann tronquée de A − λI.
2. Supposons λ = 0 et pour simplifier λ > 0 : on obtient avec la fonction logarithme la matrice
Log(A) car vérifiant e Log(A) = A puisque exp ◦ ln=id. Explicitons pour p=3 :
Log(A) = ln λI + 1
1
(A − λI) − (A − λI)2
λ λ2 2
(3)

et vérifions en considérant, B étant cette dernière
(B − ln λI) 2 = 0 ⇒ e B ln
= e
λ
I + (B − ln λI) + (B − ln λI) 2
/2
soit
e B
= λ I +
1
λ
1
(A − λI) − (A − λI)2
λ2 + 1
(A − λI)2 = A
λ2 3. Supposons λ strictement positif et encore p=3. On peut poser avec x → √ x
et on vérifie : ( √ A) 2 = A.
√ A = √ λI + 1
1.2 Conséquences algébriques
2 √ λ
Bases de l’algèbre engendrée par A
1
(A − λI) −
4 √ (A − λI)2
λ3 Le polynôme minimal de A étant de degré p, l’algèbre Alg(A) est de dimension p, car si P
est le polynôme correspondant à un élément de cette algèbre, R étant le reste dans la division
euclidienne de P par le polynôme minimal M de A, alors P(A)=R(A).
Ainsi B = (I, A, A 2 , · · · , A p−1 ) est base de l’algèbre.
Et B ′ = (I, A − λI, (A − λI) 2 , · · · , (A − λI) p−1 ) en est une autre.
Base de Jordan de l’endomorphisme dont A la matrice
La matrice A est celle d’un endomorphisme ϕ de R n . ɛ étant l’identité sur R n : (ϕ−ɛ) p = 0,
et la matrice (A − λI) k pour k ∈ N est celle de (ϕ − ɛ) k .
Notons ck r le vecteur de Rn dont les composantes sont les cœfficients de la r-ième colonne de
(A − λI) k ; ainsi ck r = (ϕ − ɛ)ck−1 r . Notons aussi Vk le sous-espace engendré par les (ck 1 , · · · , ckn) correspondant aux colonnes de (A − λI) k : Vk = Im(ϕ − ɛ) k . Puisque Vp = {0}, les vecteurs non
nuls de Vp−1 sont des vecteurs propres pour la valeur propre λ. Remarquons aussi que Vk+1 ⊂ Vk.
On recherche une base de Rn où ϕ s’exprime matriciellement de manière la plus simple.
1. Supposons A nilpotente d’ordre maximum n. (A − λI) n−1 n’étant pas nulle, soit cn r0 correspondant
à l’une de ses colonnes non nulle et (cn r0 , cn−1 r0 , · · · , c0 r0 ) la chaîne d’origine cnr0 formée
des vecteurs correspondant aux colonnes de même rang des matrices (A − λI) k . On vérifie qu’ils
forment un système libre, donc une base de l’espace et que ϕ s’y exprime par la matrice où les
termes diagonaux sont λ, ceux du dessus des 1 et les autres nuls (matrice de Jordan).
Exemple 1
A =
⎛
⎜
⎝
9 −3 3 2
13 −4 5 4
−6 2 −1 −1
⎞
⎟
⎠
, det(A − λ) = (λ − 2)4
6 −3 2 4
⎛
7
⎜
A−2I = ⎜ 13
⎝ −6
−3
−6
2
3
5
−3
⎞
2
4 ⎟
−1 ⎠
6 −3 2 2
, (A−2I)2 ⎛
4
⎜
= ⎜ 7
⎝ −4
−3
−5
3
1
2
−1
3
5
−3
⎞
⎟
⎠
3 −2 1 2
, (A−2I)3 ⎛
1
⎜
= ⎜ 2
⎝ −1
−1
−2
1
0
0
0
⎞
1
2 ⎟
−1 ⎠
1 −1 0 1
Avec c 4 ⎛ ⎞
1
⎛
1 4 7
⎞
1
⎜
1 = ⎜ 2 ⎟ ⎜
⎟
⎝ −1 ⎠ : S = ⎜ 2
⎝ −1
7
−4
13
−6
0 ⎟
0 ⎠
1
1 3 6 0
et S−1 ⎛
2 1 0
⎞
0
⎜
A S = ⎜ 0
⎝ 0
2
0
1
2
0 ⎟
1 ⎠
0 0 0 2
2. A étant nilpotente d’ordre p

de ces chaînes forme un système libre S1. Puis on considère dans Vp−2 des vecteurs propres (c p−2
r )
qui forment avec des vecteurs de S1 une base de Vp−1 ; pour chacun des c p−2
r , soit c p−2
r ′ , on peut
écrire dans Vp−1
c p−1
r ′ =
−
α i c p−2
i
i
α i c p−1
i , avec c p−1
i ∈ S1 et on pose : c p−2
r ′ = c p−2
r ′
Par construction (ϕ − ɛ)(c p−2
) = 0 : c’est un vecteur propre, et chacun des c p−2
est à l’origine
r ′
r
d’une chaîne. Ces chaînes jointes à S1 donnent un nouveau système libre. Si besoin est, on poursuit
en considérant une base analogue de V p−3 en complétant les vecteurs du dernier système qui s’y
trouvent par des vecteurs propres obtenus comme dans le cas précédent . . .
Exemple 2
⎛
c 1 1 c 1 2 c 1 3 c 1 4
7 −3 3 2
13 −6 5 4
⎞
A =
⎜
⎝ −7 3 −3
⎟
−2 ⎠
6 −3 2 2
, det (A − λI) = λ4 , A 2 =
⎛
c 2 1 c 2 2 c 2 3 c 2 4
1 0 1 0
2 0 2 0
i
⎞
⎜
⎝ −1 0 −1
⎟
0 ⎠
1 0 1 0
et A3 = 0
Partons de c2 3 et de la chaîne (c23 , c13 , c03 ) qui avec c01 forme un système libre. Or c11 = (ϕ − ɛ)(c01 )
s’écrit
c1 1 = 4c23 + c13 : on remplace c01 par c01 = c01 − 4c13 − c03 , dont l’image par ϕ − ɛ est nulle, pour
terminer la base cherchée et on vérifie
S = c2 3 c1 3 c0 3 c0 ⎛
1 3 0
⎞
−11
1
⎜
= ⎜ 2
⎝ −1
5
−3
0
1
−20 ⎟
11 ⎠
1 2 0 −8
, S−1 ⎛
0 1 0
⎞
0
⎜
A S = ⎜ 0
⎝ 0
0
0
1
0
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 0
2 Cas général
Soit maintenant A une matrice d’ordre n réelle (ou complexe). Selon le théorème de Cayley-
Hamilton, elle annule son polynôme caractétistique, qui est multiple de son polynôme minimal
M, avec les mêmes zéros. Supposons ce dernier de la forme :
M =
(X − λi) pi , 1 i r (5)
avec
i pi = p n, p degré de M.
i
Pour étudier l’algèbre engendrée par A, partons de la décomposition de la fraction rationnelle
1/M :
1 Pi
=
M (X − λi) pi
(6)
où Pi est un polynôme de degré au plus pi − 1.
2.1 Préliminaires algébriques
i
Notons Qi le quotient de M par (X − λi) pi , qi la fonction inverse de Qi : qi(x) = 1/Qi(x),
πλi le produit PiQi et νλi le produit (X − λi)πλi .
On sait que Pi peut s’exprimer à l’aide de qi selon
Pi = qi(λi) + q ′ i (λi)(X − λi) + · · · + q(pi−1)
i (λi)
(pi−1)
(X − λi)
(pi − 1)!
4

car la fonction rationnelle
1
M(x) −
Pi
= pi (x − λi)
1
(x − λi) pi
qi(x) − Pi(x)
a une limite lorsque x → λi , donc 1/M − Pi/(X − λi) pi n’a pas λi pour pôle.
I étant la matrice unité d’ordre n, puisque 1 =
πλi i :
I =
(A) (7)
On en déduit :
i
πλi
A =
πλi (A)[λi I + (A − λi I)] soit
[λi πλi (A) + νλi (A)] (8)
i
M étant le polynôme minimal de A, on vérifie les relations (la première en multipliant les
deux membres de (7) par πλj (A) et les autres en tenant compte du polynôme minimal) :
π2 (A) = πλj (A)
λj (9)
pour λi = λj : πλi (A)πλj (A) = 0, νλi (A)νλj (A) = 0
On en déduit
pour k naturel : ν k λi (A) = (A − λi) k πλi (A) pour k < pi, nulle pour pi k.
Bases de Alg(A)
Le polynôme minimal étant de degré p
B = (I, A, A 2 , . . . , A p ) est une base de Al(A)
Or, selon (8) et (9) et la formule du binôme
∀k ∈ N : A k =
πλi (A)
λ k pi−1
i I +
i
j=1
Ainsi les éléments de B s’expriment à l’aide des matrices
i
C j n λ k−j
i
(πλi (A) , νλh i (A) |1 i r, 0 < hi pi
(A − λi) j
éléments de Alg(A) en nombre p, qui forment donc une base B ′ de l’algèbre. Cette base est très
utile, comme l’on voit pour commencer dans le cas suivant.
2.2 Limite éventuelle de A k pour k infini
Soit A une matrice carrée dont un est zéro simple du polynôme minimal, les autres zéros
étant de module (ou valeur absolue) strictement inférieurs à un.
lorsque k → ∞ : A k → Q(A)
Q(1)
où Q est le quotient du polynôme minimal de A par X − 1.
(C’est par exemple le cas des matrices stochastiques à cœfficients positifs).
Car avec les notations précédentes, λ1 = 1, p1 = 1 et puisque pour i = 2, . . . , pr : |λi| < 1,
→ 0 lorsque k → ∞ et
A k → πλ1 (A)
donc λ k i
Mais M = (X − 1)Q1 et P1 = Q1
Q1(1) d’où π1(A) = Q1(A)
Q1(1) et on conclut pour limk∞ A k .
5
(10)

Exemple
Soit la suite (un) définie par la donnée de (u0 , u1 , u2) et la relation de récurrence
un+1 = un + un−1 + un−2
3
Quelle est sa limite pour n infini ?
Opérons matriciellement en posant, dans R3 ,
⎛ ⎞
Xn = ⎝
un
un−1
un−2
⎛
⎠ , Xn+1 = A Xn avec A = ⎝
1/3 1/3 1/3
1 0 0
0 1 0
Le polynôme caractéristique de A (qui est son polynôme minimal) étant
Pc = (X − 1)(X 2 + 2X/3 + 1/3)
les valeurs propres de A sont 1 et (−1 ± i √ 2)/3 ( de module 1/ √ 3) d’où
lim A
n∞ n = 3A2 + 2A + I
=
6
1
⎛
3
⎝ 3
6
3
2
2
2
⎞
1
1 ⎠ ,
1
lim Xn = lim A
n∞ n∞ n . X0
d’où
2.3 Interprétation géométrique
lim un =
n∞ 3u2 + 2u1 + u0
6
A et I représentant (dans la base canonique) un endomorphisme ϕ de Rn et l’identité ɛ, notons
E(λi) le sous-espace de Rn image de πλi (ϕ) qui est aussi le noyau de (ϕ − ɛ)pi (les polynômes πλi
et (X − λi) λi étant premiers entre eux). Ce sous-espace est appelé le sous-espace caractéristique
de A pour sa valeur propre λi.
La relation (7) et les relations (9) montrent que
R n =
E(λi) , πλi (ϕ) projection sur E(λi) dans cette somme directe.
i
On peut remarquer que chaque E(λi) est stable par ϕ.
La relation (8) peut s’écrire
A = D + N, D =
(A) diagonalisable, N =
i
λi πλi
i
νλi
⎞
⎠
(A) nilpotente (11)
car
• D est diagonalisable puisque πλi (A) est la matrice de projection, dans Rn , dans le sous-espace
caractéristique pour la valeur propre λi de l’endomorphisme ϕ dont A est la matrice dans la base
canonique , projection dans la direction de la somme des autres sous-espaces caractéristiques,
• et N est nilpotente d’indice le plus grand des pi.
Enfin D et N appartenant à Alg(A) commutative commutent : c’est le théorème de Dunford.
2.4 Diagonalisation, Jordanisation
2.4.1 Lorsque les zéros du polynôme minimal de A sont simples
Dans ce cas
A =
n
λi πλi (A) , Rn =
i=1
6
n
i=1
E(λi)

Puisque πλi (A)(A − λiI) = 0 ou A .πλi = πλi (A).A = λiπλi (A), la restriction de ϕ à E(λi) est
l’homothétie de rapport λi : ce sous-espace caractéristique est sous-espace propre pour la valeur
propre λi. Les colonnes non nulles de πλi (A) , qui est Qi(A)/Qi(λi) ont pour cœfficients les
composantes de vecteurs propres qui engendrent E(λi). Il convient d’en extraire une base b(λi)
pour préciser ce sous-espace.
La matrice S = (b(λ1), . . . , b(λr)) de colonnes celles que l’on vient de définir est une matrice
de passage et A ′ = S −1 A S exprimant ϕ dans cette nouvelle base est diagonale. Puisque
πλi (A′ ) = S −1 πλi (A) S, on voit que la dimension de E(λi) est la multiplicité du zéro λi du
polynôme caractéristique.
Exemple
Soit
A + 3I =
A =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0 1 1 1
1 0 −1 −1
1 −1 0 −1
1 −1 −1 0
c1 c2 c3 c4
3 1 1 1
⎞
⎞
⎟
⎠ , Pc = (X − 1) 3 (X + 3) , M = (X − 1)(X + 3)
⎛
1
1
3
−1
−1
3
−1 ⎟
−1 ⎠ ,
⎜
A − I = ⎜
⎝
1 −1 −1 3
−1 1 1 1
1 −1 −1 −1
1 −1 −1 −1
1 −1 −1 −1
⎞
⎟
⎠ , S =
en prenant pour simplifier comme colonnes de S à partir de celles de A + 3I :
et la dernière colonne de A − I. On vérifie
S −1 ⎛
1 0 0
⎞
0
⎜
A S = ⎜ 0
⎝ 0
1
0
0
1
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 −3
2.4.2 Lorsque les zéros du polynôme minimal ne sont pas tous simples
⎛
⎜
⎝
1 1 1 −1
1 0 0 −1
0 1 0 1
0 0 1 1
⎞
⎟
⎠
c1+c2
4 , c1+c3
4 , c1+c4
4
Puisque pour tout i : (A − λi) piπλi (A) = 0, la restriction ϕi de ϕ à E(λi), qui est un endomorphisme
de ce sous-espace, vérifie : (ϕi − λi ɛ) pi = 0.
On est dans ce sous-espace dans la situation du cas particulier initial étudié en (§1) : πλi (A)
jouant le rôle de I et les νk λi (A) ceux des (A − λi) k . De manière analogue, posons
Vk(λi) = Ker νk (ϕ − λiɛ).
λi
Afin d’obtenir une base où ϕ s’exprime simplement, on peut opérer comme au (§1) :
pour chaque λi,
• à partir d’une base de V (pi−1)(λi) correspondant à des colonnes de ν (pi−1)
(A) (qui sont des vec-
λi
teurs propres pour ϕ) on construit, avec les colonnes de mêmes rangs des νk (A), les chaînes d’ori-
λi
gines ces vecteurs et d’extrémités dans E(λi), dont l’ensemble forme un système libre S (pi−1)(λi),
• puis on complète à l’aide de colonnes de ν pi−2
(A) les vecteurs du système précédents qui s’y
λi
trouvent en une base de Vpi−2(λi) ; à ces vecteurs on ajoute éventuellement une combinaison
linéaire de vecteurs du système (obtenue en exprimant leur image par ϕ − ɛ dans la base précédente)
afin d’avoir des vecteurs propres qui sont à l’origine de nouvelles chaînes. Ces chaînes
ajoutées à S (pi−1)(λi) forment un nouveau système libre,
• et on continue autant qu’il est possible dans Vpi−3(λi), Vpi−4(λi),...,E(λi).
Les origines des chaînes précédentes situées dans E(λi) forment une base du sous-espace
propres pour la valeur propre λi.
Et on considère un autre E(λi) ...
On obtient ainsi une nouvelle base (B) dont la matrice de passage S (donnant les vecteurs
de la base canonique à partir de (B)) transforme A en A ′ = S−1 A S semblable, expression de ϕ
7

dans (B) sous forme de matrice de Jordan.
Puisque πλi (A′ ) = S−1 πλi (A) S, on vérifie immédiatement que l’ordre de multiplicité du zéro λi
du polynôme caractéristique de A est le rang de πλi (A) – c’est à dire la dimension de E(λi).
Exemple
En petites dimensions, l’obtention de S est aisée, une fois trouvés les πλi et νλi . Considérons
⎛
6 −4
⎞
4
A = ⎝ 1 2 −8 ⎠ , det(A − λI) = −(λ − 1)(λ − 4)
0 0 1
2 , M = Pc
π1(A) , π4(A) et ν4(A) se déduisent de la décomposition en fraction rationnelle de 1/M où interviennent
les fonctions x → 1/x − 1 et x → 1/x − 4, d’où
et
π1(A) =
En explicitant
⎛
1 1
=
(x − 1)(x − 4) 2 9
π1(A) = ⎝
(A − 4I)2
9
, π4(A) =
0 0 28/9
0 0 44/9
0 0 1
⎞
1
x − 1 +
1
3
(A − I)(7I − A)
9
⎠ , π4(A) = ⎝
x − 4
−
9
⎛
1
(x − 4)
1 1 1 7 − x
soit + 2 9 x − 1 9 (x − 4) 2
, ν4(A) = π4(A).(A − 4I)
9
1 0 −28/9
0 1 −44/9
0 0 0
⎞
⎠ , ν4(A) = ⎝
(A − I)(A − 4I)
soit
3
⎛
2 −4 40/3
1 −2 20/3
0 0 0
Construisons S à partir des premières colonnes de ν4(A) et de π4(A) auxquelles on ajoute la
dernière de π1(A) multipliée par 4 pour simplifier :
⎛
S = ⎝
2 1 28
1 0 44
0 1 9
⎞
⎛
⎠ ⇒ S −1 .A.S = ⎝
3 Fonction de A à valeur dans son algèbre
3.1 Définition
4 1 0
0 4 0
0 0 1
f étant une fonction numérique de classe (pi − 1) en chaque λi, posons comme en §1
ou encore
f(A) =
πλi (A)
f(λi) I +
f(A) =
i
i
f(λi) πλi
pi−1
j=1
pi−1
(A) +
j=1
f (j) (λi)
j!
f (j) (λi)
j!
⎞
⎠
(A − λi I) j
ν j
λi (A)
Lorsque f est un polynôme P , on retrouve la matrice P (A). Et comme précédemment on
retrouve le passage à la limite lorsque f est développable en série entière dont le disque de
convergence contient le spectre de A en son intérieure, le passage à la limite se faisant selon les
composantes dans la base (πλi (A) , νk (A)) de l’algèbre.
λi
8
⎞
⎠
(12)

Exemple
Définissons la racine carrée de la matrice A précédente1 , avec les valeurs en 1 et 4 de x → √ x
et de sa dérivée en 4, par
√
A = π1(A) + 2 π4(A) + 1
4 ν4(A)
⎛
⎞
5/2 −1 2/9
soit ⎝ 1/4 3/2 −23/9 ⎠
0 0 1
et on vérifie par un calcul dans l’algèbre que le carré de √ A est bien A. C’est une illustration
très simple de la troisième propriété suivante.
3.2 Propriétés
Avec les mêmes notations que dans le §1.1, on a les mêmes propriétés : les fonctions numériques
f, g étant analytiques en les points (λi) ainsi que h en les points (f(λi)) :
⎧
⎨ (f + g)(A) = f(A) + g(A)
(f g)(A)
⎩
(h ◦ f)(A)
=
=
f(A) g(A)
h(f(A))
La première relation est évidente. Quant aux deux autres, on les vérifie soit comme en §1 par
un calcul identique à celui conduisant aux propriétés analogues des développements limités, soit
en se plaçant dans chaque sous-espace caractéristique de ϕ, la matrice de la restriction de ϕ y
étant semblable à une matrice réduite de Jordan : compte-tenu de l’unicité de la décomposition
de Dunford, on vérifie que πf(λi)(f(A)) est la somme des πλk (A) pour tous les λk prenant en f
la même valeur que λi et νf(λi)(f(A) la somme correspondante des combinaisons des puissances
de νλk (A) figurant dans l’expression de f(A).
Lorsque f et h sont réciproques on arrive naturellement à (h ◦ f)(A) = A.
Exemple de la rotation dans R 3 euclidien orienté
On sait, via le produit vectoriel par n unitaire correspondant à la matrice antisymétrique Ω,
que dans cet espace la rotation d’axe dirigé par n et d’angle θ s’exprime par la matrice
(Ω matrice de x ↦→ n ∧ x) R = I + sin θ Ω + (1 − cos θ) Ω 2
de polynôme caractéristique P = (X − 1)(X 2 − 2 cos θ X + 1).
•Si R n’est pas un demi-tour c’est-à-dire θ = π (2π) : dans ce cas P est le polynôme minimal de R.
d’où
Décomposons la fraction rationnelle :
1
P =
a
(X − 1) +
b
(X − e iθ ) +
b
(X − e−iθ , a =
)
1
2 − 2 cos θ
, b =
1
2i sin θ(e iθ − e −iθ )
π1(R) = a(R 2 − 2 cos θ R + I) , π e iθ(R) = b(R − I)(R − e −iθ I) , π e −iθ(R) = Π e iθ(R)
Avec la fonction logarithme :
Log(R) = iθ Π e iθ(R) − iθ Π e −iθ(R) soit
θ
(R − I)[(2 cos θ + 1)I − R]
2 sin θ
1 que l’on peut appeler détermination principale de cette racine carrée, les valeurs propres positives ayant deux
"racines carrées" opposées.
9

Or en exprimant R à l’aide de Ω :
(R − I)[(2 cos θ + 1)I − R] = 2 sin θ Ω
d’où finalement Log(R) = θ Ω. On vérifie à partir de Ω 3 = −Ω que exp(Log(R)) = R .
•Si R est un demi-tour D : la matrice du demi-tour s’exprime alors à l’aide de Ω selon :
D = I + 2 Ω 2
La relation précédente est valable pour θ = π car exp(πΩ) = I + 2 Ω 2
Mais ce cas est très singulier car, le polynôme minimal de cette matrice de demi-tour étant
M = X 2 − 1 alors
d’où
1
M =
1
2(X − 1) −
1
2(X + 1) , π1(D) =
D + I
2
Log(D) = iπ Π−1(D) = −iπ Ω 2
, π−1(D) =
I − D
2
expression différente de Log(D) = π Ω
Cette particularité du demi-tour intervient dans la remarque de Cayley : pour une rotation qui
n’est pas un demi-tour
(R − I) (R + I) −1 = tg θ
2 Ω
ce que l’on vérifie en utilisant la fonction
f(x) =
x − 1
x + 1
avec f(e iθ ) = eiθ − 1
e iθ + 1
= i tg θ
2 .
Le demi-tour appartient à deux groupes à un paramètre :
{etΩ , t ∈ R} et {eitΩ2, t ∈ R}
Terminons par une étude de etA , en retrouvant des résultats connus.
4 Fonction e tA
Cette fonction intervient dans la résolution du système différentiel écrit matriciellement selon
dX
dt
= A X pour la condition initiale
t0 = 0 , X0
Vérifions qu’elle est donnée par X(t) = e tA .X0 où e tA est définie comme précédemment.
4.1 Propriétés de e tA et système différentiel
Avec les notations utilisées en utilisant (12) et la fonction x → e tx :
e tA =
πλi (A)
e λi t
I +
• Sa dérivée est d(e tA )/dt = A.e tA car
1. d’une part
2. d’autre part
i
pi−1
j=1
t j
j! eλi t (A − λi I) j
d
tj dt j! eλi t
= tj−1
(j − 1)! eλi t t
+ j
j! λie λi t
A(A − λiI) = (A − λi) 2 + λi(A − λiI)
10
(13)
(14)

et on obtient le résultat en réordonnant les termes en (A − λiI) j et tenant compte de
πλiI(A)(A − λiI) pi = 0 puisque λi est zéro d’ordre pi du polynôme minimal.
• {etA , t ∈ R} est un groupe commutatif isomorphe au groupe additif (R , +) :
en considérant dans les expressions de etA et euA les crochets dont πλi (A) est facteur, tout revient
à ne garder dans le résultat du produit
e λi t pi−1 t
I +
j=1
j
j! (A − λi I) j
× e λi u pi−1 u
I +
j=1
j
j! (A − λi I) j
que les termes en (A−λiI) de degré au plus pi−1. Tout se passe comme si on effectuait le produit
des sommes d’ordre pi − 1 des séries e t.k et e u.k , la somme d’ordre pi − 1 conservée étant celle
de la série e (t+u)k , et en remplaçant k par (A − λiI) : c’est naturel s’agissant de la fonction
exponentielle et la série de Neumann est tronquée dans la base utilisée de l’algèbre.
4.2 Expression de e tA dans la base (I, A, A 2 , . . . , A p−1 ) de l’algèbre
A priori e tA s’écrit dans cette base
e tA = ϕ0(t)I + ϕ1(t)A + ϕ2(t)A 2 + . . . + ϕk(t)A k + . . . + ϕp−1(t)A p1
Les fonctions (ϕi) étant C ∞ . On peut les caractériser selon
Les ϕk sont les solutions de l’équation différentielle à cœfficients constants EM
sans second membre de polynôme caractéristique M,
vérifiant les conditions initiales ϕh k (0) = δh k (symboles de Kronecker).
En effet
• En prenant à l’origine la dérivée h-ième de e tA
A h .I = ϕ (h)
0 (0)I + ϕ1(0) (h) A + ϕ2(0) (h) A 2 + . . . + ϕk(0) (h) A k + . . . + ϕp−1(0) (h) A p−1
(I, A, A 2 , . . . , A p−1 ) étant base de l’algèbre : ϕ (h)
h
= 1 et pour k = h ϕ(h)
k
• M = X p − a1X p−1 − a2X p−2 . . . − ap−1X − ap étant le polynôme minimal, posons, D étant
l’opérateur de dérivation, pour une fonction f p fois dérivable
alors en appliquant M(D) à e tA il vient
(D)(f) = f (p) − a1f (p−1) − f (p−2) . . . − ap−1f ′ − apf
M(A).e tA = M(D)(ϕ0(t))I+M(D)(ϕ1(t))A+M(D)(ϕ2(t))A 2 +. . .+M(D)(ϕk(t))A k +. . .+M(D)(ϕp−1(t))A p−1
M étant polynôme minimal de A et (I, A, A2 , . . . , Ap−1 ) base de Alg(A) :
∀k et ∀t : M(D)(ϕk(t)) = 0.
Les ϕk sont solutions de EM ; elles sont appelées solutions fondamentales de cette équation différentielle
car, comme on va le voir, toute solution de EM s’exprime simplement avec elles.
Exemple très simple. Pour Ω(Ω2 + 1) = 0 (exemple précédent), X(X+1) est polynôme minimal
de Ω2 : etΩ2 = ϕ0(t)I + ϕ1(t)Ω2 où ϕ0, ϕ1 sont les solutions fondamentales de y ′′ + y ′ = 0
donc etΩ2 = 1.I + (1 − e−t )Ω2 = 0.
En remplaçant t par i π on retrouve le demi-tour I + 2Ω2 ; on a d’ailleurs
e−itΩ2 = I + (1 − cos t − i sin t)Ω2 : e−iπΩ2 = I + (1 + 1)Ω2 .
11

4.3 Equation différentielle linéaire à cœfficients constants avec second membre
Les (ak) étant k réels et f une fonction continue sur un intervalle voisinage de 0, considérons
l’équation différentielle
(E) y p − a1y (p−1) − y (p−2) . . . − ap−1y ′ − apy = f (15)
On peut l’écrire sous la forme matricielle
d X
d t = AE
⎛
y
⎜
X + F avec X = ⎜
⎝
y ′
.
y (k)
.
y (p−1)
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ , F = ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0
0
.
0
.
f
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ et AE = ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 1 0 · · · 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0 · · · 0
. . .
. .. .
. .. .
0 0 0 · · · 1 · · · 0
. . .
. .. .
. .. .
ap ap−1 ap−2 · · · ap−k · · · a1
Cette matrice est appelée matrice compagne de E ; vérifions que le polynôme
M = X p − a1X p−1 − X p−2 . . . − ap−1X − ap est le polynôme minimal de E
• C’est son polynôme caractéristique car si λ est valeur propre pour le vecteur propre
(x1, x2, x3, . . . , xk, . . . , xp) alors :
(x2 = λx1, x3 = λx2, x4 = λx3, . . . , xk+1 = λxk, . . . , apx1 + ap−1x2 + ap−2x3 + . . . + ap−kx k+1 + . . . + a1xp−1 = λxp)
d’où M(λ) x1 = 0 ; le vecteur propre n’étant pas nul x1 = 0 et M est le polynôme caractéristique
de A.
• C’est aussi son polynôme minimal : la première ligne des matrices (I, A, A 2 , . . . , A k , . . . , A p−1 )
est formée de 0, sauf un 1 situé respectivement en (1-ière,2-ième,3-ième,...,(k+1)-ième,...,p-ième)
position. Et c’est en ces emplacements de la première ligne que figurent les cœfficients d’une
combinaison linéaire de ces matrices : sauf le pomlynçome nul, aucun polynôme de degré au plus
p-1 ne peut être annulé par A et ainsi le polynôme caractéristique de A est son polynôme minimal.
Résolution de E
La résolution du système différentiel
dX
dt
= A X + B(t) pour la condition initiale
t0 = 0 , X0
où B est une matrice colonne fonction continue sur un intervalle voisinage de 0 est bien connue :
en changeant d’inconnue X = e tA .Y on arrive à
X(t) = e tA .X0 +
t
0
(16)
e (t−u)A .B(u) d u (17)
En appliquant ceci à l’équation E avec la matrice AE et B = F pour la condition initiale
(t = 0, y0, y ′ 0 , y′′ 0 , . . . , y(p−1) 0 ) il vient en ne considérant que la première ligne de ces produits
matriciels puisque l’on recherche la solution y(t) et non ses dérivées
y(t) = ϕ0(t)y0 +ϕ1(t)y ′ 0 +ϕ2(t)y ′′
0 +. . .+ϕk(t)y (k)
(p−1)
0 +. . .+ϕp−1(t)y 0
+
t
0
ϕp−1(t−u)f(u) d u
On en déduit les résultats classiques, en particulier pour f=0 la résolution de EM à l’aide des
solutions fondamentales.
Avec l’équation y (p) = f on arrive à la formule de Taylor de reste sous forme d’intégrale
y(t) = y(0) + ty ′ (0) + t2
2! y′′ (0) + . . . + tk
k! y(0)(k) + . . . + t(p−1)
(p − 1)! y(p−1)
t
(t − u)
0 +
(p−1)
f(u) du
(p − 1)!
12
0
⎞
⎟
⎠

Obtention des solutions fondamentales à partir des solution élémentaires de E
Les solutions élémentaires de E définies à partir des valeurs propres de M avec leurs ordres
de multiplicité sont les fonctions
{ψj,i(t) = t j e λi t , 0 j pi , i i r }
Dans le cas réel, si λk = mk + iωk est complexe non réel, λi est aussi zéro de M avec le même
ordre de multiplicité et on remplace les (t j e λk t , t j e λk t ) par (t j e mk t cos ωkt, t j e mk t sin ωkt).
Elles sont linéairement indépendantes et on en déduit les solutions fondamentales en résolvant
le système
{ψj,i(t) = ϕ0(t)ψj,i(0)+ϕ1(t)ψ ′ j,i(0)ϕ2(t)ψ ′′
j,i(0)+. . .+ϕk(t)ψ (k)
j,i
Exemple pour A telle que A(A 2 + 1) = 0
E : y (3) + y ′ = 0
⎧
⎨
⎩
1 = ϕ0(t)
cos t = ϕ0(t) − ϕ2(t)
sin t = ϕ1(t)
d’où e tA = I + sin t A + (1 − cos t) A 2 .
(p−1)
(0)+. . .+ϕp−1(t)ψ (0)}0jpi j,i
, iir
Suites définies par une relation de récurrence linéaire et ses premiers termes
Comme dans l’exemple du §2.2, à un léger changement près, on peut faire intervenir le calcul
matriciel et la matrice compagne A ′ pour expliciter le terme général de la suite définie par la
donnée de u(0), u(1), u(1), ..., u(p − 1) et la relation (où les ai sont des constantes)
u(n) = a1u(n − 1) + a2u(n − 2) . . . − ap−1u(n − p + 1)
sous la forme U(n) = A ′ .U(n − 1) d’où U(n) = (A ′ ) n .U(o), (A ′ ) n étant obtenue en prenant à la
valeur à l’origine de la dérivée n-ième de etA′ .
4.4 Études particulières
Hélice circulaire
Cette question classique peut se traiter simplement par le système (13).
Considérons dans l’espace affine euclidien orienté de dimension trois, rapporté à une base
orthonormée directe (O,i,j, k), une courbe de classe C 4 paramétrée par son abscisse curviligne
s. Les formules de Serret-Frenet
s’écrivent matriciellement
dM
ds
dt
ds
dM
ds = t, dt dn
= ρn,
ds ds = −ρt + τb, dn
= −τn
ds
dn
ds
d b
ds
= M t n ⎛
⎜
b avec A = ⎜
⎝
0 0 0 0
1 0 −ρ 0
0 ρ 0 −τ
0 0 τ 0
et l’on est ramené à (13) en prenant comme il est licite Xo = (O,i,j, k) pour condition initiale.
Par un calcul direct (où k2 = ρ2 + τ 2 )
A 2 ⎛
0
⎜
= ⎜ 0
⎝
0
−ρ
0 0
2 ρ 0
0
−k
ρτ
2 0
0 ρτ 0 −τ 2
⎞
⎟
⎠ , A3 ⎛
0
⎜
= ⎜ −ρ
⎝
0 0 0
2 0 ρk2 0 −ρk
0
2 0 τk 2
ρτ 0 −τk 2 0
13
⎞
⎟
⎠ , A4 =
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
0 0 0 0
0 ρ 2 k 2 0 −ρτk 2
−ρk 2 0 k 4 0
0 −ρτk 2 0 τ 2 k 2
⎞
⎟
⎠

Ainsi A4 = −k2A2 . Partons de l’équation (E) : y (4) + k2y” = 0 de solutions fondamentales
⎧
⎪⎨
1
s
⎪⎩
cos ks
=
=
=
ϕ0(s)
ϕ1(s)
ϕ0(s) − k2 sin ks =
ϕ2(s)
kϕ1(s) − k3ϕ3(s) ⎧
ϕ0(s)
⎪⎨ ϕ1(s)
⇒ ϕ2(s)
⎪⎩
=
=
=
1
s
1 − cos ks
k2 ϕ3(s) =
sin ks
k3 En prenant la première colonne du produit matriciel on obtient les équations de l’hélice par la
fonction s → M(s)
M t n
b = 0i j
k I + sA +
1 − cos ks
k2 A 2 +
sin ks
A3
k3 d’où
1 − cos ks
M(s) = O + si +
k2
sin ks
ρj +
k3
(−ϱ 2i + ρτk) t , n et b sont donnés par les autres colonnes du produit X0esA , et on les retrouve par dérivations
de M(s). On vérifie facilement
t.(τi + ρk) = 0
c’est bien une hélice, qui se réduit visiblement à un cercle lorsque τ est nul, et à une droite si ρ
est nul.
Considérons pour finir des questions particulières concernant le système (16) .
Limite éventuelle des solutions lorsque l’intégrale de B sur R + a une limite
Supposons que 0 soit zéro simple du polynôme minimal M de A, les autres zéros étant à
parties réelles strictement négatives et que B soit bornée. En considérant le quotient Q de M par
X
Q(A)
lim X(t) =
t→+∞ Q(0) X0 + π0(A)
+∞
0
B(u) d u
comme le montre (14) où π0(A).A = 0 et pour λi = 0 : limt→+∞ t j e tλi = 0 car ℜλi < 0.
Lorsque 0 est zéro multiple, les autres étant à parties réelles strictement négatives, la limite
existe si X0 est vecteur propre pour la valeur propre 0 et s’écrit, puisque πλi (A)X0 est nulle
pour λi = 0 :
lim X(t) = π0(A) X0 +
t→+∞
Comportement lorsque B est périodique
+∞
0
B(u) d u
Supposons pour simplifier B(t) de la forme ℜ (αe iθt ).Bo où Bo est constant, les zéros de M
étant νi + iωi où νi = 0 si ωi = θ.
Cherchons une solution de la forme X(t) = KBoe iθt où Bo est une matrice constante. Il vient
(iθ I − A)K Bo = Bo
Puisque iθ n’est pas valeur propre de A, (iθ I − A) est régulière. En divisant M par (iθ − X) :
M = (iθ − X)Q(iθ) + M(iθ)
on obtient l’inverse de (iθ I − A) et on peut prendre pour K cette inverse
K = Q(iθ)
Q(iθ)
⇒ X = ℜ
M(iθ) M(iθ) Bo
iθ
e
t
On retrouve le cas bien connu d’une équation différentielle avec un second membre de la
forme a cos θt + b sin θt lorsqu’il n’y a pas résonance. Prenons un exemple très simple :
y” + y ′
y ′ 0 1 y
+ y = cos θt ⇒ =
.
y −1 −2 y ′
0
+
cos θt + i sin θt
14

Or par division M = (iθ − X)(X + 2 + iθ) + (1 − θ 2 + 2iθ) et on obtient la solution cherchée
y
y ′
= ℜ
1
1 − θ 2 + 2iθ
2 + iθ 1
−1 iθ
0
e iθt
——————————
⇒ y(t) = (1 − θ2 ) cos θt + 2θ sin θt
(1 − θ 2 ) 2 + 4θ 2
Bibliographie sommaire.
D. BEKLEMICHEV Cours de géométrie analytique et d’algèbre linéaire Mir 1988.
N. GASTINEL Analyse numérique linéaire Hermann 1966.
R. GODEMENT Cours d’algèbre Masson 1966
W. GREUB Linear algebra Springer 1981.
P.KRÉE, J. VAUTHIER Mathématiques, tome 2 Eskra 1989
15