1 Théorème des catégories de Baire - Département de Mathématiques

2 Compactifié d’Alexandroff d’un espace localement compact
Etant donné un espace topologique localement compact X, on va construire un espace compact X ′ , unique
à homéomorphisme près, en adjoignant à X un point à l’infini.
Exercice 2.1. Soir X espace topologique localement compact muni de sa topologie T . Soit ω un ensemble
n’appartenant pas à X. On pose X ′ := X ∪{ω} et on définit
1. Montrer que T ′ définit bien une topologie sur X ′ .
2. Montrer que X ′ est compact pour la topologie T ′ .
T ′ := T ∪{X ′ K | K partie compacte de X} .
On montre maintenant que X ′ est, à homéomorphsime près, l’unique espace compact tel que X soit homéomorphe
au complémentaire d’un point ω ∈ X ′ .
3. Soit X ′ 1 et X ′ 2 deux espaces compacts et ω1 ∈ X ′ 1, ω2 ∈ X ′ 2. Soient h1 et h2 des homéomorphismes de X
sur X1 := X ′ 1 {ω1} et X2 := X ′ 2 {ω2}.
a) On définit l’application h : X ′ 1 → X ′ 2. Telle que h |X1 := h2◦h −1
1 et h(ω1) = ω2. Montrer que h est continue
en tout point de X1.
b) Montrer que h est continue en ω1. Conclure.
Application : compactification de R n . Dans l’espace R n+1 = R n × R on note (x1,...,xn,u) les coordonnées
du point (x,u). On considère la sphère unité de R n+1 d’équation
On note N := (0,1) ∈ S n le pôle nord de la sphère.
4. Montrer que la projecion stéréographique
est un homéomorphisme.
5. En déduire le compactifié d’Alexandroff de R n .
S n : x 2 1 +...x2 n +u2 = 1 .
p : S n {N} → R n : (x,u) ↦→ x
1−u
Le compactifié d’Alexandroff permet une caractérisation simple des applications propres entre espaces localements
compacts. Rappelons qu’une application continue f : X → Y définie sur un espace séparé X et à
valeur dans un espace localement compact Y est dite propre si l’image réciproque par f de tout compact de
Y est une partie compacte de X. On dit également de f qu’elle est fermée si l’image directe de tout fermé
de X est une partie fermée de Y .
Exercice 2.2. Soit X un espace séparé et Y un espace localement compact. Soit f : X → Y une application
propre et F une partie fermée de X.
1. Soit V un voisinage compact de a ∈ f(F) et W = f −1 (V). Montrer qu’alors f(W ∩F) = V ∩f(F).
2. Montrer que tout voisinage de a rencontre V ∩f(F).
3. En déduire que f est une application fermée.
Exercice 2.3. SoientX1 etX2 des espaces localement compacts. On noteX ′ 1 := X1∪{ω1} etX ′ 2 := X2∪{ω2}
leurs compactifiés d’Alexandroff. Montrer qu’une application f : X1 → X2 est propre si et seulement si le
prolongement ˜ f : X ′ 1 → X ′ 2 défini par ˜ f(ω1) = ω2 est continu au point ω1.
3 Théorème d’Urysohn et cube de Hilbert
On rappelle qu’un espace séparé est dit normal si toute partie fermée admet un système fondamental de
voisinages fermés. On a vu que les espaces compacts sont normaux.
Exercice 3.1. Soit X un espace topologique normal. Soient A et B deux fermés disjoints dans X. On note
D l’ensemble des nombres dyadiques de l’intervalle [0,1]. On écrit cette ensemble comme la réunion des
ensembles disjoints suivants.
1 1 3
D0 = {0,1}, D1 = , D2 = ,
2 4 4
2