Michel Goze SYSTEMES DE PFAFF ASSOCIES AUX ALGEBRES ...

REND. SEM. MAT.
UNIVERS. POLITECN. TORINO
Vol. 46°, 1 (1988)
Michel Goze
SYSTEMES DE PFAFF ASSOCIES AUX ALGEBRES
DE LIE DE TYPE H
Le but de ce travail est de mettre en evidence un lien entre les algebres
de Lie de type H (ou algebres de Heisenberg generalisees), et les systemes de
Pfaffde classe maximale (au sens d'Elie Cartan). En particulier on montre que
ces algebres de Lie sont des modeles, a contraction pres, relatifs a Pensemble
des algebres de Lie munies d'un systeme de Pfaff dont Tinvariant d'Engel est
maximal.
Cette approche nous permet de determiner une geometrie liee a ce
type d'algebre de Lie, generalisant en quelque sorte la geometrie de contact
associee a l'algebre de Heisenberg. Cette etude geometrique conduit a relier
ces algebres a une autre generalisation des algebres de Heisenberg introduite
dans [7].
I. ALGEBRES DE LIE DE TYPE H
1. Definition
Soit g une algebre de Lie munie d'un produit scalaire . Elle est dite
Classificazione per soggetto AMS(MOS, 1980): 58A17.

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de type H s'il existe une decomposition orthogonale:
g = a@z
ou z = Z(g) designe le centre de g avec dim(2) > 1, telle que
\adx*(y)\ = \xa\\y,\
ou * designe l'adjoint relatif au produit scalaire et les indices a, z les
projections relatives aux sous-espaces a et z respectivement.
2. Commentaires
-i- Les algebres de Lie de type H sont des algebres de Lie nilpotentes
veriiiant:
[g,g] = z(g).
Bien sur, toute algebre de Lie veriiiant cette condition (on dit aussi que g
est nilpotente d'ordre 2) ne saurait etre de type H. Par exemple, considerons
1'algebre de Lie definie par:
([XUX2] = X4
(^ [X\, X3] = X5
les autres crochets etant nuls.
Le centre Z(g) est engendre par les vecteurs X4 et X5 et coincide avec
la sous-algebre derivee.
Considerons un produit scalaire et a un supplementaire orthogonal
de Z(g). Supposons que g est de type H.
On peut toujours trouver une base orthonormee ylfy21^3 ^ e a veriiiant:
avec y4 et Y$ orthogonaux dans Z(g).
Soit y = y2 et U = £>iY; on a:
[YUY2]=Y4 , [yi,y3] = y5
\ad*Y(U)\ 2 = (a4) 2 et \Y\. \U2\ = (a4) 2 + (a5) 2 .
Ceci montre que cette algebre n'est pas de type //.
-ii- Les algebres de Lie de type // ont ete introduites par A.Kaplan
dans [8] dans le but de generaliser I'analyse et la geometrie liees a l'algebre

de Heisenberg. Citons a titre d'exemple, l'etude faite par Kaplan sur les
operateiirs harmoniques invariants ainsi que sur les geodesiques relatives a
une metrique invariante par une groupe de type H ([9]).
Or toute etude geometrique, voire riemannienne, basee sur l'algebre de
Heisenberg est fortement conditionnee par le fait qu'il existe sur l'algebre de
Heisenberg une forme de contact (citons coinme autre exemple important le
lien etabli par Koranyi entre les transformations conformes pour une metrique
invariante et les transformations de contact [10]). Un des buts de ce papier
est de mettre en evidence la geometrie sous-jacente aux algebres de type Hy
generalisant en quelque sorte la geometrie de contact. On va montrer en
particulier le role que jouent cetains systemes de PfafF dans ces algebres.
3. Exemples d'algebres de Lie de type H
Considerons les algebres de Lie suivantes:
- ^2p+i l'algebre de Heisenberg de dimension 2p+ 1:
[X2i, X2i+i] = Xi i = 1,... ,p
- n6 l'algebre de dimension 6 deiinie par:
[Xi, X3] = —[A'2, X4] — X$
[^1,^4] = [^2)^3] = ^6
- n7 l'algebre de Lie de dimension 7 defmie par:
.pfi > ^3] = [^5, X7] = X2
[Xi,Xs] = — [Xst X7] = X4
[^1,^7] = [-^3,^5] =-^6
Ces algebres sont de type //. Dans chacun de ces cas les produits
scalaires consideres sont ceux qui rendent orthonormees les bases (X,) servant
a decrire les equations de structure de ces algebres.
93

94
4. Classification des algebres de Lie de type H et de dimension
inferieure ou egale a 7
PROPOSITION Toute algehre de Lie g de type H et de dimension inferieure
ou egale a 7 est isomorphe a Vune des algebres de Lie suivantes:
i- /i3 si dim (g) = 3 ,
ii- h$ si dim (g) = 5 ,
iii- n6 si dim (g) = 6 ,
iv- h7 ou n-r si dim (g) = 7. Ces deux algebres ne sont pas isomorphes.
En effet, en ce qui concerne la classification des algebres de dimension
inferieure ou egale a 6, il suffit d'observer la classification generale des
nilpotents de dimension inferieure a 6 donnee par example dans [3].
En ce qui concerne la dimension 7, on peut se referer a [5]. Toutefois,
une demonstration de ce cas sera etablie plus loin, lors de I'approche de la
classification generale de ces algebres.
Dans [14], on donne egalement une classification des algebres de type
H, mais I'approche en est differente.
II. ETUDE DE CERTAINS SYSTEMES DE PFAFF
1. Invariants classiques des systemes.de Pfaff [2], [11]
Soit (S) un systeme de Pfaff de rang constant r sur IR n c'est-a-dire un
champ de plans de dimension n — r.
Considerons une base locale (a>i,u/2,... ,^r) de (S) defmie sur un ouvert
U de IR n . Les formes de Pfaff ui sont independantes en tout point de U.
Soit x un point de U. La classe de (S) au point x est la codimension de
l'espace caracteristique:
C(S)X = {XeTx(U)/ui(x){X) = 0 t = 1,..., r et X\dwi(x) = 0 mod (S)}
oil f = 0 mod (S) signihe: / A u\ A V2 • • • A ur = 0 .
On notera c(S)(x) de la classe de (S) au point x. On dira que (5) est de
classe maximale sur U si c(S)(x) = n en tout point. Un des problemes majeurs
relatifs aux systemes de Pfaff concerne la classification locale [2].
Supposons que (5) soit un systeme de Pfaff de rang r et de classe

maximale sur U.Soit:
a = in{{p/(dw) p = 0 mod (5)} .
Cet entier s est un invariant a isomorphisme pres, il ne depend pas de
la base locale choisie pour (S).
II est appele l'invariant d'Engel de (5) et de Gardner a demontre les
inegalites suivantes [9]:
2s < n - r < (r + l)s .
II existe d'autres invariants pour les systemes de PfafF, comme par
exemple les rangs des systemes derives successifs (en fait Elie Cartan a mis en
evidence une infinite d'invariants). Mais comme nous n'en ferons pas usage,
nous ne prenons pas la peine de les redefinir.
2. Varietes integrates maximales pour les systemes de PfafF de classe
maximum
PROPOSITION Soit (S) un systeme de PfafF de rang r et de classe maximum
sur JR n . Alors toute variete integrale a (S) est de dimension q au plus egale
a r(n — r)/(r + 1).
Demonstration. Soit (Xi,... ,Xq) q champs de vecteurs independants en
tout point, tels que:
i- u(Xi) = 0 pour tout u de (5)
Soit (wi,...,wr,ai>...,og, py,...,f3p) des formes de PfafF lineairement
independantes en tout point telles que:
1) (wi,....fa;r) engendrent (5)
2) Qi(Xj) = 1 si i = j et 0 sinon
•3)/%(*,) = 0,Vfetj.
et notons (Y\,..., Ya) les champs duaux des formes /?;(i = 1,...s).
De maniere generale, on a:
M = J2 a U

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systeme
{(Yijduj) t = l,...,p et i==l,...,r}
est au plus egal a q (rappelons que (X\du)(Y) = du(X>Y)). On a alors sr > q.
Ainsi q < r(n - r - q) et o < -X—-i.
• - v ' " r + 1
3. Systeme de contact et r-structure de contact
3.L —r-systeme de contact [7]
DEFINITION. Un systeme de Pfaff (S) de rang r et de classe maximaie sur
JR" est un r-systeme de contact si, au voisinage de chaque point, il existe une
variete integrale a (S) dimension maximaie r(n — r)/(r +1). /
Soit p = (n — r)/(r + 1). Alors l'existence d'un r-systeme de contact sur
IR n implique n = p + r + rp.
PROPOSITION Soit (5) un r-systeme de contact sur IR n (n = r + p+rp).
Alors Vinvariant d'Engel s(S) est minimal et egal a p = (n - r)/(r + 1).
Demonstration. Soit (Xi,...,Xq) avec q = rp, un systeme differentiel
completement integrable contenu dans le noyau de (S). On suppose que le
rang de ce systeme est rp en tout point. Soit: (u>i,...,u>r) une base de (S).
Completons en une base de ( IR n )
(uu ... ,u>r,ati>... ,otv fa,... ,PP) avec :

3,2. r-structure de contact
DEFINITION [12]. Soit (5) un systeme de Pfaff de rang r et de classe
maximale sur IR n . On dit que (S) est une r-structure de contact si
(du;)( n - r )/ 2 = 0 mod (5) pour tout u dans (5).
PROPOSITION. L'in variant d'Engel d f une r-structure de contact sur IR n
avec n = 2q + r est maximal et egal a (n — r)/2.
En effet, c'est une consequence directe de la definition.
Remarque. Soit (Ai,...,X|)' une distribution completement integrable
contenue dans le noyau de la r-structure de contact (S). Soit (ujyay,/?*)
i — l,...,r j = l,...,t, k = l,...,p une base adaptee i.e. (ui) base de (5),
(ctj) base duale de la distribution. On a
du = Yl'bij

98
DEFINITION 4.2. Un systeme de Pfaff(S) de rangr et dont Pinvariant d'Engel
est s est appele systeme de type S.K. si tous les elemens de (S) sont de classe
2s + 1.
Remarque 4.3. Rappelons que la classification des systemes de Pfaff n'exisle
que jusqu'en dimension 4. Quant a la classification 5, Elie Cartan a mis
en evidence une infinite d'invariants. Ceci motive quelque peu l'interet de
determiner des sous families de systemes de Pfaff telle que la famille des
systemes de type S.K.
Exemple: Tout systeme de Pfaff de type S.K de dimension 5 et de rang 2
est isomorphe soit a:
i- un systeme completement integrable
+ 2/3^2/4
11- un 2-systeme de contact <
I w2 = dy2
+ J/3^2/5
En effet tout systeme de rang non integrable peut se representer par les
formes:
wi = dyi + y3dy4
u>2 = dy2 4-1/3

Dans la suite de ce travail, on s'interessera particulierement aux rsystemes
de contact, aux r-structures de contact et aux systemes de type
S.K. defini sur g.
2. Geometrie des algebres de Lie nilpotentes d'ordre 2
Soit g une algebre de Lie nilpotente. On note Z{g) le centre de g et
par D(g) la sous-algebre derivee. Dire que g est nilpotente d'ordre d'ordre 2
signifie que Z(g) D D(g).
PROPOSITION. Soit g une algebre de Lie nilpotente d'ordre 2 dont la
dimension du centre est r. Alors il existe sur g un systeme lineaire de rang r
et de classe maximum.
Demonstration. Soit m un supplemental vectoriel de Z(g) dans g et soit
(X\y...,Xry Yi,..., Yn_r) une base adaptee a la decomposition g = Z(g) © m.
Soit (wi,...,u;r,air..,an_r) la base duale. Calculons la classe du systeme
(5) = (wi,...,o;r).
Soit V un vecteur de h(S) la sous-algebre caracteristique de (S). Par
definition, u\(V) = 0 et V\dui = 0 mod (S) i = l,...,r. Ainsi V est dans m
et verifie dui(V,T) = 0 pour tout T. Comme Z(g) D D(g), alors [VrT] est dans
Z(g). Comme v[V, T] est nul pour tout T et tout u de (5), on en conclut que
V est dans le centre Z(g). Or par hypothese V est un element de m, ce qui
implique V = 0. D'ou h(S) = {0}, et (5) est de classe maximum.
COROLLAIRE. Toute algebre de Lie de type H dont le centre est dimension
r est munie d'un systeme de Pfaff de rang r et de classe maximum.
Remarque. La reciproque de la proposition est fausse, i.e. il existe des
algebres de Lie munies d'un systeme lineaire de rang r et de classe maximum
qui ne soient pas nilpotent d'ordre 2. Prenons par exemple une algebre de Lie
g simple compacte de rang g et soit g = fc0p sa decomposition de Cartan.
Le systeme lineaire ayant p (complementaire a la sous-algebre de Cartan k)
comme noyau est de rang r et de classe maximum.
99

100
DEFINITION. Soit g une algebre de Lie nilpotente d'ordre 2. Le systeme
lineaire (S) defini dans la proposition precedente (le noyau est supplementaire
au centre) sera appele systeme lineaire associe.
3. Une propriete geometrique des algebres de Lie de type H
THEOItfeME. Soit g une algebre de Lie de type H dont le centre est de
dimension r. Alors tout systeme lineaire associe est une r-structure de contact.
Demonstration. Soit (S) un systeme lineaire associe a, g. Alors, d'apres la
proposition III.2, (S) est de classe maximum.
Lemme. Soit g une algebre de Lie nilpotente d'ordre 2 dont le centre est
de dimension r. Soit m un supplementaire de Z(g) dans g et (S) le systeme
lineaire associe. Si pour tout J de m l'operateur adX est surjectif, alors la
classe de tout element de (S) est au plus egale an — r.
En effet, soit u un element de (S). Determinons l'espace caracteristique
h(u>). Soit X dans m. L'operateur adX etant surjectif, il existe Y dans g tel que
u>(adX(Y) = 1, ce qui implique h(u) Dm = {0}. Or Z(g) D D(g). Comme l'on
a du(X}Y) = — u(adX(Y)), on en deduil dimh(u) < r c'est-a-dire cl{u) >n — r.
D'ou le lemme.
Ceci etant, si g est de type //, alors les hypotheses du lemme precedent
sont verifiees car adX est une isometrie surjective de m sur Z(g). Les inegalites
de Gardner impliquent alors s(S) = (n - r)/2 et (S) est une r-structure de
contact. D'ou le theoreme.
4. Remarques.
i. Le lemme precedent se generalise de la fagon suivante: soit g une
algebre de Lie de dimension n telle que D(g) = g. Si m est un supplementaire
vectoriel de D(g) dans g et (S) le systeme lineaire dont le noyau est m, alors
la classe de (S) est egale a la classe de n'importe quel systeme dont le noyau
est supplementaire a D(g). De plus, s'il existe un sous-espace k de dimension
superieure ou egale a (n — r)/(r -f 1) avec t = rang(S) tel que adX soit surjectif

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pout tout X non nul dans ik, alors (5) est de classe maximum.
ii. L'existence d'une r-structure de contact sur une algebre de type H et
de dimension n implique n = 2g + r. De plus, 1'existence de zeros non triviaux
pour les polynomes de degre impair implique q pair i.e. n = 4/ + r.
5. Algebres de type H comme algebre de Lie modele
4.1. Rappel: Algebres de Lie modeles [6]
Soit Q une algebre de Lie reelle de dimension n; notons p ^application
bilineaire definissant le crochet de g. Si / est un element de Gl(n} HI ), la loi
p' = f' 1 (p(fif)) correspond a une algebre de Lie g' isomorphe a g.
Plagons-nous a present dans le cadre NON-STANDARD de la theorie
des ensembles internes I.S.T. [13].
Si Pisomorphisme / est non -standard la loi p' est limitee ou infiniment
grande. Si elle est limitee, elle admet une ombre pQ qui est la loi d'une algebre
de Lie g0 appelee contraction de g (Pombre d'une loi limitee p est l'unique loi
standard proche de p). L'isomorphisme / reliant l'algebre g a sa contractee
go sera appele isomorphisme contractant.
Considerons a present une propriete (P) relative a la structure d'algebre
de Lie.
DEFINITION. Une algebre de Lie g est appelee modele relatif a la propriete
(P) si toute algebre de Lie verifiant (P) se contracte sur g et si, de plus, toute
algebre se contractant sur g satisfait (P).
Exemple: L'algebre de Heisenberg est le modele relatif a la propriete: "il
existe une forme de contact".
Les modeles relatifs a une propriete (P) sont en quelque sorte les algebres
les plus simples verifiant (P). On peut generaliser la definition precedente en
considerant non-pas une algebre modele, mais une famille d'algebres, ou un
ouvert de la variete de L n des algebres de Lie de dimension n. Par exemple,
il existe une famille irreductible jouant le role de modele dans l'ensemble des
algebres de Lie frobeniusiennes [6].

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THEOREME. Soit U l'ouvert de L n forme des algebres de Lie de type H, dont
le centre est de dimension r. Alois U est un modele relatif a la propriete: "il
existe une r-structure de contact".
t
Les algebres de Lie de type // sont done les algebres les plus simples au
niveau de leur structure d'algebre de Lie munie d'une r-structure de contact.
Demonstration. Soit g un element de U et (5) = (u>i,.. . ,u>r) une restructure
de contact. Considerons une base (u;i,...,ii;r,ai,..:lan_r) de g*.
Par hypothese (du) q A u\ A ... A ur = 0, q = (n - r)/2.
Comme Z(g) = D(g), du — J2 a ij Q * A

103
DEFINITION. On a,ppelle suite caracteristique de g le maximum pour 1'ordre
lexicographique de suites s(X) lorsque X parcourt le cone g — D(g).
On notera s(g) la suite caracteristique de g. C'est un invariant a
isomorphisme pres de g. Un vecteur de g - D(g) tel que s(X) = s(g) sera
appele vecteur caracteristique.
2. Suite caracteristique d'une algebre de Lie de type H
Supposons a present g de type H.
PROPOSITION. Si g est une algebre de Lie de type H, sa suite caracteristique
est de la forme (2,2,..., 2,1,...., 1).
En effet soit X est un vecteur caracteristique de g\ comme Z(g) = D(g),
on a Imad(X) C Z{g). Ainsi (adX) 2 = 0 et les blocs de Jordan sont au plus de
longueur 2, d'ou la proposition.
Notons que ce resultat n'est pas specifique aux algebres de type H mais
s'applique egalement aux algebres nilpotentes d'ordre 2.
Ceci etant posons s(g) = (2,2,... ,2,1,..., 1). Soit k le nombre de
2 de cette suite et s le nombre de 1. On an = 2k -f s. Soit X\ un
vecteur caracteristique de g et (X2, X3)..., Xn, X\) une base de Jordan de adX\
verifiant:
([XUX2] = X3
[Xi,X2Jb] = X2k+l
, [Xi,Xi] = 0 pour les autres cas.
Comme Z(g) = D(g), les vecteurs X3,X5,... ,X2k+i sont dans le centre
Z(g). L'operateur adXi etant surjectif, ces vecteurs forment une base de Z(g).
D'ou, si r = dimZ(g), r = k.
PROPOSITION. Si s(g) = (2,2,..., 2,1,..., 1) est la suite caracteristique d'une
algebre de Lie g de type H, alors le nombre k de 2 de cette suite est egal a la
dimension r du centre.
Application. Avec les notations precedentes, on a n = 2k+s, k = r, 2q = s+r,

104
et 8 + r multiple de 4.
Ceci nous permet de determiner la valeur eventuelle de la suite
caracteristique d'une algebre de type H.
Exemples.
Si n = 6, la suite caracteristique ne peut etre que (2,2,1,1).
Si n = 7, la suite caracteristique ne peut etre que (2,2,2,1) ou
(2,1,1,1,1,1).
Si n = 8, la suite caracteristique ne peut etre que (2,2,1,1,1,1).
Si n = 9, la suite caracteristique ne peut etre que (2,2,2„1,1,1) ou
(2,1,1,1,1,1,1,1) etc...
PROPOSITION. Si g est une algebre de Lie de type H dont la, suite
caracteristique est de la forme (2,1,1,..., 1), alors g est isomqrphe a Valgebre
de Heisenberg.
En eflet si s(g) = (2,1,...,1) alors dimZ(g) = 1 et g est Palgebre de
Heisenberg.
4L Classification des algebres de type H de dimension 7
Dans le paragraphe 1.4 nous avons donnee la classification des algebres
de type // de dimension 6 et enonce le resultat concernant la dimension 7.
Donnons en a present la demonstration.
Soit g une algebre de type // de dimension 7 non isomorphe a l'algebre de
Heisenberg. Sa suite caracteristique est egale a (2,2,2,1). Soit X\ un vecteur
caracteristique et (X2,..., X7) une base de Jordan de adX\. On a les relations:
avec (X5)XetX7) base de Z{g).
'[Xi,X2] = XB
i [XUX3] = X6
, [Xi, X4] = X7
Soit le produit scalaire defini sur g. Nous pouvons supposer que
la base (X&,Xe,X7) du centre est orthonormee. Comme il existe toujours
un vecteur U dans Z(g) tel que Xx + U soit un vecteur caracteristique

105
orthogonal a X5,X6,AV, on peut supposer que (Xi,A"2,...,AV) est une base
orthonormee pour . Mais adX2 est une isometrie surjective dans Z(g).
D'ou adX2(X3) = aX6 avec a.a =1.
De meme on montre que adX^X*) = &-XV avec b 2 = 1.
Soit (wi,... ,W7) la base duale. Le systeme (S) = (w5,a;6,a;7) etant une 3structure
de contact on en deduit a = -6 = 1. Ainsi les equations de structure
de g sont:
dus = wi AW2+W3AW4
du>6 = 1*>1 AW3+W4AW2
rfu>7 =Wi AW4+UI2AW3
La proposition 1.4 est ainsi demontree.
Remarque. Connaissant les equations de structure des algebres de type H
de dimension 7, on peut en donner une representation matricielle.
Soit g une algebre de type H de dimension 7 non isomorphe a. l'algebre
de Heisenberg. Elle peut se representer par l'ensemble des matrices suivantes:
/0 X\ X2 X3 £4 £5 XQ X7\
0 0 0 0 0 *2 *3 x4
0 0 0 0 0 0 0 33
0 0 0 0 0 XA 0 0
0 0 0 0 0 0 X2 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Vo 0 0 0 0 0 0 0/
Les formes invariantes a gauche sur un groupe de Lie connexe attache
a l'algebre de Lie s'ecrivent dans le systeme de coordonnees (*,-):
'

106
deG.
La metrique sur IR donnee par ds 2 = J3( w ») 2 est invariante par Paction
5. Une esquisse de la classification
Une demarche relative a la classification des algebres de Lie de type
H consiste a decrire dans un premier temps la liste de toutes les suites
caracteristique de ces algebres pour un dimension donnee et enfin d'elaborer
la classification relative a une suite caracteristique donnee.
Ce travail merite a lui seul une etude particuliere. Toutefois pour
agrementer ce paragraphe decrivons le premier pas de cette approche.
Nous allons supposer que s(g) = (2,2,... ,2,1). Cela correspond au cas
extreme le plus eloigne de l'algebre de Heisenberg. On an = 2r-fl,g = r-flet
q = 4q'. Soit S(q) le groupe symetrique d'ordre q et considerons le sousgroupe
k(q) defini par les permutations paires qui sont des produits des
permutations elementaires du type (a,6,c, d) donne (a,c,6, d). Ce sous-groupe
contient r = q + 1 elements.
Exemples.
Si n = 7,g' = 1 et r = 3. Mors k~= ((1,2,3,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3)).
Si n = 15,^ = 2 et r = 7. Mors k = ((1,2,3,4,5,6,7,8), (1,3,4,2,5,7,8,6),
(1,4,2,3,5,8,6,7), (1,5,6,2,3,7,8,4), (1,6,2,5,3,8,4,7), (1,7,8,2,3,5,6,4), (1,8,2,7,3,
6,4,5)).
Ceci etant, avec les notations precedentes, considerons l'algebre de Lie
definie par:
^i = 2]afll(i)Aofll(j+i) i=l,...,r+l
duj r = Yl aa r(i) Aa ^r(i+l) l = l,...,r+l
avec (ai,a2,... ,ar) dans le sous-groupe k et r = Aq' — 1 est une algebre de type
H de dimension n = 2r + 1 et de suite caracteristique (2,3,..., 2,1).
Voir aussi [14].

V. LES ALGEBRES DE LIE %,r)
DEFINITION. Les algebres de Lie h(p,r) sont les algebres nilpotentes deRnies
par les equations de structure suivantes:
Re marques.
dak = 0 & = 1,... ,p
107
1. Si r = 1, l'algebre h(ptl) est isomorphe a l'algebre de Heisenberg de
dimension 2p+ 1. C'est le seul cas oil une algebre /i(p, r) est isomorphe a une
algebre de Heisenberg.
2. L'algebre de Heisenberg est caracterisee comme etant l'unique algebre
de Lie (a isomorphisme pres) telle que le centre Z(g) soit de dimension 1
et verifie Z(g) = D(g). En ce qui concerne les algebres h(p,r) on a une
caracterisation analogue:
PROPOSITION. L'algebre de Lie h(p,r) est l'unique algebre dont le centre
Z(g) de dimension r est transverse a une sous-algebre abelienne de dimension
p et verifie Z{g) - D(g).
Propriete geometrique des algebres h(p,r)
Les notations etant celles de la definition 1, le systeme associe (5) =
(wi,...,o;r) deh(ptr) est un r-systeme de contact.
En effet le systeme lineaire engendre par les formes (/?*) est
completement integrable et defini une sous-algebre de dimension p contenue
dans le noyau de (5).
4. Algebre de type H et algebre h(p,r)
Nous avpns mis en evidence deux classes d'algebres de Lie chacune d'elles
generalisant l'algebre de Heisenberg. Esperer determiner qui des deux atteint

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le mieux cet objectif, est sans nul doute de peu d'interet. Par contre en
dressant un tableau comparatif entre ces deux classes, on peut esperer mieux
comprendre la nature de chacune d'elles.
Notons pour simplifier g(r) une algebre de Lie de type H dont le centre
est de dimension r.
i - L'algebre g(r) est munie d'une r-structure de contact, l'algebre h(p, r)
est munie d'un r-systeme de contact.
ii - L'algebre g(r) est modele pour les algebres de Lie munies d'une rstructure
de contact, l'algebre h(p,r) est modele pour les algebres munies d'un
r-systeme de contact.
iii - Toute algebre g(r) de dimension r + p + rp se contracte sur l'algebre
h(p,r) (voir [6]).
Ceci signifie que les algebres h(p, r) sont "plus simples" que les algebres
de type H. /
iv - La classification des algebres h(p, r) est triviale, il n'y en a qu'une
seule pour r et p donnee. La classification des algebres de type H est plus
delicate (voir paragraphe IV). ,
v - Au niveau diflerentiel, il y a unicite du modele d'un r-systeme de
contact a. n variables ([7]). Par contre, des que le nombre de variables est
superieur a 5, on n'a guere de renseignemerits relatifs a la classification locale
des r-structures de contact.
vi - PROPOSITION. La seule algebre de Lie de type H qui soit une
algebre de type h(p,r) est i'a/gebre de lleisenberg.
5. Une generalisation
Le lien etabli d'une part, entre les algebres de type H et les r-structures
de contact, d'autre part entre les algebres h(p,r) et les r-systemes de contact,
fait apparaitre l'invariant d'Engel des systemes associes comme un parametre
de comparaison:
- Les algebres de type H sont liees a un invariant d'Engel maximal
s = (n- r)/2.
- Les algebres h(p,r) sont liees a un invariant d'Engel minimal s =
(n - r)/(r + 1).
On peut a present imaginer une famille d'algebres de Lie generalisant

1'algebre de Heisenberg, parametree par rinvariant d'Engel et dont les algebres
de type H et les algebres h(p, r) sont les 'extremiteV.
Exemples.
- Si n = 7 et r = 3 slors s = 1 ou 2 et la famille se reduit aux 'settles
algebres /i(l,3) et n-j.
-Sin = lletr = 5 alors s peut prendre les valeurs 1,2 ou 3. Les cas
s = 1 et s = 3 sorrespondent respectivemnent a Palgebre A(l,5) et a Palgebre
de type H. Si s = 2, on peut lui associer 1'algebre de Lie suivante:
' du\ = U>6 A W7 -f Us A Ug
dw2 = W6A0/8+W9A O/'io
< du3 = U>6 A W9 + U)$ A U>n
du4 = U>6 AWio + Wg Awn
.du>s = a;6 Ac^n +^9 Awio
REFERENCES
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[3] Cerezo Andre*, Reprint Univ. Nice 1985.
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[11] Libermann Paulette, Problemes d'equivalence. Asterisque 107-108 vol. 1
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[12] Lutz Robert, Structures de contact en codimension quelconque. Lecture Notes
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[13] Lutz Robert, GOZE Michel, Non Standard Analysis. Lecture Notes 881
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M.GOZE - Faculte de Sciences et Techniques
4 Rue des Freres Lurniere
68093 Mulhouse Cedex
I.R.M.A.
Laboratoire Associe n. 001
7 Rue Rene Descartes
67 Strasbourg
Lavoro pervenuto il 20. VI. 1987
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