Théorie des probabilités - HEC - Université de Lausanne
Théorie des probabilités - HEC - Université de Lausanne
Théorie des probabilités - HEC - Université de Lausanne
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<strong>Théorie</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>probabilités</strong><br />
• Un phénomène aléatoire est un phénomène<br />
qui ne donne pas toujours le même résultat<br />
(exemples: loterie, ren<strong>de</strong>ment <strong><strong>de</strong>s</strong> actions)<br />
• Un événement aléatoire est un phénomène<br />
dont la fréquence relative <strong>de</strong> réalisation<br />
approche une limite stable lorsque n∞<br />
• La probabilité <strong>de</strong> l’événement est cette<br />
valeur limite (ex. pile ou face: p=0.5)
FREQUENCE DES TIRAGES DU SWISSLOTTO<br />
FREQUENCE DES TIRAGES DU SWISSLOTTO<br />
1/1986-68/2007<br />
7/45=0.1555…
FREQUENCES DES TIRAGES DU SWISSLOTTO<br />
1/1986-68/2007<br />
7/45=0.1555…
FREQ.<br />
0.20<br />
0.15<br />
0.10<br />
FREQUENCE DU NUMERO 4<br />
fréquence théorique<br />
fréquence empirique<br />
0 500 1000 1500<br />
tirages
(‘000)
<strong>Théorie</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>probabilités</strong><br />
• Les événements:<br />
• Événement certain = espace d’échantillonnage<br />
(<strong><strong>de</strong>s</strong>cription <strong>de</strong> tous les résultats possibles): S<br />
• Soit un événement E. Son complément est le<br />
cas ou E n’arrive pas<br />
• L’intersection <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux événements E et F est le<br />
cas où les <strong>de</strong>ux arrivent en même temps<br />
• La réunion <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong>ux événements E et F est le<br />
cas où E ou F ou les <strong>de</strong>ux arrivent
Description <strong><strong>de</strong>s</strong> événements<br />
• Le sous-événement: E est un sous-événement<br />
<strong>de</strong> F si lorsque E arrive, F arrive aussi<br />
• Deux événements sont mutuellement exclusifs<br />
s’ils ne peuvent pas arriver en même temps<br />
• Un événement est impossible s’il ne peut pas<br />
se produire<br />
• Un événement est certain s’il arrive toujours
E et son complément<br />
• Diagramme <strong>de</strong> Venn<br />
E<br />
E<br />
S
L’intersection<br />
• Les <strong>de</strong>ux événement arrivent en même temps<br />
E<br />
E ∩<br />
F<br />
E ∩ F<br />
F
La réunion<br />
• E ou F ou les <strong>de</strong>ux arrivent<br />
E<br />
E ∪<br />
F<br />
F
Le sous-événement<br />
• Si E arrive, F arrive aussi:<br />
E<br />
E<br />
F<br />
E ⊂<br />
F
Evénements mutuellement exclusifs<br />
• Ne peuvent pas arriver en même temps:<br />
E<br />
E<br />
E ∩ F =<br />
O<br />
F
• Axiomes:<br />
• 1) P(E) ≥ 0<br />
• 2) P(S)=1<br />
<strong>Théorie</strong> axiomatique<br />
• 3) P(E U F)= P(E) + P(F) si E et F sont <strong>de</strong>ux<br />
événements mutuellement exclusifs<br />
• Théorème <strong>de</strong> l’addition <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>probabilités</strong>:<br />
• P(E U F) = P(E)+ P(F) – P(E ∩ F)
E F<br />
F = ( F ∩ E)<br />
∪ ( F ∩ E )<br />
P( F)<br />
= P(<br />
F ∩ E)<br />
+ P(<br />
F ∩ E)<br />
P( F ∩ E)<br />
= P(<br />
F)<br />
− P(<br />
F ∩ E)<br />
E ∪ F = E ∪ ( F ∩ E<br />
P( E ∪ F)<br />
= P(<br />
E)<br />
+ P(<br />
F ∩ E)<br />
P( E ∪ F)<br />
= P(<br />
E)<br />
+ P(<br />
F)<br />
− P(<br />
E ∩ F<br />
)<br />
F ∩<br />
E<br />
)
Exemple<br />
• Phénomène aléatoire: on jette un dé et on<br />
s’intéresse au chiffre qui sort.<br />
• S={1,2,3,4,5,6} ; E={1,2,3} ; F={2,4,6}<br />
• Le complément <strong>de</strong> E est E={4,5,6}<br />
• E est un sous-événement <strong>de</strong> S:<br />
• Intersection:<br />
• Réunion:<br />
E<br />
E<br />
∩ F<br />
∪ F =<br />
E ⊂<br />
• P(S)=P({1})+P{2}+ . . .+ P{6}=1 P{i}=1/6<br />
P( E ∪ F)<br />
= P(<br />
E)<br />
+ P(<br />
F)<br />
− P(<br />
E ∩ F)<br />
3 3 1<br />
P(<br />
E ∪ F)<br />
= + − =<br />
6 6 6<br />
5<br />
6<br />
= { 2}<br />
{ 1,<br />
2,<br />
3,<br />
4,<br />
6}<br />
S
Exemple<br />
• Quelle est la probabilité que le 13 ème jour d’un<br />
mois soit un vendredi (le fameux vendredi 13):<br />
• Premier modèle S={LU,MA,ME,JE,VE,SA,DI}<br />
• Evénement également probables: la probabilité<br />
est alors 0.14286=1/7<br />
• Deuxième modèle: le calendrier a une périodicité<br />
<strong>de</strong> 400 ans. Si l’on examine les 12 x 400 =<br />
4800 jours on trouve 688 vendredi. La<br />
probabilité est alors 0.14333=688/4800<br />
• On trouve 684 jeudi et 687 dimanche
Analyse combinatoire<br />
• Soient les trois lettres A, B, C. Calculer toutes les<br />
permutations et toutes les combinaisons <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux<br />
lettres (sans répétitions):<br />
• permutations combinaisons<br />
• A B<br />
• B A A B<br />
• A C<br />
• C A A C<br />
• B C<br />
• C B B C<br />
• 3 x 2 = 6 3=6/2
Permutations<br />
• n éléments tirés d’une population <strong>de</strong> M (n≤M)<br />
• Permutations (l’ordre compte: AB ≠ BA):<br />
• a) sans répétition (tirage exhaustif: sans remise):<br />
M<br />
× ( M<br />
−1)<br />
× ( M<br />
−<br />
2)<br />
× ... × ( M<br />
[ n −1]<br />
• !=factorielle ; M!=1 x 2 x 3 x … x M (!0=1)<br />
M!<br />
( M − n)!<br />
• b) avec répétition (tirage non exhaustif: avec remise):<br />
M<br />
n<br />
−<br />
)<br />
=
Cas spécial<br />
• Lorsque n=M et <strong><strong>de</strong>s</strong> éléments sont i<strong>de</strong>ntiques, le<br />
nombre <strong>de</strong> permutations sans répétition n’est pas M!<br />
mais:<br />
M!<br />
k ! k !... k !<br />
1 2 s<br />
• où k 1,k 2,…,k s sont les nombres d’éléments i<strong>de</strong>ntiques<br />
• Exemple: atterrir (M=8 et 3r, 2 t)<br />
8 !<br />
=<br />
3!<br />
2!<br />
3360
Exemple<br />
• Dix chevaux participent à une course. En supposant<br />
que tous les chevaux ont la même probabilité<br />
d’arriver dans <strong><strong>de</strong>s</strong> ordres différents, quelle est la<br />
probabilité qu’un joueur qui choisit au hasard trouve<br />
les noms et le bon ordre d’arrivée <strong><strong>de</strong>s</strong> trois premiers?<br />
• Permutations avec M=10 et n=3:<br />
( 10<br />
10!<br />
−<br />
3)!<br />
=<br />
8×<br />
9×<br />
10<br />
=<br />
720<br />
⇒<br />
P<br />
=<br />
1<br />
720
Exemple<br />
• a) Calculer toutes les permutations possibles <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
jours d’anniversaire <strong>de</strong> n personnes<br />
• b) Calculer la probabilité que n personnes n’aient<br />
pas le même jour d’anniversaire<br />
• a) 365n . Si n=2 on trouve 133225<br />
365!<br />
• b)<br />
( 365 − n)!<br />
P =<br />
n<br />
365<br />
• Si n=2 P=0.997<br />
• Si n=40 P=0.109<br />
• Si n=64 P=0.003
Combinaisons<br />
• n éléments tirés d’une population <strong>de</strong> M<br />
• Combinaison (l’ordre ne compte pas: AB=BA)<br />
• a) sans répétition (tirage exhaustif: sans remise):<br />
( M<br />
M!<br />
− n)!<br />
n!<br />
• b) avec répétition (tirage non exhaustif: avec remise):<br />
=<br />
( ) M +n−1<br />
n<br />
( M ) n
Comman<strong>de</strong> TI-83/84<br />
Taper la valeur <strong>de</strong> M (n pour la TI)<br />
• Aller dans MATH/PRB et choisir 2:nPr pour<br />
les permutations<br />
• Taper la valeur <strong>de</strong> n (r pour la TI)<br />
• En pressant ENTER vous obtenez le nombre<br />
<strong>de</strong> permutations<br />
• Aller dans MATH/PRB et choisir 3:nCr pour<br />
les combinaisons<br />
• Taper le valeur <strong>de</strong> n (r pour la TI)<br />
• En pressant ENTER vous obtenez le nombre<br />
<strong>de</strong> combinaisons
Comman<strong><strong>de</strong>s</strong> MINITAB et EXCEL<br />
• Pour MINITAB, mettre la valeur <strong>de</strong> M dans C1<br />
et celle <strong>de</strong> N dans C2. Aller dans la fenêtre<br />
Session et tapez %PERMUT C1-C2 pour les<br />
permutations et %COMBIN C1-C2 pour les<br />
combinaisons. Ces programmes ne font pas<br />
partie <strong><strong>de</strong>s</strong> programmes standard <strong>de</strong> MINITAB.<br />
• Pour EXCEL, chercher Permutation dans les<br />
fonctions statistiques ou Combin dans le<br />
groupe math. Vous pouvez aussi taper, dans<br />
une cellule, par exemple :=Permutation(45,7)<br />
pour les permutations et :=Combin(45,7) pour<br />
les combinaisons.
Exemple<br />
• Quelle est la probabilité <strong>de</strong> gagner le premier prix en<br />
jouant:<br />
• au Swisslotto (6 numéros sur 45)<br />
• à l’euro-million (5 numéros sur 50 + 2 étoiles sur 9)<br />
• 1 sur<br />
1<br />
1<br />
( 45 ) 8'145'060<br />
6<br />
=<br />
( 50 ) ( ) ×<br />
9<br />
= 76'275'360<br />
5<br />
2
Théorème du binôme<br />
• Les combinaisons sont utilisées dans le théorème<br />
du binôme:<br />
( a<br />
+<br />
b)<br />
M<br />
=<br />
M<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
• Si M=2 on a: b 2 + 2 ab + a 2<br />
( M )<br />
M −n<br />
• Si a=b=1 on a le nombre <strong>de</strong> tous les échantillons<br />
M<br />
∑ ( ) 2<br />
M<br />
=<br />
M<br />
n<br />
n=<br />
0<br />
n<br />
a<br />
n<br />
b
Probabilité conditionnelle<br />
• Probabilité que B arrive étant donné que A est<br />
arrivé<br />
A<br />
B<br />
P(<br />
B<br />
/<br />
A)<br />
=<br />
P(<br />
A∩<br />
B)<br />
P(<br />
A)
Théorème <strong>de</strong> multiplication<br />
• Multiplication <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>probabilités</strong>:<br />
• P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)<br />
• Evénements indépendants: <strong>de</strong>ux événements<br />
sont statistiquement indépendants si<br />
• P(B/A)=P(B)<br />
• Dans ce cas on a:<br />
• P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Exemple<br />
• On jette un dé. Soit A un nombre pair et B un nombre<br />
supérieur à 2. A et B sont-ils indépendants?<br />
• 1 2 4 6 3 5<br />
• A={2,4,6} ; B={3,4,5,6} ;<br />
∩ B<br />
{ 4,<br />
6}<br />
P(<br />
A∩<br />
B)<br />
2 / 6 2<br />
P ( B / A)<br />
=<br />
= = = P(<br />
B)<br />
P(<br />
A)<br />
3/<br />
6 3<br />
• A et B sont statistiquement indépendants<br />
A<br />
=
Exemple<br />
• On jette un dé. Soit A un nombre pair et B un nombre<br />
supérieur à 3. A et B sont-ils indépendants?<br />
• 1 3 2 4 6 5<br />
• A={2,4,6} ; B={4,5,6} ;<br />
∩ B<br />
{ 4,<br />
6}<br />
P(<br />
A∩<br />
B)<br />
2 / 6 2<br />
P( B / A)<br />
=<br />
= = ≠ P(<br />
B)<br />
P(<br />
A)<br />
3/<br />
6 3<br />
• A et B sont statistiquement dépendants<br />
A<br />
=
Arbre <strong>de</strong> probabilité<br />
• Hommes(H) Femmes(F) Total<br />
• Suisses (CH) 200 300 500<br />
• Etrangers (E) 900 600 1500<br />
• Total 1100 900 2000<br />
• H 0.4 P(<br />
CH ∩ H ) = 0.<br />
• 0.6<br />
CH<br />
F<br />
P(<br />
CH ∩ F)<br />
=<br />
10<br />
0.<br />
15<br />
• 0.25<br />
• H 0.6 P(<br />
E ∩ H ) =<br />
•<br />
E<br />
0.75<br />
•<br />
F<br />
0.4 P(<br />
E ∩ F)<br />
=<br />
• Total 1.00<br />
0.<br />
45<br />
0.<br />
30<br />
probabilité conditionnelle probabilité jointe
Formule <strong>de</strong> Bayes<br />
P(B)=P(B∩C 1)+P(B∩C 2)=P(B/C 1)xP(C 1)+P(B/C 2)xP(C 2)<br />
P(<br />
C<br />
1<br />
/ B)<br />
=<br />
C1<br />
P(<br />
B ∩C<br />
P(<br />
B)<br />
1<br />
)<br />
=<br />
B<br />
P(<br />
B / C<br />
1<br />
C2<br />
C1<br />
P(<br />
B / C1)<br />
P(<br />
C1)<br />
) P(<br />
C ) + P(<br />
B / C<br />
1<br />
2<br />
) P(<br />
C<br />
2<br />
)
•<br />
P(<br />
C<br />
1<br />
Formule <strong>de</strong> Bayes<br />
Probabilité conditionnelle<br />
/ B)<br />
=<br />
P(<br />
B / C<br />
Probabilité a posteriori<br />
1<br />
P(<br />
B / C1)<br />
P(<br />
C1)<br />
) P(<br />
C ) + P(<br />
B / C<br />
1<br />
Probabilité a priori<br />
2<br />
) P(<br />
C<br />
2<br />
)
Exemple<br />
• On vient <strong>de</strong> développer un test qui permet <strong>de</strong><br />
détecter dans le sang une maladie très rare (1 cas<br />
sur 10000). Le test est fiable à 90% (10% <strong>de</strong> faux<br />
négatifs) et, d’autre part, dans 1 cas sur 1000 il<br />
donne un résultat faux (0.1 % <strong>de</strong> faux positifs). Si le<br />
test est positif (TP), quelle est la probabilité que la<br />
personne ait cette maladie (M)?<br />
P(<br />
M<br />
/ TP)<br />
=<br />
P(<br />
TP<br />
/<br />
M ) P(<br />
M )<br />
P(<br />
TP / M ) P(<br />
M ) + P(<br />
TP / M ) P(<br />
M )<br />
0.<br />
9×<br />
0.<br />
0001<br />
P(<br />
M / TP)<br />
=<br />
=<br />
0.<br />
9×<br />
0.<br />
0001+<br />
0.<br />
001×<br />
0.<br />
9999<br />
0.<br />
0826
• Bière Vin Total<br />
Cantine I 400 200 600<br />
cantine II 300 100 400<br />
Total 700 300 1000<br />
Etat <strong>de</strong> la nature<br />
Probabilité a priori (1)<br />
(3)/Σ(3)=Probabilité a posteriori<br />
(1)x(2)=Probabilité jointe (3)<br />
•<br />
Probabilité conditionnelle (2)<br />
• E.N. A priori Conditionnelle Jointe A posteriori<br />
. bière vin bière vin bière vin<br />
C.I 0.6 2/3 1/3 0.4 0.2 4/7 2/3<br />
C.II 0.4 3/4 1/4 0.3 0.1 3/7 1/3<br />
1.0 0.7 0.3 1.0 1.0<br />
numérateur<br />
dénominateur
Comman<strong>de</strong> TI-83/84<br />
• Introduire les <strong>probabilités</strong> a priori dans L1 et<br />
les <strong>probabilités</strong> conditionnelles dans L2 en<br />
utilisant la comman<strong>de</strong> STAT / EDIT.<br />
• Aller dans PRGM et choisir BAYES<br />
• En pressant ENTER vous obtenez les<br />
<strong>probabilités</strong> jointes dans L3 et les <strong>probabilités</strong><br />
a posteriori dans L4<br />
• Ce programme ne fait pas partie <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
programmes standard <strong>de</strong> la TI. Vous <strong>de</strong>vez le<br />
télécharger (voir page web du cours)
Probabilités subjectives<br />
• La formule <strong>de</strong> Bayes permet <strong>de</strong> tenir compte<br />
à la fois <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>probabilités</strong> subjectives et <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
données objectives tirées <strong>de</strong> l’observation <strong>de</strong><br />
phénomènes similaires. Les <strong>probabilités</strong><br />
subjectives sont les <strong>probabilités</strong> a priori et les<br />
données tirées <strong><strong>de</strong>s</strong> observations sont les<br />
<strong>probabilités</strong> conditionnelles.<br />
• On parle alors <strong>de</strong> métho<strong><strong>de</strong>s</strong> bayesiennes.
Exemple avec métho<strong><strong>de</strong>s</strong> classiques<br />
0.6
0.75<br />
0.871 (27/31)
Exemples <strong>de</strong> <strong>probabilités</strong> subjectives<br />
• 1) Rapport du Rectorat <strong>de</strong> l’<strong>Université</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Lausanne</strong> sur l’évolution du système<br />
universitaire suisse (1.10.2001):<br />
• Statu quo: 25%<br />
• <strong>Université</strong>s fédérales: 20%<br />
• Regroupement: 50%<br />
• <strong>Université</strong>s concordataires: 5%<br />
• Disparition: 0%<br />
• 2) Alain Greenspan: 50% <strong>de</strong> probabilité <strong>de</strong><br />
récession
Distributions <strong>de</strong> probabilité<br />
• Lorsqu’une expérience est répétée<br />
plusieurs fois, on obtient une distribution<br />
<strong><strong>de</strong>s</strong> différents résultats.<br />
• Exemple: on jette 4 pièces <strong>de</strong> monnaie et<br />
on compte le nombre <strong>de</strong> « pile » obtenu.<br />
• L’expérience est répétée 2000 fois. La<br />
distribution <strong>de</strong> « pile » (<strong>de</strong> 0 à 4) peut être<br />
comparée avec <strong><strong>de</strong>s</strong> valeurs théoriques.
Somme <strong>de</strong> PILE<br />
800<br />
700<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
2000 JETS DE 4 PIECES DE MONNAIE<br />
0 1 2 3 4<br />
NOMBRE DE PILE PAR JET<br />
EMPIRIQUE<br />
THEORIQUE
•<br />
Somme <strong>de</strong> 6<br />
1000<br />
900<br />
800<br />
700<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
2000 JETS DE 4 DE dés<br />
0 1 2 3 4<br />
NOMBRE DE 6 PAR JET<br />
EMPIRIQUE<br />
THEORIQUE
Modèle théorique<br />
• 4 jets. Nombre <strong>de</strong> « pile » (P=pile, F=face)<br />
• 0: FFFF (1 cas)<br />
• 1: PFFF FPFF FFPF FFFP (4)<br />
• 2: PPFF PFPF PFFP FPPF FFPP FPFP (6)<br />
• 3: PPPF PPFP PFPP FPPP (4)<br />
• 4: PPPP (1)<br />
• Fréquence théorique:<br />
• 0: 1/16 ; 1: 4/16 ; 2: 6/16 ; 3: 4/16 ; 4: 1/16
Moyenne théorique<br />
• Nombre moyen <strong>de</strong> « pile »:<br />
μ =<br />
μ =<br />
μ<br />
=<br />
0×<br />
1+<br />
1×<br />
4<br />
2×<br />
16<br />
• p(x)= probabilité d’obtenir x « pile »<br />
+<br />
6<br />
+ 3×<br />
4<br />
+<br />
4×<br />
1<br />
1 4 6 4 1<br />
0 × + 1×<br />
+ 2×<br />
+ 3×<br />
+ 4×<br />
16 16 16 16 16<br />
∑<br />
4<br />
x=<br />
0<br />
xp(<br />
x)<br />
=<br />
2
Variance théorique<br />
• Variance du nombre <strong>de</strong> « pile »:<br />
1<br />
16<br />
)<br />
2<br />
4<br />
(<br />
)<br />
2<br />
3<br />
(<br />
4<br />
)<br />
2<br />
2<br />
(<br />
6<br />
)<br />
2<br />
1<br />
(<br />
4<br />
)<br />
2<br />
0<br />
(<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
σ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
2<br />
2<br />
(<br />
16<br />
6<br />
)<br />
2<br />
1<br />
(<br />
16<br />
4<br />
)<br />
2<br />
0<br />
(<br />
16<br />
1<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
σ<br />
∑ =<br />
−<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
4<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
)(<br />
(<br />
)<br />
2<br />
4<br />
(<br />
16<br />
1<br />
)<br />
2<br />
3<br />
(<br />
16<br />
4<br />
x<br />
x<br />
x<br />
p μ
Variable aléatoire<br />
• Fonction définie sur le résultat d’un phénomène<br />
aléatoire. Elle définit un nouvel espace d’échantillonnage.<br />
Ex: on jette 2 dés. x=nombre <strong>de</strong> 4<br />
• 11 12 13 14 15 16 x p(x)<br />
• 21 22 23 24 25 26 0 25/36<br />
• 31 32 33 34 35 36 1 10/36<br />
• 41 42 43 44 45 46 2 1/36<br />
• 51 52 53 54 55 56<br />
• 61 62 63 64 65 66 P{44}=1/36
Distribution binomiale<br />
• Soit x le nombre <strong>de</strong> « pile » et n le nombre <strong>de</strong><br />
pièces <strong>de</strong> monnaie. Le nombre <strong>de</strong> cas avec x<br />
« pile » est:<br />
n!<br />
=<br />
x!<br />
( n − x)!<br />
( n ) x<br />
• La probabilité <strong>de</strong> x « pile » est alors:<br />
P(<br />
x)<br />
( ) n<br />
• où p est la probabilité <strong>de</strong> « pile » (1/2)<br />
x<br />
x<br />
= p ( 1−<br />
p)<br />
n−<br />
x
Moyenne et variance<br />
• La moyenne <strong>de</strong> la distribution binomiale est:<br />
=<br />
• et la variance:<br />
σ<br />
2<br />
μ<br />
=<br />
• (q=1-p)<br />
∑<br />
∑<br />
x<br />
2<br />
x<br />
( n )<br />
x<br />
( n )<br />
x<br />
p<br />
p<br />
x<br />
x<br />
( 1<br />
−<br />
p)<br />
n−<br />
x<br />
n−<br />
x<br />
=<br />
( 1−<br />
p)<br />
− μ<br />
np<br />
2<br />
=<br />
npq
Fonction <strong>de</strong> probabilité discrète<br />
• Conditions:<br />
• 1) 0 ≤ P(x) ≤ 1<br />
• 2) Σ P(x) = 1<br />
P(x)<br />
• Exemple: distribution binomiale<br />
• TI83: P(x=s)=binompdf(n,p,s)<br />
• Fonction <strong>de</strong> répartition:<br />
P(<br />
x<br />
≤<br />
s)<br />
=<br />
∑<br />
x=<br />
0<br />
• TI83: P(x ≤ s)=binomcdf(n,p,s)<br />
s<br />
P(<br />
x)
Somme <strong>de</strong> C2<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
DISTRIBUTION BINOMIALE, n=4, p=0.5<br />
0 1 2 3 4<br />
pile
FONCTION DE REPARTITION, DIST. BINOMIALE, n=4, p=0.5<br />
Somme cumulé <strong>de</strong> C2<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
0 1 2 3 4<br />
pile
Comman<strong>de</strong> TI-83/84<br />
Ex: calcul <strong>de</strong> b(x=31,n=80,p=0.4)<br />
• Presser la touche DISTR (2nd Vars)<br />
• Déplacer le curseur jusqu’à 0:binompdf( ou<br />
taper 0). Presser ENTER<br />
• Taper 80,0.4,31) (c’est-à-dire n,p,x)<br />
• En pressant ENTER vous obtenez la<br />
probabilité <strong>de</strong> 31 succès<br />
• P(x=31)=0.08889<br />
• Pdf= Probability Density Function (fonction <strong>de</strong><br />
probabilité)
Comman<strong>de</strong> TI-83/84<br />
• Fonction <strong>de</strong> répartition: P(x≤y)=∑ y x=0 P(x)<br />
• Calcul <strong>de</strong> P(x≤31)=∑b(x,80,0.4)=∑ 31 x=o P(x)<br />
• Presser la touche DISTR (2nd Vars)<br />
• Déplacer le curseur jusqu’à A:binomcdf( ou<br />
taper A)<br />
• Taper 80,0.4,31) (c’est-à-dire n,p,y)<br />
• En pressant la touche ENTER vous obtenez<br />
la probabilité P(x≤31)=0.457621<br />
• CDF=Cumulative Distribution Function<br />
(fonction <strong>de</strong> répartition)
Comman<strong><strong>de</strong>s</strong> MINITAB et EXCEL<br />
• Pour MINITAB, mettre la valeur <strong>de</strong> x (ex. 31) dans la<br />
colonne C1<br />
• Aller dans Calc / Lois <strong>de</strong> probabilité / Binomiale<br />
• Cocher Probabilité (ou Probabilité cumulée)<br />
• Mettre le nombre d’essais (ex. n=80) et la probabilité<br />
<strong>de</strong> succès (ex. p=0.4)<br />
• Sélectionner la colonne d’entrée<br />
En cliquant sur OK vous obtenez P(x) [ou P(x≤31)]<br />
• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques<br />
Loi.Binomiale. Introduire x et p<br />
• Choisir faux dans cumulative pour P(x) et vrai pour<br />
P(x≤31) (fonction <strong>de</strong> répartition)
Applications<br />
• La distribution binomiale s’applique à tous les<br />
phénomènes aléatoires avec <strong>de</strong>ux cas<br />
possibles (« succès » ou « échec »). Lorsqu’il<br />
y a n épreuves et <strong><strong>de</strong>s</strong> événements<br />
statistiquement indépendants, la probabilité <strong>de</strong><br />
x succès est donnée par la distribution<br />
binomiale.<br />
• Exemples: pile ou face, pièce conforme ou<br />
défectueuse, garçon ou fille, achat ou pas,<br />
acceptation ou refus, etc.
NOMBRE DE FILLES DANS 505 FAMILLES AVEC 3 ENFANTS<br />
Dénombrement <strong>de</strong> FILLES<br />
200<br />
100<br />
0<br />
0 1 2 3<br />
FILLES<br />
Données tirées <strong>de</strong> l’enquête sur la consommation <strong>de</strong> 10176 ménages<br />
EMPIRIQUE<br />
THEORIQUE
Distribution continue<br />
f(x)<br />
• La fonction f(x) ne peut pas donner la probabilité<br />
la probabilité est donnée par la surface sous la<br />
courbe qui représente la distribution<br />
• Condition:<br />
• 1) f(x) ≥ 0<br />
• 2)<br />
P(<br />
x ≤ x ≤ x )<br />
1<br />
2<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
=<br />
x<br />
2<br />
∫<br />
x<br />
1<br />
f ( x)<br />
dx = 1<br />
f<br />
( x)<br />
dx
Exemple<br />
• Le nombre <strong>de</strong> jours entre un acci<strong>de</strong>nt rare et le<br />
suivant est décrit par la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité:<br />
f<br />
( x)<br />
• Calculer:<br />
P(<br />
10 ≤<br />
x<br />
=<br />
≤<br />
0.<br />
002e<br />
30)<br />
=<br />
30<br />
P(<br />
x ≤ 30)<br />
= F(<br />
30)<br />
= ∫ 0.<br />
002e<br />
∫<br />
10<br />
30<br />
0<br />
−<br />
0.<br />
002e<br />
0.<br />
002<br />
x<br />
−0.<br />
002x<br />
dx<br />
dx<br />
pour<br />
=<br />
=<br />
− e<br />
− e<br />
x<br />
−0.<br />
002x<br />
−0. 002x<br />
−0.<br />
002x<br />
30<br />
0<br />
≥<br />
30<br />
10<br />
=<br />
=<br />
0<br />
-e -0.06 +e -0.02<br />
0.<br />
384<br />
0.<br />
582
Distribution normale<br />
• Lorsqu’un phénomène subit l’influence <strong>de</strong><br />
nombreux effets, petits et indépendants, il suit une<br />
distribution normale<br />
f<br />
( x)<br />
=<br />
σ<br />
1<br />
2<br />
π<br />
• µ=moyenne ; σ = écart-type<br />
e<br />
⎛ x−<br />
−0.<br />
5⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
μ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2
•<br />
C2<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
DISTRIBUTION NORMALE<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
C1
f(z)<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
DISTRIBUTION NORMALE [N(0,1)]<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
z<br />
95%
f(z)<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
DISTRIBUTION NORMALE [N(0,1)]<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
z<br />
99%
•<br />
Moyenne=médiane=mo<strong>de</strong>
Moyenne et variance<br />
• La distribution normale dépend <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux<br />
paramètres, la moyenne (µ) et la variance (σ 2 ).<br />
• Pour utiliser les tables <strong>de</strong> la distribution normale, il<br />
faut standardiser les valeurs.<br />
• La variable normale standardisée est:<br />
z<br />
= x<br />
−<br />
σ<br />
μ<br />
• Sa distribution a une moyenne nulle et un écarttype<br />
égal à 1.
•<br />
C2<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
MOYENNE DIFFERENTE (0 ET 3)<br />
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6<br />
C1
•<br />
C2<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
ECART-TYPE DIFFERENT (1 ET 1.5)<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
C1
poids en kg 70<br />
BMI = = = 22.9<br />
(taille en mètres) 2 1.75 2<br />
Indice <strong>de</strong> masse corporelle (IMC):<br />
< 20 : maigre<br />
25-30: OK<br />
>30: obèse<br />
33% d’obèses aux E.U.
•
RENDEMENT ACTIONS SUISSES EN 2006 (mu=23.7% , s=28%)<br />
•<br />
Effectif<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-50 0 50 100 150<br />
RENDEMENT
•
•<br />
Effectif<br />
200<br />
100<br />
0<br />
Histogramme <strong>de</strong> age, avec courbe normale<br />
10 15 20 25 30 35 40 45<br />
age
DEPENSE MENSUELLE POUR LE LOYER ET L`ENERGIE<br />
•<br />
Effectif<br />
100<br />
50<br />
0<br />
0 1000 2000<br />
C1
•<br />
Effectif<br />
300<br />
200<br />
100<br />
DISTRIBUTION DES POINTS D`UN EXAMEN<br />
0<br />
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100<br />
POINTS
Comman<strong>de</strong> TI-83/84<br />
• Calcul <strong>de</strong> P(304≤x≤696) [N(500,100)]<br />
• Presser la touche DISTR (2nd Vars)<br />
• Déplacer le curseur jusqu’à 2:normalcdf( ou<br />
taper 2)<br />
• Taper 304,696,500,100) (c’est-à-dire borne<br />
inférieure, borne supérieure, moyenne, écarttype)<br />
• En pressant la touche ENTER vous obtenez<br />
la probabilité P(304≤x≤696)=0.95
Comman<strong><strong>de</strong>s</strong> MINITAB et EXCEL<br />
• Pour MINITAB, mettre les valeurs <strong>de</strong> x 1 et x 2 (ex. 304<br />
et 696) dans la colonne C1<br />
• Aller dans Calc / Lois <strong>de</strong> probabilité / Normale<br />
• Mettre la moyenne et l’écart-type<br />
• Sélectionner la colonne d’entrée et celle <strong>de</strong> stockage<br />
En cliquant sur OK vous obtenez P(x≤304) et P(≤696)<br />
(fonctions <strong>de</strong> répartition)<br />
• Dans la fenêtre Session, taper Let C3=C1(2)-C1(1)<br />
pour obtenir P(304≤x≤696)<br />
• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques<br />
Loi.Normale. Introduire x, µ et σ<br />
• Choisir vrai dans cumulative
•<br />
C2<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
DISTRIBUTION NORMALE<br />
?<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
C1<br />
NORMALCDF(-2,3,0,1)<br />
=0.976
•<br />
C2<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
DISTRIBUTION NORMALE<br />
0.1586<br />
?<br />
-4 -3 -2 0 1 2 3 4<br />
C1<br />
invNorm(0.1586,0,1)=-1
FONCTION DE REPARTITION, DIST. NORMALE N(0,1)<br />
F(x)<br />
1.0<br />
0.5<br />
0.0<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
x
Applications<br />
• La distribution normale est utilisée lorsque le<br />
phénomène aléatoire subit l’influence <strong>de</strong><br />
nombreuses causes indépendantes et très<br />
petites. On verra plus tard une utilisation<br />
importante dans le théorème limite central.<br />
• La distribution normale peut être utilisée<br />
comme approximation <strong>de</strong> beaucoup d’autres<br />
distributions. Par exemple, lorsque n∞ la<br />
distribution binomiale tend vers une<br />
distribution normale avec µ=np et σ 2 =npq. On<br />
obtient un intervalle en ajoutant et en enlevant<br />
0.5 à la valeur <strong>de</strong> x.
•<br />
np=5<br />
npq=2.5<br />
Approximation <strong>de</strong> la distribution<br />
Somme <strong>de</strong> PILE<br />
binomiale par la loi normale<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
2000 JETS DE 10 PIECES DE MONNAIE<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Binompdf(10,0.5,7)=0.117<br />
Normalcdf(6.5,7.5,5,√2.5)=0.114
Test <strong>de</strong> normalité<br />
• On peut tester <strong>de</strong> plusieurs manières si une<br />
distribution suit une loi normale:<br />
• 1) métho<strong><strong>de</strong>s</strong> graphiques: on calcule les scores<br />
normaux (nscore) et on regar<strong>de</strong> si l’on obtient une<br />
droite avec xi et nscorei ou on <strong><strong>de</strong>s</strong>sine la droite<br />
d’Henry en prenant la variable standardisée z.<br />
nscore<br />
zi<br />
= ∫− ∞<br />
1 2<br />
e<br />
2π<br />
−0.<br />
5x<br />
Ex: i=1,2,…,9 (n=9)<br />
dx<br />
3<br />
i −<br />
= 8<br />
1<br />
n +<br />
4<br />
x μ<br />
= −<br />
σ σ<br />
• 2) faire un test comme celui <strong>de</strong> An<strong>de</strong>rson-Darling<br />
;<br />
z
Comman<strong><strong>de</strong>s</strong> MINITAB<br />
• Pour MINITAB, mettre les valeurs dans la colonne<br />
C1<br />
• Aller dans Calc / Calculatrice. Sélectionner dans<br />
Fonction: scores normaux. Mettre C1. Choisir C2<br />
pour le résultat. Faire ensuite un graphique <strong>de</strong> C1 et<br />
C2 avec Graphique / Diagramme.<br />
• Pour la droite <strong>de</strong> Henry et le test <strong>de</strong> normalité<br />
choisir Stat / Statistiques élémentaires / Test <strong>de</strong><br />
normalité<br />
• Vous pouvez aussi choisir Graphique / Diagramme<br />
<strong>de</strong> probabilité. Vous obtenez les intervalles <strong>de</strong><br />
confiance.
Espérance mathématique<br />
• Les paramètres d’une distribution théorique sont<br />
définis en utilisant le concept d’espérance<br />
mathématique. On introduit cette notion avec<br />
l’exemple suivant:<br />
• On jette un dé et on gagne 10 fois le chiffre qui est<br />
sorti. Quelle somme espérez-vous gagner?<br />
1 1 1 1 1 1<br />
10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 = 35 Frs<br />
6 6 6 6 6 6<br />
• En général:<br />
6<br />
E [ g(<br />
x)]<br />
= ∑ g(<br />
x)<br />
p(<br />
x)<br />
(avec g(x)=10 x et p(x)=1/6)<br />
x=<br />
1
• Si g(x)=x on obtient la moyenne théorique:<br />
• Lorsque la distribution est continue on a:<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
E ( x)<br />
( )<br />
• L’opérateur espérance mathématique a les<br />
propriétés suivantes:<br />
• (a) E(c)=c<br />
∑<br />
E(<br />
x)<br />
= xp(<br />
x)<br />
= μ<br />
= xf x dx<br />
• (b) E[cg(x)]=cE[g(x)]<br />
• (c) E[g 1(x)+g 2(x)]=E[g 1(x)]+E[g 2(x)]
Les moments théoriques<br />
• Moment d’ordre n:<br />
• µ n=E[x n ]<br />
• Si n=1 on a la moyenne: µ 1=E(x)=µ<br />
• Moment centré d’ordre n:<br />
• Si n=2 on a la variance:<br />
c<br />
2<br />
c<br />
n<br />
μ =<br />
E[( x − μ)<br />
2<br />
n<br />
]<br />
μ = E[(<br />
x − μ)<br />
] = E(<br />
x ) − μ = σ = μ − μ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2
Distribution <strong>de</strong> probabilité jointe<br />
• Si plusieurs variables influencent le résultat d’une<br />
épreuve il faut utiliser les <strong>probabilités</strong> jointes. La<br />
fonction <strong>de</strong> probabilité jointe doit satisfaire les critères<br />
suivants:<br />
n n<br />
• (a) p(x,y) ≥ 0 ; (b)<br />
∑∑<br />
x=<br />
0 y=<br />
0<br />
• La covariance <strong>de</strong> x et y est:<br />
• Coefficient <strong>de</strong> corrélation:<br />
p(<br />
x,<br />
y)<br />
= 1<br />
{ [ x − E(<br />
x)][<br />
y − E(<br />
y)]<br />
} = E(<br />
xy)<br />
E(<br />
x)<br />
E(<br />
)<br />
cov( x, y)<br />
= E<br />
− y<br />
∑∑<br />
cov( x, y)<br />
p(<br />
x,<br />
y)[<br />
xy]<br />
− μ μ<br />
= x y<br />
x<br />
y<br />
cov( x,<br />
y)<br />
σ xy<br />
ρ (<br />
x,<br />
y)<br />
= =<br />
σ σ σ σ<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y
Probabilité jointe et indépendance<br />
statistique<br />
• A = résultat 1 er dé: 3 ; B = résultat 2 ème dé: 5<br />
• P(A∩B) = P(A) P(B/A) = = P(A) x P(B)<br />
• Soit x=1er dé et y=2ème dé. On a:<br />
1<br />
• P(x=3;y=5)= =P(x=3) x P(y=5)=<br />
36<br />
• E(xy)=<br />
∑∑<br />
x y<br />
p ( x,<br />
y)<br />
xy<br />
• Si x et y sont indépendants on a p(x,y)=p(x)p(y) et:<br />
• E(xy)=∑∑ ( x)<br />
p(<br />
y)<br />
xy = ∑ xp(<br />
x)<br />
∑ yp(<br />
y)<br />
=<br />
p E(<br />
x)<br />
E(<br />
y)<br />
x y x y<br />
1<br />
6<br />
1<br />
6<br />
1<br />
6<br />
1<br />
6
Indépendance et corrélation<br />
• Cov(x,y)=E(xy)-E(x) E(y)<br />
• Indépendance corrélation nulle:<br />
• E(xy)=E(x)E(y) Cov(x,y)=0<br />
• Corrélation non nulle dépendance<br />
• Corrélation nulle ? (souvent indépendance)<br />
• var(ax+by)=a 2 var(x)+b 2 var(y)+2ab cov(x,y)<br />
• Var(ax+by)=a 2 σ x 2 + b 2 σy 2 +2 ab ρxy σ x σ y<br />
• ρ=0 var(ax+by)=a 2 var(x)+b 2 var(y)
C3<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7 8<br />
C4<br />
Pas <strong>de</strong> corrélation<br />
Indépendance<br />
RHO=0<br />
C2<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Dépendance<br />
RHO=0<br />
0 1 2 3 4<br />
C1<br />
5 6 7 8
Distribution marginale
• P(x) =<br />
• f(x) =<br />
• P(y) =<br />
• f(y) =<br />
Distributions marginales<br />
n<br />
∑<br />
y=<br />
0<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
n<br />
∑<br />
x=<br />
0<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
p(<br />
x,<br />
p(<br />
x,<br />
y)<br />
f ( x,<br />
y)<br />
dy<br />
f (<br />
x,<br />
y)<br />
dx<br />
y)
Comman<strong>de</strong> TI-83/84<br />
Le programme LISTABLE décompose le tableau<br />
afin <strong>de</strong> pouvoir utiliser les comman<strong><strong>de</strong>s</strong> pour le<br />
calcul <strong>de</strong> la moyenne, <strong>de</strong> la variance, <strong>de</strong> la<br />
covariance et du coefficient <strong>de</strong> corrélation.<br />
• Mettre le tableau, y compris les valeurs <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
variables, dans la matrice A (ex. 0 0 1 2 3 pour la<br />
première ligne et 2 340 505 645 190 pour la<br />
<strong>de</strong>rnière ligne).<br />
• Aller dans PRGM et choisir LISTABLE<br />
• En pressant ENTER vous obtenez les données<br />
désagrégées <strong>de</strong> X dans L1, celles <strong>de</strong> Y dans L2 et<br />
le fréquences dans L3.
Distribution <strong>de</strong> Poisson<br />
• La distribution <strong>de</strong> Poisson est une<br />
distribution discrète très utilisée dans le<br />
cas d’événements rares, d’acci<strong>de</strong>nts,<br />
d’erreurs, <strong>de</strong> rupture <strong>de</strong> machines ou <strong>de</strong><br />
circuits. Sa fonction <strong>de</strong> probabilité est:<br />
• P(x)=e -µ µ x /x! Pour x=0,1,2,…<br />
• La moyenne est µ et la variance aussi
•<br />
Distribution <strong>de</strong> Poisson<br />
NOMBRE DE DECES EN OUVRANT LA PORTE DE L`AUTO<br />
Dénombrement <strong>de</strong> DECES<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
P(x)=e -µ µ x / x!<br />
0 1 2 3<br />
DECES<br />
EMPIRIQUE<br />
THEORIQUE
Comman<strong>de</strong> TI-83/84<br />
• x=2 ; µ=3 ; P(2) = ?<br />
• Presser la touche DISTR (2nd Vars)<br />
• Déplacer le curseur jusqu’à B:poissonpdf(<br />
• Taper 3,2)<br />
• En pressant ENTER, vous obtenez P(x=2)=0.224<br />
• Fonction <strong>de</strong> répartition: P(x≤y)=∑ y x=0 P(x)<br />
• Calcul <strong>de</strong> P(x≤2)=∑ 2 x=o P(x)<br />
• Presser la touche DISTR (2nd Vars)<br />
• Déplacer le curseur jusqu’à C:poissoncdf(<br />
• Taper 3,2)<br />
• En pressant la touche ENTER vous obtenez la<br />
probabilité P(x≤2)=0.423
Comman<strong><strong>de</strong>s</strong> MINITAB et EXCEL<br />
• Pour MINITAB, mettre la valeur <strong>de</strong> x (ex. 2) dans la<br />
colonne C1<br />
• Aller dans Calc / Lois <strong>de</strong> probabilité / Poisson<br />
• Cocher Probabilité (ou Probabilité cumulée)<br />
• Mettre la moyenne<br />
• Sélectionner la colonne d’entrée (C1)<br />
En cliquant sur OK vous obtenez P(x) [ou P(x≤2)]<br />
• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques<br />
Loi.Poisson. Introduire x et µ (ex. 2 et 3)<br />
• Choisir faux dans cumulative pour P(x) et vrai pour<br />
P(x≤2) (fonction <strong>de</strong> répartition)
Approximation <strong>de</strong> la distribution<br />
binomiale par la distribution <strong>de</strong> Poisson<br />
• Lorsque n est grand et p petit <strong>de</strong> telle<br />
sorte que np < 5, on ne peut pas prendre<br />
l’approximation <strong>de</strong> la loi binomiale par la<br />
loi normale. Dans ce cas, il faut prendre la<br />
distribution <strong>de</strong> Poisson.<br />
• Exemple: binompdf(200,0.01,3)=0.18136<br />
• µ=np=2 ; poissonpdf(2,3)=0.18045
Distribution exponentielle<br />
• Cette distribution continue est utilisée pour<br />
<strong><strong>de</strong>s</strong> problèmes <strong>de</strong> queues (files d’attente)<br />
ou du temps qui passe entre un<br />
événement et le suivant. La <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong><br />
probabilité est:<br />
• f(x)=λe -λx pour x≥ 0<br />
• On a alors P(a≤x≤b)=e -aλ -e -bλ<br />
• Sa moyenne et son écart-type sont 1/λ
•<br />
C2<br />
0.003<br />
0.002<br />
0.001<br />
Distribution exponentielle<br />
JOURS ENTRE UN ACCIDENT ET LE SUIVANT<br />
0 100 200 300 400<br />
jours
Comman<strong><strong>de</strong>s</strong> MINITAB et EXCEL<br />
• Pour MINITAB, mettre les valeurs <strong>de</strong> x 1 et x 2 (ex. 15 et<br />
30) dans la colonne C1<br />
• Aller dans Calc / Lois <strong>de</strong> probabilité / Exponentielle<br />
• Mettre la moyenne (ex. 10)<br />
• Sélectionner la colonne d’entrée et celle <strong>de</strong> stockage<br />
En cliquant sur OK vous obtenez P(x≤15) et P(≤30)<br />
(fonctions <strong>de</strong> répartition)<br />
• Dans la fenêtre Session, taper Let C3=C1(2)-C1(1)<br />
pour obtenir P(15≤x≤30)<br />
• Dans EXCEL, choisir parmi les formules statistiques<br />
Loi.Exponentielle. Introduire x et λ (1/µ)<br />
• Choisir vrai dans cumulative
Distribution binomiale négative<br />
• Si l’on s’intéresse au nombre d’échecs (x) avant<br />
d’obtenir certain nombre (r) <strong>de</strong> succès, il faut utiliser<br />
la distribution binomiale négative:<br />
• µ=rq/p ; σ 2 = rq/p 2<br />
( x+<br />
r−1<br />
) p<br />
r<br />
− p<br />
x<br />
P ( x)<br />
= ( 1 )<br />
r−1
Distribution hypergéométrique<br />
• Si l’échantillon est exhaustif, on ne peut pas utiliser la<br />
distribution binomiale car les épreuves ne sont pas<br />
indépendantes. Il faut alors prendre la distribution<br />
hypergéométrique:<br />
P(<br />
x)<br />
=<br />
( X )( N − X )<br />
x n−<br />
x<br />
( N )<br />
n<br />
• N et X se réfèrent à la population et n, x à l’échantillon<br />
• On a µ=np et σ 2 = npq(N-n)/(N-1). Si N∞, on obtient<br />
la distribution binomiale (voir polycopié, p. 216)
•<br />
Distribution hypergéométrique<br />
Somme <strong>de</strong> PIECES DEF.<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0.0<br />
ECHANTILLON DE 5 PIECES (N=20, X=4)<br />
0 1 2 3 4 5<br />
NOMBRE DE PIECES DEFECTUEUSES<br />
BINOMIALE<br />
HYPERGEOM.
Distribution lognormale<br />
• Distribution continue non symétrique utilisée pour la<br />
distribution <strong><strong>de</strong>s</strong> revenus ou les pertes bancaires sur<br />
débiteurs.<br />
•<br />
•<br />
f<br />
( x)<br />
=<br />
x<br />
2<br />
σ<br />
1<br />
2<br />
π<br />
e<br />
−(ln<br />
x−μ<br />
)<br />
2<br />
/ 2<br />
μ + 0.<br />
5σ<br />
2 ( 2μ<br />
+ σ ) σ<br />
μ = e<br />
; σ = e ( e<br />
2<br />
σ<br />
2<br />
2<br />
−<br />
1)
•<br />
Effectif<br />
1000<br />
500<br />
0<br />
Distribution lognormale<br />
REVENU MENSUEL SELON ERC98<br />
0 10000 20000 30000 40000 50000<br />
REVENU
ACRA<br />
ACRA: Actuarial Credit Risk Accounting
Distribution uniforme<br />
• Distribution très simple, utilisée pour les erreurs<br />
d’arrondis. Sa <strong>de</strong>nsité est constante:<br />
1/(b-a)<br />
1<br />
f ( x)<br />
= a ≤ x ≤<br />
b − a<br />
a b<br />
a + b<br />
2 ( b − a)<br />
μ = ; σ =<br />
2<br />
12<br />
2<br />
b<br />
x
Métho<strong><strong>de</strong>s</strong> bayesiennes<br />
• L’analyse statistique est souvent utilisée pour prendre <strong><strong>de</strong>s</strong> décisions en<br />
situation d’incertitu<strong>de</strong>. Les métho<strong><strong>de</strong>s</strong> bayesiennes proposent un critère <strong>de</strong><br />
décision: la maximisation du profit espéré ou <strong>de</strong> l’utilité espérée.<br />
• Exemple: un boulanger doit déci<strong>de</strong>r s’il doit produire une ou <strong>de</strong>ux fournées<br />
(200 ou 400 kg <strong>de</strong> pain). S’il fait beau, il peut vendre 400 kg tandis que s’il<br />
pleut il vend 180 kg. Le prix <strong>de</strong> vente est <strong>de</strong> 5 Fr et le coût <strong>de</strong> fabrication <strong>de</strong><br />
4 Fr. Les invendus sont repris par un paysan au prix <strong>de</strong> 3.50 Fr.<br />
• On peut calculer le profit brut en fonction <strong>de</strong> la décision prise et du temps<br />
qu’il fera. Voici la table <strong>de</strong> payoff et celle <strong><strong>de</strong>s</strong> pertes implicites:<br />
Profit brut<br />
• État <strong>de</strong> la nature action Pertes implicites<br />
• A (200 kg) B (400 kg) A B<br />
• beau temps (p) 200 400 200 0<br />
• pluie (1-p) 170 70 0 100<br />
• E(π A ) = 200p + 170(1-p) E(L A )=200p<br />
• E(π B ) = 400p + 70(1-p) E(L B )=100(1-p)<br />
• Si p=1/3 on a E(π A )=E(π B ) et E(L A )=E(L B )
• Décision à prendre, en fonction <strong>de</strong> <strong>probabilités</strong>:<br />
• E(π A)=200p + 170(1-p) ; E(L A)=200p<br />
• E(π B)=400p+70(1-p) ; E(L B)=100(1-p)<br />
• Profit brut Pertes implicites<br />
• p A B A B coût incertitu<strong>de</strong><br />
• 0.0 170 70 0 100 0<br />
• 0.2 176 136 40 80 40<br />
• 1/3 180 180 66 2 /3 66 2 /3 66 2 /3<br />
• 0.4 182 202 80 60 60<br />
• 1.0 200 400 200 0 0<br />
• maximisation minimisation<br />
• profit espéré pertes implicites
Coût <strong>de</strong> l’incertitu<strong>de</strong><br />
• Le coût <strong>de</strong> l’incertitu<strong>de</strong> donne la somme maximale<br />
qu’on peut payer pour éliminer l’incertitu<strong>de</strong>. Il<br />
correspond à la valeur espérée <strong>de</strong> l’information<br />
parfaite (EVPI = expected value of perfect<br />
information).<br />
• Deux possibilités <strong>de</strong> calculer cette valeur:<br />
• 1) EVPI= perte implicite minimale<br />
• 2) EVPI=EPPI-EP*<br />
• EPPI=expected profit with perfect information<br />
• EP* = profit espéré avec décision optimale
Distribution a priori discrète<br />
• Il y a souvent <strong>de</strong> nombreux états <strong>de</strong> la nature. Supposons que les <strong>probabilités</strong><br />
<strong>de</strong> ces états soient données par une distribution discrète.<br />
• Exemple: La <strong>de</strong>man<strong>de</strong> <strong>de</strong> pain varie entre 180 kg et 400 kg. Le prix <strong>de</strong> vente<br />
est <strong>de</strong> 5 Fr et le coût <strong>de</strong> fabrication <strong>de</strong> 4 Fr. Les invendus sont repris par un<br />
paysan au prix <strong>de</strong> 3.50 Fr. Quelle quantité faut-il produire?<br />
• Calculons le profit brut et les pertes implicites espérées.<br />
• État profit brut pertes implicites espérées<br />
• nature p action (production) action (production)<br />
<strong>de</strong>man<strong>de</strong> 180 200 250 300 350 400 180 200 250 300 350 400<br />
• 180 0.1 180 170 145 120 95 70 0 10 35 60 85 110<br />
• 200 0.2 180 200 175 150 125 100 20 0 25 50 75 100<br />
• 250 0.2 180 200 250 225 200 175 70 50 0 25 50 75<br />
• 300 0.2 180 200 250 300 275 250 120 100 50 0 25 50<br />
• 350 0.2 180 200 250 300 350 325 170 150 100 50 0 25<br />
• 400 0.1 180 200 250 300 350 400 220 200 150 100 50 0<br />
• Total 1.0 180 197 225 237 235 217 98 81 54 41 44 61<br />
• Tableau <strong><strong>de</strong>s</strong> pertes implicites: maximum <strong>de</strong> la ligne du profit brut – valeur <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
éléments <strong>de</strong> la ligne Le tableau <strong><strong>de</strong>s</strong> pertes implicites ne contient jamais <strong>de</strong><br />
valeurs Cnégatives o =0.5 ; ! Cu = 1 ; [Cu /(Co +Cu )]=0.67 ; F(300)=0.7<br />
• EPPI=0.1x180+0.2x200+0.2x250+0.2x300+0.2x350+0.1x400=278<br />
• EVPI=278-237=41
Comman<strong>de</strong> TI-83/84<br />
• Mettre les <strong>probabilités</strong> a priori dans la matrice<br />
A (vecteur-ligne: toutes les valeurs sur une<br />
ligne; matrice 1 x N où N=nombre d’états)<br />
• Mettre dans la matrice B les profits bruts<br />
• Exécuter le programme DECISION<br />
• Les profits bruts espérés sont dans la matrice<br />
C (vecteur-ligne)<br />
• Les pertes implicites sont dans la matrice D<br />
• Les pertes implicites espérées sont dans la<br />
matrice E (vecteur-ligne)
Perte implicite en <strong>de</strong>ux parties<br />
• Si les pertes implicites sont linéaires en <strong>de</strong>ux parties<br />
on a:<br />
• C o (a-x) si x < a<br />
0 si x = a<br />
• C u (x-a) si x > a<br />
• où<br />
L(<br />
a,<br />
x)<br />
=<br />
{<br />
• C o = perte implicite si on produit une unité <strong>de</strong> trop<br />
C u = perte implicite si on produit une unité <strong>de</strong> moins<br />
a = quantité choisie (production)<br />
x = <strong>de</strong>man<strong>de</strong>.
L’utilité<br />
• La maximisation du profit espéré peut conduire à<br />
<strong><strong>de</strong>s</strong> décisions peu réalistes.<br />
• Paradoxe <strong>de</strong> Bernoulli: on jette une pièce <strong>de</strong><br />
monnaie et on gagne 2 n où n est le nombre <strong>de</strong> jets<br />
nécessaires pour obtenir « pile ».<br />
E(g<br />
)<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
×<br />
2<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
+ ⋅⋅⋅<br />
=<br />
• Mais si le casino met une limite à 2 30 (~1 milliard),<br />
alors le gain espéré n’est plus que <strong>de</strong> 30.<br />
×<br />
2<br />
2<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3<br />
×<br />
2<br />
3<br />
∞
• Bernoulli propose alors <strong>de</strong> prendre l’utilité du<br />
gain: u=ln(g).<br />
• Cette valeur pourrait être obtenue en proposant<br />
<strong>de</strong> choisir entre une somme certaine X et un<br />
billet ayant une chance p <strong>de</strong> gagner une<br />
certaine somme (ex. 500 Fr). Indifférence:<br />
• Si 70 ~ 500 avec p=0.14 profit espéré<br />
• Si 70 ~ 500 avec p=0.32 aversion au risque<br />
• Si 200 ~ 500 avec p=0.40 profit espéré<br />
• Si 200 ~ 500 avec p=0.64 aversion au risque<br />
• Si 400 ~ 500 avec p=0.80 profit espéré<br />
• Si 400 ~ 500 avec p=0.91 aversion au risque
u(g), p<br />
argent certain
Décision avec utilité espérée<br />
• État <strong>de</strong> la nature action Utilité<br />
• A (200 kg) B (400 kg) A B<br />
• beau temps (p) 200 400 0.64 0.91<br />
• pluie (1-p) 170 70 0.58 0.32<br />
• E(u A) = 0.64p + 0.58(1-p)<br />
• E(u B) = 0.91p + 0.32(1-p)<br />
• Si p=0.49 on a E(u A)=E(u B)<br />
• Si p > 0.49 on produit 400 kg (B).
Diagramme <strong>de</strong> décision<br />
• Construire un arbre <strong>de</strong> décision. Un carré<br />
représente une décision à prendre et un<br />
cercle un événement aléatoire.<br />
• Introduire ensuite les éléments financiers et<br />
les <strong>probabilités</strong>.<br />
• En commençant par la fin et en remontant<br />
vers l’origine, calculer la valeur espérée si<br />
événement aléatoire ou couper les branches<br />
moins profitables si décision à prendre.
•<br />
2 1 /30<br />
2 1 /30<br />
4 1 /6<br />
-0.1<br />
VENDRE<br />
4 1 /6<br />
-0.5<br />
0.5