corriges

CORRIGES 

Attention : ces corrigés ne sont pas rédigés comme des corrigés type. L'enchaînement 

logique n'est pas forcément respecté et les justifications nécessaires à un bon corrigé type ne 

sont pas toujours explicitées. 

forcément forcément forcément forcément forcémentf 

Corrigé 0 

Considérons l'équilibre suivant : ML M + L (constante de dissociation k) 

[M] [L] 

avec k = 

[ML] = 10-6 M. 

A) M T = 10 -8 M 

ν = 1 

4 : [ML] = 0,25 10-8 et [M] = 0,75 10 -8 

d'où [L] = 0,25 

0,75 10-6 = 0,33 10 -6 et [L T ] = 0,3325 10 -6 

ν = 3 

4 : [ML] = 0,75 10-8 et [M] = 0,25 10 -8 

d'où [L] = 0,75 

0,25 10-6 = 3 10 -6 et [L T ] = 3,0075 10 -6 

B) M T = 10 -6 M 

ν = 1 

4 : [ML] = 0,25 10-6 et [M] = 0,75 10 -6 

d'où [L] = 0,25 

0,75 10-6 = 0,33 10 -6 et [L T ] = 0,58 10 -6 

ν = 3 

4 : [ML] = 0,75 10-6 et [M] = 0,25 10 -6 

d'où [L] = 0,75 

0,25 10-6 = 3 10 -6 et [L T ] = 3,75 10 -6 

C) M T = 10 -4 M 

ν = 1 

4 : [ML] = 0,25 10-4 et [M] = 0,75 10 -4 

d'où [L] = 0,25 

0,75 10-6 = 0,33 10 -6 et [L T ] = 25,33 10 -6 

ν = 3 

4 : [ML] = 0,75 10-4 et [M] = 0,25 10 -4 

d'où [L] = 0,75 

0,25 10-6 = 3 10 -6 et [L T ] = 78, 10 -6 

Si dans les expériences, nous mesurons [L T ] et [L] avec une précison de 5%, nous voyons 

que seules les conditions du cas B conviennent à notre expérimentation (M T concentration 

totale de macromolécule de l'ordre de la constante de dissociation). 

___________________________________________________________________________ 

Equilibres Multiples (Corrigés) - 48 -

Déterminons l'intervalle des valeurs de L T pour effectuer un bon titrage : c'est à dire parcourir 

les valeurs de ν de 0,1 à 0,9 dans les conditions du cas B. 

ν = 1 

10 : [ML] = 0,1 10-6 et [M] = 0,9 10 -6 

d'où [L] = 0,1 

0,9 10-6 = 0,11 10 -6 et [L T ] = 0,21 10 -6 

ν = 9 

10 : [ML] = 0,9 10-6 et [M] = 0,1 10 -6 

d'où [L] = 0,9 

0,1 10-6 = 9 10 -6 et [L T ] = 9,9 10 -6 

Il faut donc parcourir au moins l'intervalle [10 -7 ... 10 -5 ] pour L T , concentration totale de 

ligand 

Traitement plus correct 

Calculons [L] et [L T ] en fonction de ν, k et M T 

[ML] = ν [M T ] et [M] = [M T ] - [ML] = (1-ν)[M T ] 

d'où [L] = k ν [M T ] 

(1-ν)[M T ] 

= k ν 

1-ν 

[L T ] = [L] + [ML] = k ν 

1-ν + ν [M T ] 

Dans l'exemple choisi, k est égal à 10-6 M. L'intervalle de variation de ν est [0,1...0,9]. 

L'équation nous donnant [LT ] devient : 10-6 ν 

1-ν + ν [MT ] , ces deux termes seront du 

même ordre de grandeur si nous choisissons des conditions expérimentales où la concentration 

totale de la macromolécule ([M T ] ) est de l'ordre de 10 -6 M. 

Remarque : si les expériences sont faites avec une concentration totale de ligand fixe et une 

concentration totale de macromolécule variable et que nous mesurons toujours la concentration 

de ligand libre libre et celle du ligand lié, alors pour faire un bon scatchard il sufit de prendre la 

concentration totale du ligand inférieure à la valeur de la constante de dissociation successive 

(voir partie III de l'exercice n° 10). 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 1 

Le polynôme de "binding" s'écrit à l'aide des constantes successives de dissociation de la 

manière suivante : Φ = c 2 + K 2 c + K 2 K 1 

Faisons une remarque sur Φ. Ce polynôme du second degré a : 

- deux racines réelles si K 2 > 4 K 1 

- pas de racines réelles si K 2 < 4 K 1 

- une racine réelle double si K 2 = 4 K 1 

Le nombre moyen de ligand fixé est ν = c 

Φ dΦ dc = 

Représentation de Scatchard 

c (2c + K 2 ) 

c 2 + K 2 c + K 2 K 1 

La représentation de Scatchard f(ν, ν 

ν 

c 

) = 0 s'écrit dans ce cas particulier en posant y = 

c 

ν 2 + ν (K2 y - 2) + K 2 K 1 y 2 - K 2 y = 0 

Nous allons discuter le graphe ν = g(y) suivant les valeurs de K 2 et K 1 : c'est l'équation 

d'une conique. 

ν = 1 

2 [ 2 - K2 y ± K2 

2 y2 + 4 - 4 K2 K1 y2 ] 

Nous voyons que ν ∈ ℜ existe quel que soit y si K 2 

2 y2 + 4 - 4 K 2 K 1 y 2 ≥ 0 

Etudions le signe du binôme y2 ( K 2 

2 - 4 K2 K1 ) + 4 ; 

ses racines sont y = ± 

2 

4 K 2 K 1 - K 2 

2 

___________________________________________________________________________ 


La représentation de Scatchard donne les allures de courbe suivantes : 

1) 4 K 1 < K 2 

le binôme est toujours positif : ν existe quelle que soient les valeurs de y : 

la conique est une hyperbole a deux racines réelles 

2) 4 K1 > K2 le binôme est positif entre les racines : ν existe pour des valeurs de y comprises entre 

2 

y1 = - 

4 K2 K1 - K 2 

2 

et y2 = 

2 

4 K2 K1 - K 2 

2 

la conique est une ellipse n'a pas de racines réelles 

3) 4 K 1 = K 2 

soit k = 2K 1 = K 2 

2 Φ est égal à (c + k)2 , l'équation de la conique devient ν = 2 - k y 

la conique se réduit à une droite a une racine réelle double 

La courbe de titrage apparaîtra comme la courbe de titrage de 

- deux sites différents et indépendants si 4 K 1 < K 2 

- deux sites avec interaction si 4 K 1 > K 2 

- deux sites identiques et sans interaction si 4 K 1 = K 2 

___________________________________________________________________________ 


Propriétés de la conique 

- Centre de symétrie : { y = 0 , ν = 1} 

- Tangente : 

ν' = - K 2 

2 ± 

2K 2 y - 8K 2 K 1 y 

K 2 

2 y2 + 4 - 4 K 2 K 1 y 2 

{ y = 0 , ν = 2 : ν' = - K 2 

2 } 

{ y = 1 

K 1 , ν = 0 : ν' = K 2 K 1 

2K 1 - K 2 ( si K 2 >> K 1 alors ν' = - K 1 ) } 

- Equation des asymptotes de l'hyperbole 

lim ( ν 

y ) (y → ∞) = - K 2 

2 ± K 2 

2 1 - 4K 1 

K 2 

Dans le cas où K 2 >> K 1 , l'équation des asymptotes se réduit à 

ν = - K 1 y + 1 

ν = ( K 1 - K 2) y + 1 

Calcul des constantes de dissociation individuelles à partir des 

successives 

Les constantes de dissociation individuelles sont les racines du polynôme de "binding" au signe 

près : nous allons donc les calculer dans les conditions où 4 K 1 ≤ K 2 

a) 4 K 1 = K 2 

Le polynôme de "binding" a une racine double réelle k = 2 K 1 = K 2 

2 

b) 4 K 1 K 2 

Le polynôme de "binding" a deux racines réelles, les k 1 , k 2 constantes de dissociation 

individuelles satisfaisont au système d'équations : 

d'où 

k 1 + k 2 = K 2 

k 1 k 2 = K 2 K 1 

k 1 = K 2 

2 - K 2 

2 1 - 4K 1 

K 2 et k 2 = K 2 

2 + K 2 

2 1 - 4K 1 

K 2 

___________________________________________________________________________ 


Représentation de Hill 

Nous allons voir l'allure des courbes dans la représentation de Hill. 

Le fraction de saturation Y est définie par Y = ν 

n 

Calculons l'expression Y 

1 - Y : 

Y 

1 - Y 

= 2 

2 - ν 

2c 

avec ν = 

2 + K2 c 

c2 + K2 c + K2K1 Calculons l'expression 2 - ν : 2 - ν = K 2 c + 2K 2 K 1 

Φ 

d'où l'expression 

Calculons la limite de 

Y 

1 - Y = 

Y 

1 - Y 

pour c → 0 Y 

1 - Y 

pour c → ∞ Y 

1 - Y 

2c2 + K 2 c 

K 2 c + 2K 2 K 1 

pour c → 0 et c → ∞ 

~ 

~ 

K2 c 

2K2K1 2c2 K2 c 

dans ce cas n = 2 d'où Y = ν 

2 

= 2c2 + K 2 c 

Φ 

= 

= 

1 

2K 

c 

1 

(d1) 

2 

K 

c 

2 

(d2) 

Dans la représentation de Hill, nous obtenons l'équation de deux droites de pente 1 et 

d'ordonnées à l'origine respectives log( 1 

2K 1 ) et log( 2 

K 2 ) . 

___________________________________________________________________________ 


Allure des graphes dans la représentation de Hill 

1) 4 K 1 = K 2 

C'est le cas où le polynôme de "binding a une racine double réelle (2 sites identiques et 

indépendants). L'expression de 

Y 

1 - Y 

se simplifie et nous obtenons : 

Y c 

1 - Y 

= 

k 

La représentation de Hill log( 

Y 

1 - Y ) = f(logc) est une droite de pente 1 et d'ordonnée à 

l'origine log( 1 

k ). 

2) 4 K 1 > K 2 

Nous sommes dans le cas où le polynôme de "binding" n'a pas de racines réelles, donc de 

deux sites avec interaction. L'allure de la courbe est sigmoïdale et se situe entre les deux droites 

(d1) et (d2). La relation 4 K 1 > K 2 implique 2 K 1 > K 2 

2 

ou encore 1 

2 K 1 < 2 

K 2 . 

___________________________________________________________________________ 


3) 4 K 1 < K 2 

Nous sommes dans le cas où le polynôme de "binding" a deux racines réelles (sites différents 

sans interaction). L'allure de la courbe est sigmoïdale et se situe entre les deux droites (d1) et 

(d2). La relation 4 K 1 < K 2 implique 2 K 1 < K 2 

2 

ou encore 1 

2 K 1 > 2 

K 2 . 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 2 

1) Φ s'écrit : Φ = (c + k 1) n 1 (c + k 2) n 2 

2) Le nombre moyen de ligands fixés par unité de macromolécule (ν) est égal à : 

ν = c 

Φ dΦ dc = n1c c+k 

+ 

1 n2c c+k 

(I) 

2 

(I) ⇔ (II) ν c2 + ν c (k1 +k2 ) + ν k1k2 = (n1 +n2 ) c2 + (n1k2 +n2k1 ) c 

ou encore (III) ν + ν 

c (k1 +k ν 

2 ) + 

c 1 

c k1k2 = n1 +n2 + n1k2 +n2k1 c 

3) Supposons k 1 et k 2 différents et k 1 petit devant k 2 (k 1

dν 

d( ν 

dν 

= 

dc 

c ) 

dν 

dc = N 

∑ 

i=1 

d'où dν 

d( ν 

c 

x 1 

d( ν 

c ) 

dc 

ni ki et 

(c + ki ) 2 

) = - 

N 

∑ 

i=1 

N 

∑ 

i=1 

: calculons dν 

dc 

n i k i 

(c + k i ) 2 

d( ν 

c ) 

dc = - N 

∑ 

i=1 

n i 

(c + k i ) 2 

d(ν 

c 

et ) 

dc 

, nous obtenons : 

n i 

(c + k i ) 2 

Calculons la limite de dν 

d( ν 

pour des valeurs de c infinies et des valeurs de c petites 

c ) 

Pour c → ∞ 

dν 

d( ν 

N 

∑ ni ki i=1 

→ - N 

c ) ∑ ni i=1 

c → 0 

dν 

d( ν 

→ - 

c ) 

N 

∑ 

i=1 

N 

∑ 

i=1 

Dans notre cas particulier de deux familles de sites (k1 et k2 avec k1 petit devant k2 ) : 

Pour c petit : la représentation de Scatchard est une droite de pente - k1 pour c grand : .... pente - k1 + k2 2 − ~ - k2 2 

Peut-on calculer la valeur de n 1 ? 

Pour c = 0 , ν 

c = N 

∑ 

i=1 

n i 

k i 

n i 

k i 

n i 

k 2 

i 

___________________________________________________________________________ 


Le point d'intersection (νT ) de la tangente pour c petit avec l'axe des ν est égal à : 

N 

∑ 

i=1 

- 

ni ki N 

∑ 

i=1 

ni k 2 

0 - νT = 

N 

∑ 

i 

i=1 

n d'où 

i 

k 

- 0 

i 

ν T = 

N 

(∑ 

i=1 

N 

∑ 

i=1 

n i 

k i ) 2 

n i 

k 2 

i 

pour notre cas particulier ν T = 

si k 1 est petit devant k 2 nous avons : ν T − ~ n 1 

Par un développement limité nous obtenons : ν T − ~ n 1 

ce qui indique que ν T est un majorant de la valeur de n 1 

( n 1 

k 1 + n 2 

k 2 ) 2 

n1 k 2 

+ 

1 

n2 k 2 

2 

(1 + 2 n 2 k 1 

n 1 k 2 ) 

(1 + n 2 k2 

1 

n 1 k 2 

2 

___________________________________________________________________________ 

Equilibres Multiples (Corrigés) - 58 - 

)

Corrigé 3 

Φ s'écrit à une constante près comme la somme de deux polynomes de "binding", chacun 

attaché à une conformation. 

Φ = (c + k I ) n + Ct (c + k II ) n 

ν = c 

Φ dΦ dc = n c (c + kI )n-1 + Ct (c + kII ) n-1 

(c + kI ) n + Ct (c + kII ) n 

Cas paticulier k I = k II = k 

Φ = (1 + Ct ) (c + k ) n 

ν = c 

Φ dΦ dc 

(1 + Ct ) (c + k )n-1 n c 

= n c = 

(1 + Ct ) (c + k ) n c + k 

Nous obtenons une courbe de titrage identique à celle d'une macromolécule portant n sites 

identiques et indépendants et se présentatnt sous une seule conformation. 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 4 

Pour chacun des deux ligands traçons une représentation de Scatchard : 

Sulfate 

__________________________________________________________ 

Sulfate libre (mM) 0,1 0,2 0,5 1 2 5 

__________________________________________________________ 

Nb de ligands fixés (ν) 1 1,8 3,1 4,1 4,9 5,5 

__________________________________________________________ 

ν 

c x 10-3 (M -1 ) 10 9 6 4 2,4 1,1 

__________________________________________________________ 

Le tracé de Scatchard est une droite d'ordonnée à l'origine égale à 6 et de pente égale à la valeur 

de - 4 10 -4 M. 

Modèle le plus simple corroboré par les expériences : la macromolécule porte six sites de 

fixation du ligand (ν → n lorsque ν 

c 

→ 0 ou encore lorsque c → ∞). Le tracé étant une 

droite, le modèle le plus simple est un modèle à six sites identiques et sans interaction avec une 

constante de dissociation individuelle égale à 4 10 -4 M. 

Hexitol diphosphate 

__________________________________________________________ 

Hexitol diphosphate (µM) 0,2 0,5 1 2 5 10 

__________________________________________________________ 

Nb de ligands fixés (ν) 0,4 0,9 1,35 1,9 2,4 2,7 

__________________________________________________________ 

ν 

c x 10-5 (M -1 ) 20 18 13,5 9,5 4,8 2,7 

__________________________________________________________ 

Le tracé de Scatchard est une droite d'ordonnée à l'origine égale à 3 et de pente égale à la valeur 

de - 1,3 10 -7 M. 

Modèle le plus simple corroboré par les expériences : la macromolécule porte six sites de 

fixation du ligand (ν → n lorsque ν 

c 

→ 0 ou encore lorsque c → ∞). Le tracé étant une 

droite, le modèle le plus simple est un modèle à trois sites identiques et sans interaction avec 

une constante de dissociation individuelle égale à 1,3 10 -7 M. 

Remarque : l'affinité de l'hexitol diphosphate est nettement plus élevée que celle du phosphate 

et celui-ci porte deux groupements phosphate. 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 5 

Traçons une représentation de Scatchard : 

________________________________________________________________ 

CTP libre (µM) 0,24 1 2,45 8,2 44 125 216 

________________________________________________________________ 

Nb de ligands fixés (ν) 0,62 1,6 2,3 3,1 4,35 5,1 5,35 

________________________________________________________________ 

ν 

c x 10-4 (M -1 ) 250 160 94 37 9,9 4 2 

________________________________________________________________ 

Le tracé de Scatchard n'est pas une droite, le nombre de sites portés par la macromolécule est 

six. Si nous nous intéressons aux fortes et faibles concentrations de ligand libre, le tracé se 

confond dans chacune des deux zones avec une droite. Pour la zone de faible concentration, 

nous avons une droite nous indiquant la présence de trois sites. 

Modèle le plus simple corroboré par les expériences : la macromolécule porte deux familles de 

trois sites identiques et sans interaction. Nous pouvons approximer en considérant que les 

constantes de dissociation individuelles sont assez différentes (voir énoncé n° 2). 

- Une famille de trois sites identiques et indépendants; constante de dissociation 

individuelle égale à 10 -6 M (c petit ou ν 

c grand). 

- Une deuxième famille de trois sites identiques et indépendants; constante de 

dissociation individuelle égale à 2,5 10 -5 M (c grand ou ν 

c petit). 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 6 

Traçons une représentation de Scatchard : 

_________________________________________________________ 

Ligand lié x 10 4 (M) 0,45 1,2 2,4 3,45 5,4 5,7 

_________________________________________________________ 

Ligand libre x 10 4 (M) 0,0068 0,026 0,1 0,41 3,6 6,3 

_________________________________________________________ 

ν 0,15 0,4 0,8 1,15 1,8 1,9 

_________________________________________________________ 

ν 

c x 10-4 (M -1 ) 22 15 8 2,8 0,5 0,3 

_________________________________________________________ 

Le tracé de Scatchard nous indique que la protéine porte deux sites. Dans le cas de deux sites, 

le tracé est une conique (voir énoncé n°1) : ici nous obtenons une hyperbole. 

La tangente au point {ν =2 ν 

c = 0 } nous donne la valeur de K2 (pente = - K2 2 

) et le point 

ν = 0 nous donne une abscisse y = 1 

K 

et une tangente dont la pente est ν' = 

1 K2 K1 2K1 - K 

. 

2 

Modèle le plus simple corroboré par les expériences : la macromolécule porte deux sites 

indépendants d'affinité différente. Les constantes de dissociation successives sont égales à : 

K 1 = 4 10 -6 M et K 2 = 1,3 10 -4 M. 

Des informations supplémentaires nous indiquent que la macromolécule sans ligand est un 

dimère symétrique et que chaque sous-unité a la même affinité pour ce dernier. Nous pouvons 

faire un modèle avec coopérativité négative. Les deux sites, lorsqu'ils sont libres ont la même 

affinité pour le ligand, la fixation de ce dernier sur un des deux sites change l'affinité du site 

libre. Ce site libre a une plus faible affinité (coopérativité négative). 

- La molécule sans ligand porte deux sites d'affinité identique de constante de dissociation 

individuelle k 1 égale à 2K 1 . La molécule qui a fixé un ligand a son site libre de constante de 

dissociation k 2 égale à K 2 . 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 7 

Nous sommes dans le cas d'une protéine posédant un site de fixation pour deux ligands 

différents (compétition). Soient c 1 la concentration libre du chorismate, ν 1 nombre moyen de 

molécules de chorismate fixé par unité de macromolécule et k 1 sa constante individuelle de 

dissociation et de même pour le tryptophane c 2 et k 2 . 

Φ s'écrit à une constante près : Φ = k 2 c 1 + k 1 c 2 + k 2 k 1 

d'où ν 1 = c 1 

Φ ∂Φ 

∂c 1 = 

k 2 c 1 

k 2 c 1 + k 1 c 2 + k 2 k 1 

ou encore ν 1 k 2 c 1 + ν 1 k 1 c 2 + ν 1 k 2 k 1 = k 2 c 1 

k2 c1 (1 - ν1 ) = ν1 (k1c2 + k2k1 ) ⇒ c1 ( 1 - ν1) = 

ν1 k1 k 

c2 + k1 2 

Une représentation c1 ( 1 - ν1) = f(c2 ) est une droite dont l'ordonnée à l'origine est égale à 

ν1 k 1 et de pente égale à k 1 

k 2 . 

________________________________________________________________ 

Tryptophane (c 2 ) (µM) 0 1,7 4 5,3 6,4 8,3 10,5 

________________________________________________________________ 

Chorismate libre (c 1 ) (µM) 17 18,5 20,3 21,3 21,8 22,5 23 

________________________________________________________________ 

Chorismate lié (µM) 21 17,5 14,2 12,1 11,2 10,2 8,8 

________________________________________________________________ 

ν 1 0,65 0,54 0,44 0,37 0,35 0,32 0;27 

________________________________________________________________ 

(1 - ν 1 ) / ν 1 0,54 0,85 1,27 1,7 1,86 2,12 2,7 

________________________________________________________________ 

c 1 (1 - ν 1 ) / ν 1 x 10 5 M 0,92 1,57 2,58 3,62 4,05 4,77 6,21 

________________________________________________________________ 

L'ordonnée à l'origine est égale à 0,9 10 -5 M. La pente est égale à 5. D'où : 

k 1 = 9 10 -6 M constante de dissociation du chorismate. 

k 1 

k 2 = 5 d'où k 2 = 1,8 10 -6 M constante de dissociation du tryptophane. 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 8 

- L'expérience est réalisée dans des conditions où la concentration de VIP "radioactif" est 

constante et la concentration du VIP "froid" est variable. C'est une expérience de déplacement 

du VIP "radioactif" par du VIP "froid". Nous voyons qu'à partir d'une concentration de VIP 

"froid", la radioactivité liée aux cellules est constante et non nulle : cette valeur est supérieure au 

bruit de fond de l'appareil de mesure. Elle correspond à une radioactivité résiduelle étrangère au 

phénomène de déplacement donc de fixation. C'est coextensif à la procédure expérimentale. 

Elle est non spécifque et nous devrons en tenir compte. 

- La représentation de Scatchard est une représentation avec les paramètres ν et ν 

c . Soit M CT 

la concentration totale de cellules qui est constante pour l'expérience. 

° M CT ν représente la concentration de ligand (VIP) lié. 

° M CT ν 

c 

représente le rapport de la concentration de ligand lié au ligand libre. 

L'usage a consacré les notations suivantes : B (B pour bound) [ligand lié] 

Nous avons B = MCT ν et B 

F = MCT ν 

c 

Une représentation B = f ( B 

F 

Scatchard. Pour B 

F 

F (F pour free) [ligand libre] 

) est une représentation analogue à une représentation de 

→ 0, nous obtiendrons la concentration totale en sites. 

Nous allons faire une représenatation analogue à celle de Scatchard. Nous supposerons que le 

VIP "froid" et "radioactif" ont même affinité. Appelons RT la radioactivité totale, res les cpm 

résiduels et RL les cpm liés aux cellules. 

B = 

F = 

RL - res 

RT - res 

( [VIP froid] + [VIP *] ) 

(RT - res) - (RL -res) 

RT - res 

B 

F = 

RL - res 

(RT - res) - (RL -res) 

( [VIP froid] + [VIP *] ) 

= RL - res 

RT - RL 

La valeur de res correspond à la radioactivité lié pour une concentration infini de ligand froid. 

Elle est égale à 760 cpm. La valeur de RT est égale à 41700 cpm. La concentration du VIP 

"radioactif" est constante et égale à 5 10 -11 M. 

___________________________________________________________________________ 


___________________________________________________________________________ 

[VIP] froid 0 0.1 1 2 3.2 10 32 100 316 1000 

x 10 9 

___________________________________________________________________________ 

cpm lié 20763 18875 12893 9995 7860 3852 2080 1350 930 760 

aux cellules 

___________________________________________________________________________ 

RL - res 2000 18115 12133 9235 7100 3092 1320 590 170 

___________________________________________________________________________ 

RL - res 

RT - res 

0,488 0,442 0,296 0,22 0,173 0,075 0,003 0,004 

___________________________________________________________________________ 

B x 10 10 0,24 0,4 3 4 5,44 7,5 9,6 12,6 

___________________________________________________________________________ 

RT - RL 20937 22825 2880731705 33840 3784839620 40770 

___________________________________________________________________________ 

B 

0,95 0,79 0,42 0,29 0,209 0,08 0,03 0,004 

F 

___________________________________________________________________________ 

Le tracé analogue à celui de Scatchard est une courbe convexe avec deux zones linéaires l'une à 

faible concentration de VIP "froid", l'autre à haute concentration de VIP "froid". 

Modèle le plus simple corroboré par les expériences : c'est un modèle avec deux familles de 

sites identiques et indépendants (voir énoncé 2). 

Φ = (c + k1) n1 (c + k2) n2 ν = c 

Φ dΦ dc = n1c c+k 

+ 

1 n2c c+k 

(I) 

2 

(I) ⇔ (II) ν c2 + ν c (k1 +k2 ) + ν k1k2 = (n1 +n2 ) c2 + (n1k2 +n2k1 ) c 

ou encore (III) ν + ν 

c (k1 +k ν 

2 ) + 

c 1 

c k1k2 = n1 +n2 + n1k2 +n2k1 c 

(IV) M CT ν + M CT ν 

c 

(k 1 +k 2 ) + M CT ν 

c 

d'où en utilisant les paramètres B et F 

1 

c k 1 k 2 = M CT (n 1 +n 2 ) + M CT 

c (n 1 k 2 +n 2 k 1 ) 

(V) B + B 

F (k1 +k B 

2 ) + 

F 1 

F k1k2 = MCT (n1 +n2 ) + MCT F (n1k2 +n2k1 ) 

Nous vérifions que si F → ∞ (ou B 

F → 0) , B tend vers M CT (n 1 +n 2 ) 

La forme du tracé B = f( B 

F ) nous conduit à une modèle à deux familles de sites avec des 

affinités très différentes: supposons k2 grand devant k1 . 

___________________________________________________________________________ 


a) valeurs de F inférieures à k2 Dans l'équation (I) le terme n2c c+k 

est négligeable devant le terme 

2 n1c c+k 

d'où l'éaquation 

1 

(I) peut être approximé par ν = n1c c+k1 Dans le membre de gauche de l'équation (V) seul les termes B 

F k B 

2 et 

F 1 

F k1k2 seront pris en 

considération et dans le membre de droite seul le terme M CT 

F n 1 k 2 

considération d'où (V) est approximé par B 

F k B 

2 = - 

F 1 

F k1k2 + MCT F n1k2 B = - B 

F k1 + MCT n1 . 

est à prendre en 

ou encore: 

Pour des valeurs de F faibles, seule la première famille est titrée et le tracé (linéaire) nous 

permet de calculer k 1 et M CT n 1 (famille de forte affinité). 

b) valeurs de F supérieures à k 1 et de l'ordre de ou supérieures à k 2 

Dans l'équation (I) le terme n 1 c 

c+k 1 est égal à n 1 , l'équation (I) peut être approximé par 

ν = n 1 + n 2 c 

c+k 2 . 

Dans le membre de gauche de l'équation (V) seul les termes B et B 

F (k1 +k2 ) seront pris en 

considération et dans le membre de droite seul le terme MCT (n1 +n2 ) est à prendre en 

considération, d'où (V) est approximé par B = - B 

F (k1 +k2 ) + MCT (n1 + n2 ). Pour des 

valeurs de F supérieures à k2 , la deuxième famille est titrée : si k2 est très supérieur à k1 alors le 

titrage de la première famille n'interfère pas sur le titrage de la deuxième, l'équation précédente 

devient B = - B 

F k2 + MCT (n1 + n2 ). Le tracé linéaire pour des valeurs de F grandes nous 

permet de calculer k2 et MCT n2 (famille de faible affinité) en utilisant les valeurs calculées 

pour la famille de forte affinité (M CT n 1 et k 1 si nécessaire). 

Résultats : k 1 = 6,2 10 -10 M. et k 2 = 2,2 10 -8 M. 

PS : ne pas oublier de lire le traitement plus corect et précis du corrigé 2 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 9 

Considérons une macromolécule portant n sites de fixation d'un ligand, identiques et 

indépendants. 

Φ = (c + k) n ν = c 

Φ dΦ n c 

ν 

dc 

= 

c + k 

, soit Y = 

n 

fraction de ligand lié ou de site saturé. 

Soient LT la concentration totale de ligand et PT la concentration totale de la protéine. Nous 

allons chercher une relation entre Y, n, k, L T et P T . 

c = L T - n Y P T 

Y = ν 

n = 

c 

c + k = 

L T - Yn P T 

L T - n Y P T + k ⇒ YL T - n Y2 P T + Yk = L T - n Y P T (I) 

(I) ⇒ n PT - n Y PT + k = LT Y - LT ⇔ n PT (1 - Y) + k = LT (II) ⇒ 

LT k 

PT Y 

= n + 

PT (1 - Y) 

(III) 

Une représentation L T 

P T Y 

- Y 

(1 

Y ) (II) 

1 

= f( PT (1 - Y) ) est une droite d'ordonnée à l'origine égale à n (nb 

de sites) et de pente égale à k (constante individuelle de dissociation). 

Nous supposerons que l'intensité du signal est proportionelle à la fixation du NADPH. La 

fraction de site saturé (Y) peut être calculé à l'aide de la valeur de l'intensité du signal mesuré et 

les valeurs de l'intensité I 0 pour [NADPH] = 0 et I ∞ pour [NADPH] = ∞ . Y = I - I 0 

I ∞ - I 0 

La valeur de P T est égale à 2,5 µM. 

___________________________________________________________________________ 

NADPH (µM) 0 1,25 2,5 3,75 5 7,5 10 15 20 ∞ 

___________________________________________________________________________ 

DO à 590 nm 0,262 0,325 0,38 0,43 0,47 0,53 0,56 0,60 0,625 0,675 

___________________________________________________________________________ 

Y 0 0,15 0,29 0,406 0,503 0,648 0,72 0,83 0,878 1 

___________________________________________________________________________ 

1 - Y 1 0,85 0,71 0,594 0,497 0,352 0,28 0,17 0,122 0 

___________________________________________________________________________ 

1 

PT (1-Y) x 10-6 (M-1 ) 0,47 0,56 0,66 0,8 0,88 1,42 2,35 3,27 

___________________________________________________________________________ 

LT PT Y 

3,3 3,44 3,69 3,97 4,63 5,55 7,22 9,11 

___________________________________________________________________________ 

Le tracé graphique nous permet de déterminer n = 2 (nb sites) et k = 2,85 10 -6 M constante 

individuelle de dissociation. 

Remarque : nous n'avons pas démontré que dans le cas de n sites quelconques la limite de 

LT PT Y est égale à n lorsque LT PT Y 

tend vers zéro. 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 10 

I) Prenons une quantité d'antigène radioactif constante pour toutes les expériences : quantité 

correspondant à 15000 cpm au total et dans les conditions de l'expérience à une concentration 

totale d'antigène radioactif de 10 -11 M. 

Faisons une série de tubes où l'anticorps est à une concentration de 10 -n et l'antigène total 

(froid + radioactif) à une concentration de 2 10 -n M. Si la constante de dissociation est de 

l'ordre de n k , nous aurons trois catégories de tubes : 

1) tubes pour lesquels n est supérieur à 10n k : pas de complexe formé, la radioactivité est 

totalement retrouvée dans le surnageant. 

2) tubes pour lesquels n est inférieur à nk 10 

: tout est sous forme de complexe, la radioactivité 

est totalement retrouvée dans le culot. 

1) tubes pour lesquels n de l'ordre de n k : une partie de l'antigène est libre et une partie est lié 

à l'anticorps, la radioactivité est trouvée dans le surnageant et dans le culot. 

Faisons une série de tubes pour n = 7,8,9 10,11 et regardons les résultats obtenus : 

a) toute la radioactivité est dans le surnageant pour tous les tubes : soit l'affinité de l'anticorps 

pour l'antigène est très mauvaise (inutile de mesurer k), soit le protocole expérimental est à 

revoir. 

b) toute la radioactivité est dans le culot, l'affinité est excellente (> 10 11 M -1 ) mais pour 

réaliser un bon Scatchard, il faudra posséder un antigène avec une radioactivité spécifique plus 

forte. 

c) par exemple, pour n = 8 ou 9 la radioactivité est partagée entre le culot et le surnageant, 

pour n >9 la radioactivité est dans le surnageant et pour n < 8 elle est dans le culot. La 

constante de dissociation est de l'ordre de 10 -9 M. Nous allons faire maintenant une expérience 

où la concentration totale de l'IgG est égale à 10 -9 M et faire varier la concentration totale 

d'antigène de 10 -10 à 10 -8 M. 

II) Traçons une représentation de Scatchard. Pour cela calculons ν et c à l'aide des paramètres 

expérimentaux. Remarquons que même pour une concentration très grande d'antigène froid, il 

reste de la radioactivité dans le culot (res), elle est coextensive à la façon de manipuler et elle est 

non spécifique. Soit R S la radioactivité touvée dans le surnageant, c T la concentration totale de 

l'antigène (froid + radioactif) : 

c = cT ( RS - res 

15000 -res ), et ν = cT - c 

IgG 

= 

T cT - c 

10-9 = (cT - c) 109 ici res = 260 

___________________________________________________________________________ 


___________________________________________________________________________ 

[Antigène total froid] (nM) 0,25 0,5 1,25 3,5 10 20 ∞ 

___________________________________________________________________________ 

cpm du surnageant 8690 8805 9210 10790 13010 13700 14740 

___________________________________________________________________________ 

RS - res 

0,57 0,579 0,607 0,714 0,865 0,92 

15000 -res 

___________________________________________________________________________ 

c (nM) 0,148 0,289 0,758 2,5 8,65 18,3 

___________________________________________________________________________ 

ν 0,102 0,211 0,49 1 1,45 1,78 

___________________________________________________________________________ 

ν 

c 10-8 6,9 7,3 6,4 4 1,6 0,9 

___________________________________________________________________________ 

La molécule d'IgG possède deux sites de fixation identiques et indépendants pour l'antigène, le 

tracé de Scatchard est : 

ν = 

2 c 

c + k 

⇒ ν = 2 - k (ν 

c 

) droite d'ordonnée à l'origine 2 et de pente égale à -k. 

La droite expérimentale d'ordonnée à l'origine a une pente égale à - 2,5 10 -9 M. 

La constante d'affinité entre l'anticorps et l'antigène est égale à 4 10 8 M -1 . 

III) Exprimons ν à l'aide des paramètres définis dans l'énoncé : 

ν = 

2 c 

c + k 

⇒ 1 

ν 

= c + k 

2 c 

= 1 

2 

RS c = cT RS + R 

et ν = 

C cT - c 

cT IgG 

= 

T 

d'où (I) ⇔ IgG T 1 

c T R S + R C 

R C 

k 1 

+ 

2 

( 

c 

) (I) 

= 1 

2 

R C 

R S + R C 

IgG T 

+ k 

2 1 

c T R S + R C 

R S 

c T étant constant dans la manipulation, multiplions par c T , nous obtenons : 

___________________________________________________________________________ 


IgG T R S + R C 

R C 

= c T 

2 

+ k 

2 R S + R C 

R S 

C'est la relation qui demande le nombre de calcul minimum par rapport aux paramètres 

expérimentaux : la représentation IgGT RS + RC R 

= f ( 

C 

RS + RC R ) est une droite dont la 

S 

pente nous permet d'accéder à la valeur de la constante de dissociation individuelle. 

Remarque : pour avoir un bon titrage, la concentration d'IgG libre doit varier entre k 

10 

et 10k, 

si nous prenons pour l'antigène une concentration totale inférieure à la valeur de k, ceci 

impliquera que les variations d'IgGT seront dans l'intervalle k 

10 

.. 10k, ce qui ne serait point le 

cas si nous prenions la concentration d'antigène total très supérieure à k. 

Corrigé 11 

Un anticorps de type IgG est une macromolécule qui porte deux sites de fixation identiques et 

indépendants pour l'antigène. 

IgGC 2 ↔ IgGC + C (K 2 ) 

IgGC ↔ IgG + C (K 1 ) 

Le polynôme de "binding" pour un système composé de l'anticorps, de l'antigène natif et de 

l'antigène "rcm" s'écrit : 

Φ = (k rcm c N + k N c rcm + k rcm k N ) 2 où c rcm représente la concentration de l'antigène "rcm" 

libre. Le nombre moyen d'antigène natif lié par unité de macromolécule ν N est égal à : 

ν N = c N 

Φ ∂Φ 

∂c N = 

2k rcm c N 

k rcm c N + k N c rcm + k rcm k N 

ou encore ν N k rcm c N + ν N k N c rcm + ν N k rcm k N = 2 k rcm c N (I) 

Dans l'expérience proposée les paramètres sont IgG T , k rcm , c rcmT , k N , c NT et c N ou le 

paramètre r = c N 

c NT . 

Tous les paramètres de l'équation (I) peuvent s'exprimer à l'aide des paramètres de 

l'expérience, sauf c rcm . Nous allons faire une approximation déduite des conditions 

expérimentales. La constante d'association individuelle de l'antigène natif a une valeur de 

l'ordre de 10\s\up3(9) M\s\up3(-1) ; dans le tube à essai, nous avons une concentration 

d'anticorps de 1,25 10 -7 M et une concentration d'antigène natif de 5 10 -7 M : nous en 

___________________________________________________________________________ 


déduisons que tous les sites de l'anticorps vont fixer l'antigène. De plus l'antigène "rcm" ne se 

fixera qu'en remplacement de l'antigène natif. Nous pouvons écrire : ν N + ν rcm = 2 (II) 

(II) ⇔ c NT - c N 

IgG T + c rcmT - c rcm 

IgG T 

ou encore (III) c rcm = c rcmT - 2 IgG T + c NT - c N , à la place de c N nous utiliserons le 

paramètre r = c N 

c NT (c N = r c NT ). 

En remplaçant c rcm (III) et c N dans l'équation (I) nous obtenons : 

c NT k rcm 

k N r + c NT (1 - r) - 2 IgG T + k rcm - k rcm 

k N IgG T 

2 r 

1 - r = - c rcmT 

Des courbes de déplacement théorique r = f(log(c rcmT )) ont été tracées pour des valeurs de 

k rcm égales respectivement à 10 -10 (a), 10 -9 (b) et 10 -8 (c) M. La valeur de k rcm qui fitte la 

courbe expérimentale est égale à 3.5 10 -9 M. 

Nous pouvons calculer la valeur de k rcm pour un point particulier de la courbe expérimentale : 

nous choisirons le point correspondant à une valeur de r égale à 0,75 (région de précision 

expérimentale la plus grande). 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 12 

1) Le polynôme de "binding" dans ce cas s'écrit Φ = Φ I + Ct Φ II , où Φ I est 

proportionnel à (c + k 1 ) , Φ II à (c + k 2 ). Les formes M I et M II étant respectivement égales 

à ΦI Φ et à Ct ΦII Φ . La constante d'équilibre entre les formes MI et MII peut s'écrire : 

K = M II 

M I = Ct c + k 2 

c + k 1 la valeur de K pour c = 0 est notée K 0 . 

K0 = Ct k2 k 

d'où Ct = K0 1 k1 k 

pour c = 0 , seules les formes M 

2 - 

I 

égal à la constante d'équilibre notée K I . 

et M- 

I existent : K 0 est 

Remarquons que la valeur de la Ct est égale à K ∞ , valeur de K lorsque c → ∞ .D'où nous en 

déduisons la relation K I k 1 = K II k 2 (compatibilité de la boucle) 

Nous pouvons écrire K sous les diverses formes : 

K = K 0 k 1 

k 2 c + k 2 

c + k 1 = K I k 1 

k 2 c + k 2 

c + k 1 = K II c + k 2 

c + k 1 

2) Formes prépondérantes 

a) k 1 = k 2 

La valeur de K est constante quelle que soit la valeur de c, c'est à dire quelle que soit la valeur 

du pH. L'équilibre entre les formes (I) et (II) est indépendant du pH. 

b) k 1 ≠ k 2 

Prenons par exemple k 1 > k 2 . 

Ce qui signifie : pk 1 < pk 2 et K I < K II vu la relation K I k 1 = K II k 2 

c (H + ) > k 1 (milieu acide) 

Nous serons en présence des formes protonées M I H et M II H ; étant donné la 

relation K I < K II , l'équilibre sera déplacé vers la forme M II H. 

c (H + ) < k 2 (milieu neutre ou basique) 

Nous serons en présence des formes déprotonées M - I et M- II 

relation K I < K II , l'équilibre sera déplacé vers la forme M - I . 

; étant donné la 

C'est le contrôle d'un changement de conformation par une fonction ionisable : celui-ci a lieu 

lorsque le pK de la fonction ionisable est différent dans les deux conformations. Par exemple 

une fonction carboxylique d'une chaîne latérale (Asp ou Glu) est accessible au proton dans une 

___________________________________________________________________________ 


conformation (pK normal) et inaccessible dans l'autre conformation (pK anormal plus faible). 

3) Courbe de titrage indirecte 

Une méthode d'observation nous permet d'avoir accès à un paramètre de la forme : 

Y = α M I + β M II . Nous allons calculer le point milieu de la courbe Y = f(c). 

Nous avons K = MII M 

. Soit MT = MI + MII , 

I 

1 

d'où MI = 

K + 1 MT et MII = 

K 

K + 1 MT Y peut s'exprimer en fonction de K à une constante près : Y = 

α 

K + 1 

+ β K 

K + 1 

Soient K m la valeur de K pour c = 0 et K M la valeur de K pour c infini. Soient Y m la valeur 

de Y pour K = K m et Y M la valeur de Y pour K = K M . 

Le point milieu de la courbe Y = f(c) a pour ordonnée : YM + Ym 2 

rapport à Km , KM , α, β : 

YM + Ym 2 

= α 

2 ( 1 

Km + 1 + 

1 

β 

KM + 1 ) + 

2 ( Km Km + 1 + 

La valeur de K donnant à Y la valeur Y M + Y m 

2 

α 

K e + 1 + β K e 

K e + 1 

= α 

2 ( 

1 

K m + 1 + 

1 

K M + 1 

qui peut s'exprimer par 

K M 

K M + 1 ) 

est notée K e . Calculons celle-ci : 

) + β 

2 ( K m 

K m + 1 + 

K M 

K M + 1 ) 

Nous avons des fonctions homographiques et une expression symétrique. Nous allons calculer 

K e en égalant le coefficient de α dans chaque membre de l'équation. 

2 

Ke + 1 = KM + 1 + Km + 1 

(KM + 1)(Km + 1) ⇒ Ke = KM + Km + KMKm 2 + KM + Km Le point milieu des courbes Y = f(c) = f(pH) est indépendant du moyen 

d'observation (de et ) à condition que le paramètre mesuré soit une 

combinaison linéaire de chacune des conformations. 

Calculons la valeur du pH en ce point milieu. Nous remplacerons K m par K I et K M par K II . 

La valeur de H est donnée par l'équation : 

K II H + k 2 

H + k 1 = K e = K II + K I + K II K I 

2 + K II + K I 

___________________________________________________________________________ 


2HK II + K II K I H + HK 2 

II + 2k 2 K II + k 2 K II K I + k 2 K2 

II 

= HK I + HK II + 2HK I K II + k 1 K I + k 1 K II + 2k 1 K I K II 

Remplaçons K II par K I k 1 

k 2 et regroupons dans le membre de droite tous les termes en H et les 

autres dans le membre gauche de l'équation. 

Membre droit de l'équation réordonnée : 

HK I - HK II + HK I K II + HK 2 

II = HK I 

ou encore = H (K I (1 + K I k 1 

k 2 ) - K I k 1 

k 2 (1 + K I k 1 

k 2 ) 

d'où après mise en facteur H (K I - K I k 1 

k 2 ) (1 + K I k 1 

k 2 ) 

Membre gauche de l'équation réordonnée : 

+ HK2 

I k1 k 

- HKI 2 k1 k 

- HK 

2 2 

I k2 

1 

k 2 

2 

2k1KI + K 2 I k1 + K2 I k2 

1 

k 2 

k2 - k1KI - k1 2 

k1 k 

KI - 2k1 K 

2 2 I k1 k2 = k1KI - K 2 I k2 

1 

k 

+ K 

2 2 I k1 - KI k2 

1 

k2 = k 1 K I (1 + K I ) - K I k2 

1 

k 2 (1 + K I ) 

= k 1 (1 + K I ) (K I - K I k 1 

k 2 ) 

d'où l'équation qui donne la valeur de H au point milieu des courbes : 

H (K I - K I k 1 

k 2 ) (1 + K I k 1 

k 2 ) = k 1 (1 + K I ) (K I - K I k 1 

k 2 ) 

si k 1 ≠ k 2 l'équation se simplifie en : 

H (1 + K I k 1 

k 2 ) = k 1 (1 + K I ) d'où la valeur de H milieu = k 1 k 2 (1 + K I ) 

k 2 + k 1 K I 

d'où pHmilieu = - log ( k 1 k 2 (1 + K I ) 

k 2 + k 1 K I 

Nous voyons que le point milieu des courbes de titrage indirect ne nous permet pas d'accéder 

au pK du groupement ionisable dans une des deux conformations. Même en supposant que par 

___________________________________________________________________________ 


)

exemple pK 2 est connu, nous n'accédons à pK 1 que par la connaissance des valeurs des 

constante d'équilibre des formes (I) et (II) : 

Revenons aux conditions que nous avions supposé dans le paragraphe "formes des courbes" : 

k 1 > k 2 . 

Si k 1 est grand devant k 2 , pH milieu peut s'approximer : 

pHmilieu = -log(k2 ) - log( 1 + K1 k ) − ~ pK2 - log( 

2 

k 

+ KI 1 1 + K1 K ) 1 

Ceci nous indique que le point milieu des courbes sera déplacé vers les pH acides par rapport à 

la valeur du pK de la fonction ionisable normale (accessible) et ceci d'une valeur fonction de la 

constante d'équilibre entre les conformations. 

Il est classique de faire un diagramme d'état d'une protéine en fonction du pH. Le paramètre 

témoin peut être la densité optique. Dans ce cas l'enregistrement de spectres différentiels 

(densité optique à un pH variable - densité optique à un pH fixé) révèle des changements de 

conformation dépendants du pH. Par exemple il est classique d'étudier les changements de 

conformations dans une zone de pH acide d'une protéine en enregistrant des spectres 

différentiels dans une région de longueur d'onde correspondant à l'absorption des tyrosines de 

la protéine. 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 13.1 

Le polynôme de "binding" Φ s'écrit à l'aide des notations de l'énoncé : 

Φ = ( A + k RA ) n ( B + k RB ) n ( C + k RC ) n + Ct ( A + k TA ) n ( B + k TB ) n ( C + k TC ) n 

= (k RA k RB k RC) n (1 + A 

k RA ) n (1 + B 

k RB ) n (1 + C 

k RC ) n 

= (k RA k RB k RC) n (1 + A 

k RA ) n (1 + B 

k RB ) n (1 + C 

k RC ) n 

+ Ct (k TA k TB k TC) n (1 + A 

k TA ) n (1 + B 

k TB ) n (1 + C 

k TC ) n 

+ Ct (k TA k TB k TC) n (1 + A 

k RA k RA 

k TA ) n (1 + B 

k RB k RB 

k TB ) n (1 + C 

k RC k RC 

k TC ) n 

Φ s'écrit à une constante près d'où en remplaçant A 

k RA par α et k RA 

k TA par a : 

Φ = (1 + α) n (1 + β) n (1 + γ) n + Ct* (1 + aα) n (1 + bβ) n (1 + cγ) n 

νA = A 

Φ ∂Φ 

∂A 

= A 

Φ ∂Φ 

∂α dα 

dA 

A 

= 

Φ ∂Φ 

∂α 1 

k 

= 

RA α 

Φ ∂Φ 

∂α 

ν A = nα(1 + α)n-1 (1 + β) n (1 + γ) n + Ct* naα(1 + aα) n-1 (1 + bβ) n (1 + cγ) n 

(1 + α) n (1 + β) n (1 + γ) n + Ct* (1 + aα) n (1 + bβ) n (1 + cγ) n 

Soit L est égal à la valeur de 1 

K 

pour α = β = γ = 0 

K = R 

T 

nous pouvons exprimer R et T à l'aide du polynôme de binding : 

R = (1 + α)n (1 + β) n (1 + γ) n 

Φ 

T = Ct* (1 + aα)n (1 + bβ) n (1 + cγ) n 

Φ 

d'où K = R 

T = 

(1 + α) n (1 + β) n (1 + γ) n 

Ct* (1 + aα) n (1 + bβ) n (1 + cγ) n 

valeur de K pour α = β = γ = 0 : K = 1 

Ct* 

= 1 

L 

___________________________________________________________________________ 


d'où l'expression de Φ et de ν A en fonction de n, a,b,c, α , β , γ et L 

Φ = (1 + α) n (1 + β) n (1 + γ) n + L (1 + aα) n (1 + bβ) n (1 + cγ) n 

ν A = nα(1 + α)n-1 (1 + β) n (1 + γ) n + L naα(1 + aα) n-1 (1 + bβ) n (1 + cγ) n 

(1 + α) n (1 + β) n (1 + γ) n + L (1 + aα) n (1 + bβ) n (1 + cγ) n 

et de Y A = ν A 

n 

Y A = α(1 + α)n-1 (1 + β) n (1 + γ) n + L aα(1 + aα) n-1 (1 + bβ) n (1 + cγ) n 


Corrigé 13.2 

1) cas où B = C = 0 

Dans ce cas Y A = s'écrit : 

Y A = α(1 + α)n-1 + L aα(1 + aα) n-1 

(1 + α) n + L (1 + aα) n 

1.a) a = 1 

L'expression de YA se simplifie en α(1 + α)n-1 (1 + L) 

(1 + α) n = 

(1 + L) 

α 

et nous avons 

1 + α 

K = 1 

L 

. Nous avons une expression qui correspond au titrage de n sites identiques et 

indépendants et l'équilibre de conformation est indépendant de la présence du ligand. 

1.b) a ≠ 1 

Nous allons supposer que par exemple a est petit ; ce qui signifie une forte affinité du ligand 

pour la conformation R. Subdivisons l'étude en trois possibilités pour les valeurs de L. 

1.b.1) a et L petits 

Ceci signifie que l'équilibre en absence de ligand est en faveur de la forme R. 

Dans l'expression de Y A seuls les termes de la conformation R sont non négligeables ( les 

termes où intervient L sont petits devant les autres) 

___________________________________________________________________________ 


Y A peut être approximé par : 

Y A = 

α(1 + α)n-1 α 

= 

(1 + α) n 1 + α 

Nous avons une expression qui correspond au titrage de n sites identiques et indépendants et de 

constante individuelle de dissociation égale à k RA et l'équilibre de conformation en faveur de la 

forme R ne peut être que déplacé encore plus vers la forme R. 

1.b.2) a petit et L grand tel que La est grand devant 

Ceci signifie que l'équilibre en absence de ligand est en faveur de la forme T et que Y A peut 

être approximé par : 

Y A = 

aLα(1 + aα)n-1 

L(1 + aα) n 

= 

aα 

1 + aα 

Nous avons une expression qui correspond au titrage de n sites identiques et indépendants et de 

constante individuelle de dissociation égale à k TA et l'équilibre de conformation en faveur de la 

forme T ne peut par être déplacé vers la forme R par la présence du ligand. 

1.b.3) a petit et L grand tel que La n'est plus grand devant 

C'est le cas le plus intéressant. L'équilibre de conformation en absence de ligand est en faveur 

de la forme T et l'addition de ligand déplace l'équilibre vers la forme R. La courbe de titrage se 

situe entre les deux courbes de titrage forme R et forme T et ce avec une pente plus élevée (le 

phénomène de fixation du ligand se passe dans une zone de concentration de ligand plus 

ressérée. Dans ce cas Y A s'écrit. 

Y A = α(1 + α)n-1 + L aα(1 + aα) n-1 

(1 + α) n + L (1 + aα) n 

Les courbes de titrage Y A = f(logc) sont des sigmoïdes qui possèdent un point d'inflexion. La 

pente en ce point est le reflet de la variation Y A en fonction de logc. 

Nous allons comparer les pentes au point d'inflexion pour les conditions des cas 1.b.1, 1.b.2 

avec le cas 1.b.3. 

___________________________________________________________________________ 


Pente au point d'inflexion de la courbe de titrage de n sites identiques et indépendants. 

dYA dlogα dYA dα = 

Y A = 

α 

1 + α 

= 1 

loge dY A 

dLnα 

= 1 

loge dY A 

dα dα 

dLnα 

1 

(1 + α) 2 d'où dY A 

dlogα 

= 1 

loge 

Le point d'inflexion satisfait à d 

dα ( dYA ) = 0. 

dlogα 

d 

dα ( dYA dlogα ) = (1 + α)2 - 2α(1 + α) 

(1 + α) 4 

= 1 - α 

= α 

loge dY A 

dα 

α 

(1 + α) 2 

nul pour α = 1 

(1 + α) 3 

Remarquons que dans ce cas la valeur de α = 1 correspondà une valeur de YA égale à 1 

2 

. La 

valeur de la pente au point d'inflexion des courbes de titrage est égale à : 

dY A 

dlogα = 

1 

4 loge 

= 0,5756 

Pente au point d'inflexion de la courbe de titrage obtenu dans le cas 1.b.3 

Y A = α(1 + α)n-1 + L aα(1 + aα) n-1 

(1 + α) n + L (1 + aα) n 

Nous allons considérer que les valeurs de a et L sont telles que nous pouvons approximer Y A 

avant de faire les calculs. 

Supposons que nous nous intéressons à un intervalle de valeur de α telles que aα soit petit 

devant 1 : 

Y A − ~ α(1 + α)n-1 + Laα 

(1 + α) n + L 

Supposons que Laα soit petit devant 1 : 

α(1 + α) 

YA − ~ 

n-1 

(1 + α) n + L 

Supposons de plus que nous nous intéressons à la région de la courbe où α est assez grand 

___________________________________________________________________________ 


devant 1 : 

Y A − ~ 

αn 

α n + L 

Nous avons vu que : dYA dlogα dYA dα = nαn-1 (αn + L) - nα2n-1 (αn + L) 2 

d'où dY A 

dlogα 

= 1 

loge 

nLα n 

(α n + L) 2 

= α 

loge dY A 

dα 

= nLαn-1 

(α n + L) 2 

Le point d'inflexion satisfait à d 

dα ( dYA ) = 0. 

dlogα 

d 

dα ( dYA dlogα ) = n2Lαn-1 (αn-1 + L) - 2nLαn (L + αn )nαn-1 (αn + L) 4 

d 

dα ( dYA dlogα ) = n2αn-1L(L - αn ) 

(αn + L) 3 

nul pour α = (L) 1 

n 

= n2 α n-1 L(L 2 - α 2n ) 

(α n + L) 4 

La valeur de la pente au point d'inflexion des courbes de titrage est égale à : 1 

loge 

dY A 

dlogα = 

n 

4 loge 

= 0,5756 n 

nL L 

(L + L) 2 

Cette valeur est toujours supérieure à la valeur obtenue pour les cas 1.b.1 et 1.b.2 et elle est 

d'autant plus grande que n est grand. 

Nous avons vu la définition du coefficient de Hill (rapport de la pente d'une courbe de titrage 

de n sites à la pente de la courbe de titrage de n sites identiques et indépendants, et aussi égal à 

la pente du tracé de Hill). La valeur du coefficient de Hill est donc égale à n dans cette 

approximation. En pratique la pente au point d'inflexion est inférieure à la valeur précédemment 

trouvée et on peut écrire : 

dY A 

dlogα = 0,5756 n H : n H 

coefficient de Hill (réel) 

Une pente de cette valeur au point d'inflexion correspond à une courbe approximée d'équation : 

___________________________________________________________________________ 


Y A − ~ 

αn H 

α n H + L 

Calculons la fraction pR de macromolécule dans la conformation R. 

pR = 

(1 + α) n 

(1 + α) n qui peut s'approximer dans le cas particulier des trois 

+ L (1 + aα) n 

conditions posées précédemment par : 

pR = − ~ 

αn 

α n + L 

pR et Y A 

sont approximés par la même équation. 

Figure 1 Figure 2 

Rappelons que a est petit devant 1 : k RA

pente sera d'autant plus forte que n et L seront grands. 

La figure 2 représente les différentes courbes Y A ou pR en fonction de log(α) pour 

différentes valeurs de n. Les valeurs de a et L sont égales à 0,01 et 10 respectivement. Nous 

voyons l'augmentation de la pente corrélée avec l'augmentation de la valeur de n (nombre de 

protomères). 

Essentiel : dans le modèle de Monod Wyman Changeux, les sites de fixation du ligand sont 

identiques et indépendants, il n'y a aucune interaction entre eux. L'effet coopératif 

(homotropique) de fixation du ligand est du aux trois conditions suivantes : 

- nombre de sites strictement supérieur à 1 

- affinité différente du ligand pour chacune des deux conformations ou états 

- l'affinité du ligand doit être plus grande pour la forme qui est minoritaire en absence de 

ligand (affinité plus grande pour R et équilibre de forme en absence de ligand en faveur de la 

forme T). 

Nous sommes en présence de compétition entre différentes formes et différents états de fixation 

en équilibre. 

Accès aux valeurs des paramètres du système 

- Un tracé de Scatchard ν A = f( ν A 

A 

) nous permet d'accéder à la valeur de n. 

- Un tracé de Hill log( Y A 

1 - Y A ) = f(log(A)) nous permet d'accéder aux valeurs de k RA et 

k TA soit à l'aide de simulation de courbes soit de manière directe par approximation pour les 

valeurs faibles et grandes de A (voir cours). 

- Si nous avons un moyen d'observation qui nous permet de calculer R et T en fonction de A 

nous pouvons calculer la valeur de L qui est la valeur de la constante d'équilibre T 

R 

pour A = 0. 

T 

R 

L (1 + aα)n 

= si a est petit tel que aα petit devant 1, nous pouvons trouver une relation 

(1 + α) n 

approchée plus simple : 

T 

R 

L (1 + aα)n 

= 

(1 + α) n T 

− ~ 

R = 

ou encore n 

R 

T 

L 

n 

d'où 

(1 + α) n 

1 

= (1 + α) = 

n 

L 

1 

n 

L 

+ 

T 

R = 

1 

k RA n L 

n L 

1 + α 

___________________________________________________________________________ 


A

Un tracé de n 

2) cas où C = 0 

Dans ce cas Y A s'écrit : 

R 

T = f(A) nous permet de calculer la valeur de L (et aussi la valeur de k RA ). 

Y A = α(1 + α)n-1 (1 + β) n + L aα(1 + aα) n-1 (1 + bβ) n 

(1 + α) n (1 + β) n + L (1 + aα) n (1 + bβ) n 

Reprenons pour a, L les conditions du cas 1.b.3 (a et aL petits, L grand) 

2.a) b petit (a et aL petits, L grand) 

Ceci signifie une forte affinité du ligand B pour la conformation R (comme le ligand A). Nous 

pouvons dans ces conditions approximer Y A par 

Y A − ~ α(1 + α)n-1 (1 + β) n + L aα 

(1 + α) n (1 + β) n + L 

ou encore Y A − ~ 

avec L' = 

α(1 + α) n-1 

(1 + α) n L 

+ 

(1 + β) n 

= 

L 

⇒ L' L donc B 

(1 + β) n 

− ~ 

α(1 + α) n-1 (1 + β) n 

(1 + α) n (1 + β) n + L 

α(1 + α) n-1 

(1 + α) n + L' 

Pour les mêmes valeurs de α, en présence du ligand B les valeurs de Y A seront plus grandes, 

la courbe de titrage Y A = f(log(α)) sera déplacée vers les valeurs de α plus faibles et la pente 

de la courbe de titrage sera plus faible. Dans ce cas le ligand B sera appelé un activateur. 

2.b) b grand (a et aL petits, L grand) 

Ceci signifie une forte affinité du ligand B pour la conformation T (à l'inverse du ligand A). 

Nous pouvons dans ces conditions approximer Y A par : 

Y A − ~ α(1 + α)n-1 + L aα(1 + bβ) n 

(1 + α) n + L (1 + bβ) n 

ou encore Y A − ~ 

α(1 + α) n-1 

(1 + α) n + L' 

− ~ 

α(1 + α) n-1 

(1 + α) n + L (1 + bβ) n 

___________________________________________________________________________ 


avec L' = L(1 + bβ) n ⇒ L' L donc B 

Pour les mêmes valeurs de α, en présence du ligand B les valeurs de Y A seront plus faibles, la 

courbe de titrage Y A = f(log(α)) sera déplacée vers des valeurs de α plus élevées et la pente de 

la courbe de titrage sera plus forte. Dans ce cas le ligand B sera appelé un inhibiteur. 

3) cas où A ≠ 0, B ≠0, C ≠ 0 (a,b et aL petits, L grand) 

Dans ce cas Y A s'écrit : 

Y A = α(1 + α)n-1 (1 + β) n (1 + γ) n + L aα(1 + aα) n-1 (1 + bβ) n (1 + cγ) n 


Reprenons pour a, b, L les conditions du cas 2.a (a,b et aL petits, L grand) et considérons que 

c est grand (forte affinité du ligand C pour la forme T). Nous pouvons dans ces conditions 

approximer Y A par : 

YA − ~ α(1 + α)n-1 (1 + β) n + L aα(1 + cγ) n 

(1 + α) n (1 + β) n en considérant La assez petit 

+ L (1 + cγ) n 

Y A − ~ α(1 + α)n-1 (1 + β) n + L aα(1 + cγ) n 

(1 + α) n (1 + β) n + L (1 + cγ) n 

Y A − ~ 

α(1 + α) n-1 (1 + β) n 

(1 + α) n (1 + β) n = 

+ L (1 + cγ) n 

(1 + cγ)n 

en posant L' = L nous obtenons : 

(1 + β) n 

Y A − ~ 

α(1 + α) n-1 

(1 + α) n + L' 

α(1 + α) n-1 

(1 + α) n + L 

(1 + cγ)n 

(1 + β) n 

Ici nous ne pouvons rien dire sur les valeurs relatives de L' et de L. Les allures de la courbe de 

titrage Y A = f(log(α)) dépendront de la valeur de L' donc des valeurs de c, γ, β . 

Attention : L est une constante pour un système donné. Le paramètre L', défini dans les deux 

derniers paragraphes n'est pas constant pour un système donné, et cela même pour des valeurs 

de concentrations totales de B ou C constantes. 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 14 

Φ s'écrit à l'aide des constantes successives de dissociation de la manière suivante : 

Φ = c n + K n c n-1 + ... + K n ...K i+1 c i + ... + K n ...K 1 

d'où ν = c 

Φ dΦ dc = ncn + (n-1) K n c n-1 +...+ K n ..K 2 c 

c n + K n c n-1 + ...+ K n ...K 1 

Y = ν 

n d'où 

Y 

1 - Y 

= ν 

n - ν 

= E 

Φ Φ 

nΦ - E = 

E 

nΦ - E 

= E 

Φ 

Calculons l'expression nΦ - E et écrivons uniquement les termes de plus haut et bas degré 

dont nous aurons besoin pour trouver les limites de 

Y 

1 - Y 

nΦ - E = Kn cn-1 + ... + n Kn ... K1 d'où 

Y 

1 - Y = 

nc n + ... + K n ..K 2 c 

K n c n-1 + ... + n K n ... K 1 

c → 0 lim Y 

1 - Y = 

c → ∞ lim Y 

1 - Y = 

K n ..K 2 c 

n K n ... K 1 = 

ncn n c 

= 

Kn cn-1 Kn c 

n K 1 

Nous pouvons en déduire que les courbes dans la représentation de Hill peuvent être 

approximées pour c très petit ou c très grand, par deux droites de pente 1 et d'ordonnées à 

l'origine respectives log 1 

n K 

et log 

1 n 

K 

. Si nous connaissons la valeur de n, nous pouvons 

n 

en déduire les valeurs de la première et de la dernière constantes successives de dissociation. 

___________________________________________________________________________ 


Corrigé 15 

Les résidus portant une fonction dissociable, ionisable sont le résidu N-terminal, le résidu 

C-terminal et tous les résidus dont la chaîne latérale porte une fonction dissociable, soit : 

Fonction basique pK Nombre Fonction acide pK Nombre 

α-NH3 9,69 1 α-COOH 2,34 1 

Histidine 6 nb2 Aspartique 3,86 na2 

Lysine 10,5 nb3 Glutamique 4,25 na3 

Arginine 12,4 nb4 Cystéine 8,33 na4 

La charge nette moyenne () de la protéine est égale à : 

Tyrosine 10 na5 

= Y (1 + nb2 + nb3 + nb4 ) - (1 - Y ) (1 + na2 + na3 + na4 + na5 ) 

fonction basiques fonctions acides 

= Y (1 + nb2 + nb3 + nb4 + 1 + na2 + na3 + na4 + na5 ) - (1 + na2 + na3 + na4 + na5 ) 

où Y est la fraction de saturation du ligand H. 

Soit nT le nombre total de sites de fixation du ligand pour la protéine, nous avons : 

nT = (1+ nb2 + nb3 + nb4 + 1 + na2 + na3 + na4 + na5 ) et comme Y = ν 

, nous obtenons : 

nT 

= ν - (1 + na2 + na3 + na4 + na5 ) 

Soit H, la concentration en ions H + (égale à 10-pH ), ν est égal à H 

Φ dΦ 

dH 

où Φ est le 

polynôme de "binding" de cette macromolécule qui porte nT sites de fixation du ligand H. 

Si nous posons comme hypothèse que toutes ces fonctions dissociables sont indépendantes 

alors Φ est un produit de polynôme de "binding" attaché chacun à chaque famille de sites et 

donc ν est égal à : 

ν = 

+ 

H 

H + kb1 + nb2 H 

H + kb2 + nb3 H 

H + kb3 + nb4 H 

H + kb4 

H 

H + ka1 + na2 H 

H + ka2 + na3 H 

H + ka3 + na4 H 

H + ka4 + na5 H 

H + ka5 

___________________________________________________________________________ 


Les kij où i ∈ {a,b} et j ∈ {1..5} sont les constantes individuelles de dissociation, elles sont 

reliées aux valeurs des pk par : pkij = log( 1 

kij ) 

Nous pouvons écrire la courbe de titrage en fonction du pH et des pK respectifs de chaque 

fonction dissociable : 

= 

+ 

+ 

10-pH 10-pH + 10-kb1 + 

10-pH 10-pH + 10-ka1 + 

na5 10 -pH 

10 -pH + 10 -ka5 

- (1 + na2 + na3 + na4 + na5 ) 

nb2 10-pH 10-pH + 10-kb2 + 

na2 10-pH 10-pH + 10-ka2 + 

nb3 10-pH 10-pH + 10-kb3 + 

na3 10-pH 10-pH + 10-ka3 + 

nb4 10 -pH 

10 -pH + 10 -kb4 

na4 10 -pH 

10 -pH + 10 -ka4 

Le pH du point isoélectrique (pI) est donné en résolvant l'équation = 0 (voir page 33 

pour une autre approche). 

___________________________________________________________________________

corriges

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?