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OPTIQUE PHYSIQUE / INTERFERENCES SUR LAMES MINCES D’EPAISSEUR VARIABLE<br />
INTERFERENCES LOCALISEES : LAMES PRISMATIQUES<br />
ET ANNEAUX DE NEWTON.<br />
PLAN DU COURS<br />
1. Lames <strong>prismatiques</strong>. .................................................................................................................................. 2<br />
1.1 Les indices de réfraction. ................................................................................................................... 3<br />
1.2 Expression de la différence de chemins optiques. ............................................................................ 3<br />
1.3 Expression de l’ordre d’interférence. ................................................................................................ 3<br />
1.4 Forme des franges d’interférences. .................................................................................................. 3<br />
1.5 Interfrange. ........................................................................................................................................ 4<br />
1.6 Position des franges. ......................................................................................................................... 4<br />
2. Anneaux de Newton. .................................................................................................................................. 6<br />
2.1 Expression de la différence de chemins optiques. ............................................................................ 6<br />
2.2 Expression de l’ordre d’interférence. ................................................................................................ 7<br />
2.3 Forme des franges. ............................................................................................................................ 7<br />
2.4 Calcul des rayons des <strong>anneaux</strong> brillants <strong>et</strong> sombres. ........................................................................ 7<br />
2.5 Observation des <strong>anneaux</strong>. ................................................................................................................. 8<br />
3. Exemples de calculs. ................................................................................................................................... 8<br />
DESCRIPTION DU CHAPITRE<br />
Après avoir étudié les interférences créées par les <strong>lames</strong> minces d’épaisseur constante, on passe à l’étude<br />
d’autres systèmes perm<strong>et</strong>tant l’observation <strong>et</strong> l’utilisation de phénomènes d’interférences. Il s’agit ici<br />
d’étudier les interférences obtenues par des <strong>lames</strong> minces d’épaisseur variable. On envisagera dans ce<br />
cours, l’étude des interférences produites par une lame prismatique ainsi que l’étude des <strong>anneaux</strong> de<br />
Newton. On cherchera dans les deux cas, à donner l’expression de la différence de marche entre deux<br />
rayons qui interfèrent, l’expression de l’ordre d'interférences, à déterminer la forme des franges<br />
d’interférences <strong>et</strong> à calculer les positions de ces franges.<br />
AEPO / BTS OL / Optique géométrique <strong>et</strong> physique / C Froment / Mail : froment.aepo@yahoo.fr / Web : http://froment-aepo.webnode.fr<br />
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OPTIQUE PHYSIQUE / INTERFERENCES SUR LAMES MINCES D’EPAISSEUR VARIABLE<br />
1. Lames <strong>prismatiques</strong>.<br />
On envoie un faisceau de lumière parallèle sur un prisme de p<strong>et</strong>it angle α. L’incidence est normale sur le<br />
premier dioptre (les rayons arrivent sur le premier dioptre en faisant un angle de 90° avec le dioptre). On<br />
construit alors les deux premiers rayons réfléchis <strong>et</strong> transmis. On obtient la figure ci-dessous pour la<br />
construction des deux premiers rayons réfléchis :<br />
Rayon incident<br />
R1 R2<br />
T1<br />
Dioptre 1<br />
Dioptre 2<br />
Le rayon incident arrive au point I du premier dioptre. A c<strong>et</strong> endroit l’épaisseur de la lame prismatique est e<br />
= IJ. Si on note x la distance de l’arête au point I, on obtient e x.<br />
, où α est l’angle (exprimé en radian) au<br />
somm<strong>et</strong> du prisme. Sur la figure on a uniquement représenté les deux premiers rayons réfléchis <strong>et</strong> les deux<br />
premiers rayons transmis. La valeur réelle de l’angle α a été considérablement exagérée pour rendre les<br />
constructions plus lisibles. En réalité les rayons R1 <strong>et</strong> R2 sont très proches l’un de l’autre <strong>et</strong> de même pour<br />
les deux rayons T1 <strong>et</strong> T2.<br />
D’un point vue physique, l’onde incidente se divise au point I, pour donner les deux premiers rayons R1 <strong>et</strong><br />
R2 qui vont interférer au point d’intersection des droites supportant les rayons R1 <strong>et</strong> R2. C<strong>et</strong>te intersection<br />
sera présente au voisinage de la lame, plus exactement dans le cas de la figure ci-dessus, dans la lame. La<br />
même remarque est valable pour les deux rayons T1 <strong>et</strong> T2.<br />
LES INTERFERENCES OBTENUES PAR DES LAMES PRISMATIQUES<br />
SONT LOCALISEES AU VOISINAGE DE LA LAME.<br />
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T2<br />
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OPTIQUE PHYSIQUE / INTERFERENCES SUR LAMES MINCES D’EPAISSEUR VARIABLE<br />
1.1 Les indices de réfraction.<br />
On note ni l’indice de réfraction du milieu dans le quel se propage le rayon incident.<br />
On note n l’indice de réfraction de la lame prismatique.<br />
On note nt l’indice du milieu au-delà du dioptre 2.<br />
1.2 Expression de la différence de chemins optiques.<br />
L’expression de la différence de chemins optiques géométrique (entre R1 <strong>et</strong> R2 ou entre T1 <strong>et</strong> T2) est : géo =<br />
2.n.e = 2.n.α.x<br />
Pour obtenir l’expression de la différence de chemins optiques totale, il faut tenir la même discussion que<br />
pour les <strong>lames</strong> d’épaisseur constante (chapitre précédent) sur les réflexions vitreuses <strong>et</strong> ajouter selon les<br />
cas étudiés un terme supplémentaire égal à /2.<br />
Exemple, pour le cas d’une lame prismatique de verre dans l’air (ni = nt = 1 <strong>et</strong> n = indice du verre de la<br />
lame), la réflexion en I est vitreuse <strong>et</strong> celle en J est non vitreuse. Conclusion : entre les deux rayons R1 <strong>et</strong> R2<br />
qui interfèrent un chemin optique supplémentaire /2 sera ajouté à δgéo pour obtenir δtot. Par contre, pour<br />
les deux rayons transmis, les deux réflexions, en J <strong>et</strong> K, sont de même nature (non vitreuse), donc pas de<br />
terme supplémentaire.<br />
1.3 Expression de l’ordre d’interférence.<br />
La définition reste :<br />
tot p <br />
<br />
L’expression générale (présence ou pas du terme supplémentaire) de p devient alors :<br />
<br />
<br />
2ne<br />
2nx<br />
<br />
tot 2<br />
2 2nx<br />
1<br />
p <br />
<br />
, où peut prendre les valeurs 0 ou 1<br />
<br />
2<br />
(selon le nombre de réflexions vitreuses).<br />
1.4 Forme des franges d’interférences.<br />
Pour déterminer la forme (ou géométrie) des franges d’interférences on résout l’équation p=constante.<br />
Puisque les valeurs de n, α <strong>et</strong> λ sont constantes, la condition p=constante implique e=constante <strong>et</strong> donc<br />
x=constante. Plus précisément, si on considère tous les rayons lumineux incidents sur le dioptre 1 qui<br />
arrivent sur ce dioptre de façon à ce que la distance point d’incidence-arrête soit la même, ils donneront<br />
chacun deux rayons réfléchis (ou transmis) qui seront caractérisés par une même valeur de p.<br />
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OPTIQUE PHYSIQUE / INTERFERENCES SUR LAMES MINCES D’EPAISSEUR VARIABLE<br />
x<br />
Les franges sont rectilignes, parallèles à l’arête du prisme <strong>et</strong> équidistantes (voir démonstration ci-dessous).<br />
1.5 Interfrange.<br />
L’interfrange est la distance notée i, séparant deux franges de même nature.<br />
<br />
Son expression est : i <br />
2n<br />
Démonstration :<br />
Soit p l’ordre d’interférence d’une frange située à la distance x de l’arrête, <strong>et</strong> p’ l’ordre d’interférence de la<br />
frange voisine de même nature (par exemple deux franges brillantes successives ou deux franges sombres<br />
successives) située, elle à la distance x’ de l’arrête. L’interfrange i est la distance entre les deux franges,<br />
donc i = x’-x.<br />
L’expression de p est :<br />
L’expression de p’ est :<br />
2nx<br />
1<br />
p <br />
2<br />
2nx'<br />
1<br />
p '<br />
<br />
2<br />
2nx'<br />
1 2nx<br />
1 2n<br />
2n<br />
2 2 <br />
On écrit la différence p’-p : p'<br />
p <br />
x'x i<br />
Comme les franges ont même nature <strong>et</strong> qu’elles sont voisines (la première <strong>et</strong> la deuxième brillante<br />
<br />
Ou encore, la dixième <strong>et</strong> la onzième sombre), p’-p = 1. On en déduit : i <br />
2n<br />
1.6 Position des franges.<br />
Pour déterminer les positions des franges (en général, on cherche les franges brillantes <strong>et</strong> sombres) on<br />
utilise l’expression de l’ordre d’interférences p.<br />
La valeur de p au niveau de l’arête est donnée par la condition x = 0. On obtient alors :<br />
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OPTIQUE PHYSIQUE / INTERFERENCES SUR LAMES MINCES D’EPAISSEUR VARIABLE<br />
2nx<br />
1 1<br />
p <br />
2 2<br />
Pour une lame prismatique de verre dans l’air, la valeur de p au niveau de l’arête sera égale à 0 en<br />
transmission <strong>et</strong> à 0,5 en réflexion. On en déduit que l’arête sera vue brillante en transmission <strong>et</strong> sombre en<br />
réflexion.<br />
L’expression de p montre que si x augmente, p augmente.<br />
On en déduit la valeur de p pour la première frange brillante : p = 1. Les valeurs de n, α <strong>et</strong> λ étant données,<br />
on peut déduire la valeur de x1 donnant la position de la frange brillante N°1. On fait de même pour la<br />
frange brillante N°2 qui sera, elle, caractérisée par l’ordre d’interférence p = 2.<br />
Pour les franges sombres, la méthode est la même, mais, toujours en prenant l’exemple de la lame<br />
prismatique de verre dans l’air, la frange sombre N°1 en réflexion sera caractérisée par p = 1,5 (0,5 étant<br />
réservé à l’arête) <strong>et</strong> par p = 0,5 en transmission.<br />
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OPTIQUE PHYSIQUE / INTERFERENCES SUR LAMES MINCES D’EPAISSEUR VARIABLE<br />
2. Anneaux de Newton.<br />
Un des dispositifs perm<strong>et</strong>tant l’observation des <strong>anneaux</strong> de Newton est le suivant :<br />
I<br />
R1 R2<br />
x<br />
Seuls les rayons réfléchis ont été<br />
représentés (pour des raisons de<br />
commodité !). L’étude est identique à celle<br />
réalisée pour la lame prismatique. On<br />
constate que les deux premiers rayons qui<br />
interfèrent se coupent (virtuellement) au<br />
voisinage de la lame d’épaisseur variable.<br />
Les interférences sont localisées au<br />
voisinage de la lame.<br />
2.1 Expression de la différence de chemins optiques.<br />
La différence de marche géométrique est géo = 2.n.e, où n est l’indice de la mince lame d’épaisseur<br />
variable, <strong>et</strong> e est l’épaisseur de la lame définie par le point d’incidence du rayon incident (voir le segment<br />
en trais épais sur la figure ci-dessus). L’expression de l’épaisseur e en fonction de x est donnée par<br />
l’expression de la flèche (approchée) :<br />
2<br />
x<br />
e e0<br />
2R<br />
où e0 représente la distance entre le somm<strong>et</strong> de la face<br />
sphérique <strong>et</strong> le dioptre plan (d’axe x) <strong>et</strong> R représente le rayon de courbure de la face sphérique de la<br />
lentille. On en déduit l’expression de géo en fonction de x :<br />
<br />
géo<br />
nx<br />
2. n.<br />
e0<br />
<br />
R<br />
2<br />
Pour obtenir l’expression de tot il faut encore discuter la présence éventuelle du terme /2.<br />
2<br />
nx <br />
Tot 2.<br />
n.<br />
e0<br />
<br />
où la valeur de est égale à 0 ou 1 (en fonction du nombre de réflexions<br />
R 2<br />
vitreuses).<br />
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OPTIQUE PHYSIQUE / INTERFERENCES SUR LAMES MINCES D’EPAISSEUR VARIABLE<br />
2.2 Expression de l’ordre d’interférence.<br />
On en déduit l’expression de l’ordre d’interférences :<br />
2.<br />
n.<br />
e 2<br />
0 nx 1<br />
p <br />
R<br />
2<br />
Prenons l’exemple du dispositif d’une lame parallèle posée (donc en contact, donc e0 = 0) sur une lentille<br />
plan convexe. Entre la lame <strong>et</strong> la lentille, il y a de l’air.<br />
En réflexion :<br />
En transmission :<br />
2<br />
x<br />
p <br />
R<br />
1<br />
2<br />
2<br />
x<br />
p <br />
R<br />
2.3 Forme des franges.<br />
La forme des franges est donnée par la condition p = constante (on utilisera ici l’expression de p en fonction<br />
de x) :<br />
2.<br />
n.<br />
e 2<br />
0 nx 1<br />
p <br />
R<br />
2<br />
. Pour que la valeur de p reste constante il faut que x reste constant. La<br />
symétrie du problème donne le résultat suivant : les franges sont circulaires <strong>et</strong> centrées sur l’axe optique de<br />
la lentille : ce sont des <strong>anneaux</strong>. Dans le cas où il y a contact entre la lame à faces planes <strong>et</strong> parallèles <strong>et</strong> le<br />
dioptre sphérique de la lentille, au centre de la figure, x = 0. On en déduit que le centre de la figure est<br />
sombre en réflexion <strong>et</strong> brillant en transmission.<br />
2.4 Calcul des rayons des <strong>anneaux</strong> brillants <strong>et</strong> sombres.<br />
Pour le calcul des rayons (ou diamètres) des <strong>anneaux</strong> on utilise l’expression de p en fonction de x. Au centre<br />
de la figure d’interférences, la valeur de p (notée p0) est minimum. Lorsque x augmente, p augmente. Donc<br />
l’ordre d’interférence du premier anneau brillant est le premier entier supérieur à p0. L’ordre d’interférence<br />
du premier anneau sombre est le premier nombre du type k+0,5 (où k est un entier) supérieur à p0. L’ordre<br />
d’interférence d’un anneau étant caractérisé, on peut alors calculer la valeur de x qui correspond au rayon<br />
de l’anneau recherché.<br />
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2.5 Observation des <strong>anneaux</strong>.<br />
Pour observer les interférences, on utilise un instrument d’optique de type loupe ou viseur. On peut<br />
également prendre une photographie (le plan du négatif étant alors conjugué du plan où sont localisées les<br />
franges d’interférences).<br />
3. Exemples de calculs.<br />
Exemple n°1 : anneau de Newton. On observe en réflexion les interférences produites en éclairant en<br />
incidence normale un dispositif d’<strong>anneaux</strong> de newton. Le rayon de courbure de la face sphérique est de 1m.<br />
L’indice de l’air est égal à 1. Il y a contact entre la lame plane <strong>et</strong> la lentille. La longueur d’onde est =546<br />
nm. Calculer les diamètres des trois premiers <strong>anneaux</strong> brillants.<br />
Solution :<br />
L’ordre d’interférence entre les deux rayons réfléchis est :<br />
2<br />
x<br />
p <br />
R<br />
Au centre de la figure d’interférence, x = 0 <strong>et</strong> p0 = 0,5. Donc les ordres d’interférence des trois premiers<br />
rayons sont 1, 2 <strong>et</strong> 3. On peut maintenant calculer les diamètres :<br />
1 er anneau :<br />
p<br />
1<br />
2<br />
x1<br />
1 <br />
R<br />
1<br />
2<br />
1 <br />
9<br />
le rayon de l’anneau 1 est : x1 1<br />
<br />
R 0,<br />
5.<br />
546.<br />
10 . 1 0,<br />
52 mm<br />
2 <br />
1 <br />
9<br />
le rayon de l’anneau 2 est : x2 2<br />
<br />
R 1,<br />
5.<br />
546.<br />
10 . 1 0,<br />
64 mm<br />
2 <br />
1 <br />
9<br />
le rayon de l’anneau 3 est : x3 3<br />
<br />
R 2,<br />
5.<br />
546.<br />
10 . 1 0,<br />
83 mm<br />
2 <br />
Exemple n°2 : lame prismatique. On considère un prisme de p<strong>et</strong>it angle = 5’ d’indice 1,5. Il est éclairé en<br />
incidence normale par un faisceau de lumière monochromatique de longueur d’onde = 550 nm. L’ordre<br />
d’interférence est :<br />
nx<br />
1<br />
p en réflexion <strong>et</strong><br />
2<br />
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1<br />
2<br />
nx<br />
p en transmission. L’ordre d’interférence calculé<br />
<br />
sur l’arête est 0,5 en réflexion <strong>et</strong> 0 en transmission. On en déduit que l’arête est vue sombre en réflexion <strong>et</strong><br />
brillante en transmission.<br />
En réflexion :<br />
La frange n°k brillante a pour abscisse :<br />
La frange n°k sombre a pour abscisse<br />
x k<br />
1 <br />
k<br />
. .<br />
2 n<br />
<br />
k.<br />
n<br />
x k .<br />
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En transmission :<br />
La frange n°k brillante a pour abscisse :<br />
La frange n°k sombre a pour abscisse<br />
x k<br />
<br />
k.<br />
n<br />
x k .<br />
1 <br />
k<br />
. .<br />
2 n<br />
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