CorE4.5 - s.o.s.Ryko

⋆ ER ⋆ Associations d’impédances
Déterminer
l’impédance complexe
Z du réseau dipolaire
entre les bornes A et
B dans les quatre cas
suivants.
En déduire à chaque
fois l’impédance
réelle Z ainsi que
le déphasage de la
tension u par rapport
au courant i.
Méthode (rappel)
Expression littérale d’un argument :
a
c
A
u
B
A
u
B
i
i
C
L
Soit ϕ, le déphasage de la tension aux bornes d’un dipôle par rapport au courant qui le traverse
en convention récepteur : il s’agit de l’argument de l’impédance complexe de ce dipôle :
⎧
⎨ u U
=
Z = i I
⎩
Re(Z)+jIm(Z) = a+j.b
C
L
R
R
Um
= .e
Im
j(ϕu−ϕi) jϕ
= Z.e = Z.cos(ϕ)+j.Z.sin(ϕ)
Z.cos(ϕ) = a a
On en déduit : ⇒ cos(ϕ) = et tan(ϕ) =
Z.sin(ϕ) = b Z
b
a
• Si Re(Z) = a > 0 : alors cos(ϕ) > 0 ⇔ ϕ ∈ − π π
,
2 2
b
et donc : ϕ = arctan
a
• Si Re(Z) = a < 0 : alors cos(ϕ) < 0 ⇔ ϕ ∈ −π,− π
π
∪
2 2 ,π
b
et donc : ϕ = ±π +arctan
a
• Si Re(Z) = a = 0 : Deux cas :
- ou bien b < 0 alors : ϕ = − π
2
- ou bien b > 0 alors : ϕ = π
2
b
d
A
u
B
A
u
B
i
i
C
R
C
R
C
R
L
ERÉlec(4)

ERÉlec(4)
Associations d’impédances et déphasages PTSI-A | 2011-2012
Solution
a) On établit : Z =
Comme arg
jCω. R+j.
R+jLω
Lω − 1
Cω
u
= arg(u)−arg(v)−arg(w), on a :
v.w
ϕ = arg(Z) = arg(R+jLω)−arg(jCω)−arg R+j. Lω − 1
Cω
Lω
= arctan −
R
π
2 −arctan
⎛
Lω −
⎜
⎝
1
⎞
Cω ⎟
⎠
R
b) On établit : Z = R+
c) On établit : Z = L
C .
1+jRCω
R+j Lω − 1
Cω
Soit :
ϕ = arg(Z) = arg
jLω
Lω
= a+jb avec a > 0, donc : ϕ = arctan
1−LCω 2 R.(1−LCω 2
)
L
C
= 0+arg(RCω)−arg
3+j RCω −
d) On établit : Z = R.
1
RCω
1+jRCω
Soit :
+arg(1+jRCω)−arg R+j
⎛
Lω −
⎜
⎝
1
⎞
Cω ⎟
⎠
R
Lω − 1
Cω
ϕ = arg(Z) = arg(R)+arg 3+j RCω − 1
−arg(1+jRCω)
RCω
1
= 0+arctan RCω −
3
1
−arctan(RCω)
RCω
Le reste de la correction est en ligne.
2 http://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com