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Page 8 DS 6 le 26 mars 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI Numériquement on obtient r min= 3,8.10 −14 m . RUTHERFORD a ainsi donné la première estimation de dimension pour le noyau atomique. 7. Loin du noyau, la particule α est isolée, elle a un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v0. On sait que les trajectoire des points soumis à des forces centrales newtonniennes sont des coniques. La seule conique ayant des asymptote est l’hyperbole. On en déduit que la trajectoire est une branche d’hyperbole. 8. La RFD s’écrit : En projection sur (Ox) on obtient d v m d t d vx m d t 2Z e2 = er 4πε0r 2 2Z e2 = cosθ 4πε0r 2 La conservation du moment cinétique permet d’écrire d’où on peut tirer mr 2 ˙ θ=−mbv0 1 r 2 =− ˙ θ bv0 On reporte cette expression dans la projection de la RFD que l’on intègre, il vient : qui s’intègre en soit En utilisant ∞ 0 m d vx d t = d t [mvx] ∞ 0 = ∞ 0 2Z e2 − ˙θ cosθd t 4πε0 2Z e2 − sinθ(t) 4πε0 ∞ 2Z e2 mv0 cos D− mv0=− sinD 4πε0 2 D cos D− 1=−2sin 2 sin D = 2cos D D sin 2 2 0 on obtient 2mv0 sin D 2 Finalement, on en déduit la relation cherchée D tan 2 = 2Z e2 = 2cos 4πε0 D 2 2Z e 2 4πε0mv 2 0 b 9. On travaille pour cela dans le référentiel barycentrique qui est galiléen car le système est isolé. Le repère choisi a pour origine G. La particule α se trouve en Mα et le noyau d’or en Mor. On introduit un point M tel que GM = MorMα= GMα−GMor En combinant cette équation et la définition du barycentre on obtient mαGMα+ morGMor= 0 GMα = mor GM mor+ mα La RFD appliquée à la particule α dans le référentiel barycentrique s’écrit : dGMα 2Z e2 MorMα mα = d t 4πε0 MorMα ce qui se transforme à partir de l’expression précédente de GMα en mormα mor+ mα dGM d t 3 2Z e2 GM = 4πε0 GM Tout se passe comme si une particule fictive de masse mormα et de charge 2e placée mor+mα en M subissait la force d’une charge Z e placée en G. On se retrouve donc dans la situation traitée précédemment en remplaçant O par G et mα par mormα mor+mα . Pour trouver la trajectoire de Mα, il suffit de reprendre la relation GMα = mor GM mor+ mα qui montre que cette trajectoire se déduit de celle de M par homothétie. 3
Page 9 DS 6 le 26 mars 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI <strong>Problème</strong> 3 Petites Mines 2002 commun A-1 Le mobile est soumis au poids, à la réaction du plan horizontal et à la tension du ressort. La projection de la relation fondamentale de la dynamique (RFD) sur la verticale montre que les deux premières forces se neutralisent. La force totale est donc la tension du ressort, dont le support passe par O et dont le moment en O est nul. D’après le théorème du moment cinétique (TMC), le moment cinétique en O reste donc constant au cours du mouvement. A-2-1 Calculé à l’instant t = 0, le moment cinétique est nul ; donc mr 2 ˙ θ = 0, ce qui montre que θ est constant et que le mouvement a lieu sur l’axe Ox. A-2-2 La RFD s’écrit en projection sur Ox m ¨ ℓ=−k(ℓ−ℓ0) La solution, compte tenu des conditions initiales, ℓ(0)=1,2ℓ0 et ˙ ℓ(0)=0 est : ⎡ ℓ=ℓ0 ⎣1+0,2cos k m t ⎤ ⎦ ℓ évolue ainsi entre 0,8ℓ0 et 1,2ℓ0. A-3-1 . Le moment cinétique est égal à : LO = OM∧ mv = mr 2 ˙ θk = mℓ 2 1 ωk A-3-2 L’énergie potentielle élastique est égale à : Ep = 1 2 k(r − ℓ0) 2 Le mouvement étant horizontal, il ne faut pas tenir compte des forces verticales comme le poids. Comme il existe une énergie potentielle associée à la force totale, il y a conservation de l’énergie : Em = 1 2 mv 2 + Ep = 1 2 mℓ21 ω2 + 1 2 k(ℓ1− ℓ0) 2 = 1 2 m ˙r 2 + r 2 θ˙ 2 + 1 2 k(r − ℓ0) 2 A-3-3 D’après A-3-1, ˙ θ= ωℓ2 1 r 2 , donc Em = 1 2 m ˙r 2 + E eff(r ) où dont le graphe est tracé ci-dessous. E eff(r )= mℓ2 1 ω2 2r 2 1 2 + k(r − ℓ0) 2 A-3-4 1 2 m ˙r 2 étant positif ou nul, seule est accessible la région où E eff(r ) ≤ Em. Le mobile ne peut s’éloigner indéfiniment, car limr→+∞ E eff(r )=+∞. A-3-5 Comme ˙ θ= ωℓ2 1 r 2 , la vitesse ne peut s’annuler au cours du mouvement si ω= 0. A-3-6 Le mobile ne peut passer par O, car limr→0 E eff(r )=+∞. A-4-1 Comme ˙ θ= ωℓ2 1 r 2 , ˙ θ= ω : le mouvement est uniforme. A-4-2 Lorsqu’on dérive l’expression de l’énergie mécanique par rapport au temps on obtient m ¨r = − dEeff . Pour r = ℓ1 = const on a donc m ¨r = 0 =− dr dEeff (r = ℓ1). D’où dr − mℓ4 1ω2 r 3 + k(r − ℓ0)=0 ℓ0 soit r = ℓ1= 1− mω2 k , qui exige ℓ1> 0, soit ω< m k . B-1 Les forces d’inertie sont égales à : fie = mω 2 r er fiC =−2mΩ∧ ˙r er =−2mω ˙r eθ B-2 Une force F appliquée à un mobile ponctuel dérive d’une énergie potentielle Ep si le travail de la force vérifie δW = F .dr =−dEp pour tout déplacement. La force d’inertie d’entraînement fie dérive de l’énergie potentielle Ep fi e =− 1 2 mω2 r 2 B-3 La force de CORIOLIS ne dérive pas d’une énergie potentielle, car il n’existe pas de fonction de la position dont elle soit le gradient, étant donné qu’elle dépend de la vitesse. Par contre on pourrait associer à cette force une énergie potentielle
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