Problème 1

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision
et à la concision de la rédaction. Les copies illisibles ou mal présentées
seront pénalisées.
Toute application numérique ne comportant pas d’unité ne donnera pas lieu
à attribution de points.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Question de cours 1
1. Un anglais pèse 160 lb (livres). Sachant que le facteur exact de conversion
est 0,45359237 kg/lb, indiquer la masse de l’anglais en kg.
2. La relation suivante donne le rayon de la trajectoire circulaire d’une
particule chargée de masse m, de charge q de vitesse v dans un référentiel
où règne un champ magnétique d’intensité B : R = |q|B
mv . Cette
relation est-elle correcte ?
3. À partir de la constante de la gravitation universelle G = 6,67×10 −11
S.I., de la constante de PLANCK h= 6,62×10 −34 S.I. et de la vitesse de la
lumière c = 3,0×10 8 m.s −1 , on peut définir une masse, dite de PLANCK,
mP. Trouver son expression et sa valeur.
Question de cours 2
Choisir une famille du tableau périodique et indiquer toutes les propriétés
connues sur cette famille (pas plus d’une demi–page).
Question de cours 3
1. Rappeler les lois de SNELL-DESCARTES pour la réfraction
2. Dans quelles conditions, observe-t-on le phénomène de réflexion totale ?
En donner une application.
Problème 1
A. Une lentille mince convergente (L) de centre O et de distance focale f ′
utilisée dans les conditions de GAUSS forme d’un objet réel AB une image
A’B’ réelle sur un écran (E), A et A’ sont sur l’axe optique.
DS 1 le 1er octobre 2012
OPTIQUE – ATOMISTIQUE
1. Écrire la relation de conjugaison reliant p = OA et p ′ = OA ′ .
2. La distance A A ′ = D étant fixée, montrer que p est solution d’une équation
du second degré dont les solutions p1 et p2 correspondent à deux
positions possibles O1 et O2 de (L) permettant de projeter AB sur
l’écran (on pose p1 > p2). Exprimer p1 et p2 en fonction de f ′ et de
D. Comment se placent ces deux positions entre A et A’ ?
3. Établir l’expression de la distance focale f ′ en fonction de D et d = O1O2
4. Quel nom donne–t–on à cette méthode de détermination de distance
focale ?
5. Application numérique : On règle la distance objet–écran à une valeur
D = 810±2 mm un peu supérieur au minimum possible. On mesure
les deux positions de la lentille donnant une image nette sur l’écran :
p1 =−360±3 mm et p2 =−452±9 mm. Calculer la distance focale f ′ et
l’incertitude∆f ′ sur sa valeur.
B. On diminue la distance D jusqu’à la valeur Dm telle qu’il n’y ait plus
qu’une position de (L) permettant d’obtenir une image A’B’ nette de AB.
Montrer que dans ce cas, AB =−A ′ B ′ , et exprimer f ′ en fonction de Dm.
Connaissez–vous le nom donné à cette méthode ?
C. On place maintenant un miroir plan (M) juste derrière (L) perpendiculairement
à l’axe optique. À quelle distance de l’objet AB faut–il placer
(L) pour que l’image A’B’ soit observée exactement dans le même plan
que AB Que vaut alors le grandissement ? Quel nom donne–t–on à cette
méthode ?

Page 2 DS 1 le 1er octobre 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI
D. Pour mesure la distance focale f ′ 0 < 0 d’une lentille divergente (L0), on se
sert d’une lentille convergente (L) de distance focale f ′ connue. On forme
d’abord une image de l’objet AB à l’infini en le plaçant dans le plan focal
objet d’une lentille collimatrice convergente (Lc) de même axe optique
que (L), placée suffisamment loin derrière.
1. Où se trouve l’image A’B’ formée par (L) ?
2. On interpose ensuite (L0) exactement dans le plan focal objet de (L),
ce qui a pour effet de reculer l’image A’B’ d’une distance δ par rapport
à sa position précédente. De quel point remarquable A’ est–il alors
l’image?
3. Montrer que la mesure de δ permet d’obtenir simplement f ′ 0 par une
relation que l’on démontrera.
Cette méthode de mesure des distances focales porte le nom de méthode
de BADAL.
Problème 2
Ce problème est constitué de deux parties indépendantes. Dans la première
partie, on étudie un appareil photo ; dans la seconde, un projecteur de diapositives.
On veillera à faire les applications numériques pour chacune des
questions.
A- On assimile l’objectif de l’appareil photographique à une lentille mince
convergente de distance focale image f ′ a = 135 mm.
1- On désire photographier une toile de maître située à 3 m en avant de
l’objectif. À quelle distance p ′ > 0, en arrière de l’objectif, faut–il placer
les cellules sensibles de la pellicule pour obtenir une image nette de
la toile ?
2- Cet appareil photographique est utilisé pour photographier le ciel nocturne.
Son format est le 24 × 36, ce qui signifie que la pellicule photographique
mesure 24 mm de hauteur et 36 mm de largeur. Quel est le
champ du ciel photographié ? On exprimera le résultat sous la forme
α×β où α et β sont des angles exprimés en degré.
3- Calculer, en minute d’arc ( ′ ) (rappel 1 ◦ = 60 ′ ), le diamètre apparent θ
du disque lunaire vu par l’objectif de l’appareil photographique. On
supposera la Lune sphérique, de rayon 1740 km, et de centre situé à
384 000 km de l’objectif.
4- Avec cet appareil, on photographie la pleine Lune,l’axe optique de l’objectif
étant dirigé vers le centre du disque lunaire. On effectue un tirage
de la pellicule sur du papier de format 10×15 cm 2 . Quel est le
diamètre d du disque lunaire sur le papier ?
B- On cherche maintenant à concevoir un projecteur de diapositives de taille
24 mm ×36 mm permettant d’obtenir une image de 1,2 m de large sur un
écran situé en E à ℓ = 3,0 m du centre optique de la lentille mince (C1)
pour une diapositive placée en I avec son coté le plus long placé horizontalement.
On notera e la distance IF et m la distance F’E. La figure
ci-dessous propose une vue de dessus du projecteur.

Page 3 DS 1 le 1er octobre 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI
S
G
I
D
e
C1
m
F O F’ E
1. Quel est le grandissement γ nécessaire ? Commenter le signe.
2. Tracer les rayons permettant d’obtenir les points G’ et D’, image des
points G et D représentant respectivement les bords gauches et droits
de la diapositive. Dans quel sens faut-il placer la diapositive ? Justifier
votre réponse.
3. Déterminer les expressions de e, m et f ′ en fonction du grandissement
γ et de ℓ. Réaliser l’application numérique pour le grandissement souhaité.
4. On souhaite en plus pouvoir obtenir une image nette par déplacement
de l’objectif pour des distances comprises entre 2 et 5 m. Quelles sont
les grandissements et largeurs d’images horizontales correspondants
à ces deux limites (image nette d’une diapositive avec son coté le plus
long placée horizontalement) ?
Problème 3
Soit le système formé par l’association d’une lentille mince L1 de foyers
image F’1 et objet F1 et de distance focale f ′ 1 = 3a, et d’un miroir concave
M2 de foyers image F’2 et objet F2 et de distance focale f ′ 2 =−a. Le miroir est
placé à la distance e = 2a derrière la lentille.
1. Déterminer graphiquement la position du foyer image F’ du système.
2. Retrouver ce résultat par un calcul en déterminant l’expression de F’2F’.
3. Déterminer graphiquement la position du foyer objet F du système optique
formé par L1 puis M2.
4. retrouver ce résultat par un calcul en déterminant l’expression de F1F.

Page 4 DS 1 le 1er octobre 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI
Commentaires et correction :
Problème 1
Le problème a été bien compris dans l’ensemble, mais les démonstrations n’étaient
pas toujours très convaincantes.
Ainsi pour la méthode de SILBERMANN, il faut montrer que A’B’=−AB et ne pas le
supposer pour faire la suite.
Pour la méthode de Badal, il faut aussi justifier clairement pourquoi A’ est l’image de
F’0. Pour le calcul, la formule de NEWTON est beaucoup plus efficace que la formule
de DESCARTES
Problème 2
Vous êtes nombreux à vous faire piéger dès la première question par la valeur de
OA qui est négative car l’objet est réel !
Les question sur l’appareil photo étaient principalement des questions pour réaliser
des applications numériques. Elles ont été très sélectives.
L’étude du projecteur n’a pas été souvent abordé. Le grandissement n’a pas été souvent
trouvé négatif et les calculs proposés ont été très rarement fait correctement
jusqu’au bout.
Problème 3
Exercice classique d’un doublet à savoir résoudre. L’originalité réside ici dans la
présence d’un miroir. Attention, le texte précisait clairement qu’on étudie le doublet
lentille miroir et pas le système lentille – miroir – lentille comme on le fait dans
l’étude de l’autocollimation. Cela aurait été certainement plus réaliste,mais c’est
aussi un peu plus compliqué et surtout ce n’est pas ce qui est demandé !
Problème 1
A- (a) La relation de conjugaison s’écrit 1
1
p
OA’
′ − 1
p
− 1
OA’
= 1
f ′
1
= ou
f ′
(b) Ici AA’=D donc p ′ = OA’=OA+AA’= p+ D. La relation de conjugaison devient
:
1
p+ D
1 1
− =
p f ′
soit −D f ′ = p(p+ D). On en déduit l’équation du second degré :
p 2 + pD+ D f ′ = 0
de solutions :
⎧
⎨
⎩
p1 =− D
p2 =− D
2 +
2 −
D 2
D 2
4 − D f ′ < 0
4 − D f ′ < 0
On a supposé que D2
4 − D f ′ ≥ 0, c’est à dire que D ≥ 4f ′ .
Les deux positions sont symétriques par rapport au milieu de [A,A’].
(c) La distance O1O2 est égale à d = O1O2
= O2−OO1 =
p2− p1
. Comme
D
p1 ≥ p2, on a d = p1− p2= 2
2
4 − D f ′ = D2− 4D f ′ d’où d 2 = D2− 4D f ′ et
f ′ = D2 − d 2
4D
C’est la méthode de BESSEL.
(d) L’application numérique conduit à : f ′ = 200 mm
Pour l’incertitude, on écrit :
∆f ′
∂f ′ 2
= (∆D)
∂D
2
∂f ′ 2
+ (∆d)
∂d
2
D2 + d 2
=
4D2 2 (∆D) 2 2 −d
+ (∆d)
2D
2
∆p12+
2 ′
ici∆D = 2 mm,∆d = ∆p2 = 9,5 mm, on trouve ∆f = 0,8 mm .
B- Lorsqu’il n’y a plus qu’une solution à l’équation du second degré : p = − D
2 et
p ′ = p+D =+ D
2 soit OA’=−OA. D’après la définition du grandissement et le théorème
de THALÈS :
γ= A’B’
AB
= OA’
OA =−1
La relation de conjugaison donne 1 1
−
D/2 −D/2
C’est la méthode de SILBERMANN.
f ′ = D
4
1
= , d’où
f ′

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C- On a la suite de systèmes optiques suivante :
et on veut A=A’.
Les relations de conjugaison donnent :
1
OA1
A (L) (M) (L)
→ A1 → A2 → A’
− 1
OA
1
= et O’A1=−O’A2
f ′
Dans le passage de A2 à A’, la lumière va dans le sens inverse. D’après le principe
de retour – inverse de la lumière, l’image de A’(=A) devrait être A2 avec des
rayons qui vont de la gauche vers la droite, on a donc :
1
−
OA2
1 1
=
OA f ′
La confrontation des deux relations de conjugaison impose :
1
=
OA2
1
OA1
La solution A1=A2 n’est pas compatible avec O’A1 = −O’A2, a moins que
A1=A2=O’. Le miroir est dans ce cas placé là où se forme l’image de l’objet à
travers la lentille. Comme le miroir est placé directement après le miroir, on ne
tient pas compte de cette solution.
La seule solution possible est alors telle que :
1
= 1
= 0, ce qui conduit à
OA2
OA1
A1 et A2 à l’infini, c’est à dire que A est au foyer objet de (L) en F.
Tous les rayons venant de B sortent en faisant le même angle i avec l’axe. Après
réflexion sur le miroir, on retrouve cet angle inversé. Le rayon non dévié au retour
montre que l’image de B se trouve en son symétrique par rapport à l’axe
optique, d’où :
B
γ= A’B’
AB =−1
A=F O O’
B’
C’est la méthode de focométrie par autocollimation.
D- (a) AB a son image à l’infini à la sortie de (Lc). Cette image à l’infini sert d’objet
de (L), l’image A’B’ sera donc dans le plan focal image de (L).
(b) Les différentes images de A après traversée des lentilles (Lc), (L0) et (L)
sont :
A (Lc ) (L0)
→ A’∞
→ F’0→
A’
F’0 est le foyer image de (L0), A’ est son image à travers (L).
(c) La formule de Newton appliquée à (L) pour les points conjugués (F’0,A’)
donne :
(L)
F’A’.FF’0 =−f ′2
avec ici F’A’=δ et FF’0= O0F’0 = f ′ 0 , on obtient δf ′ 0 =−f ′2 d’où
f ′ ′2 f
0 =−
δ
Problème 2
A- 1- On applique la relation de conjugaison avec origine au centre :
1 1
−
O A ′ O A
= 1
f ′
avec f ′ a = 0,135 m et O A=−3 m. On obtient :
O A ′ = f ′ aO A
f ′ = 14 cm
a+O A
2- La mise au point se faisant sur le ciel nocturne à l’infini, la pellicule est située
dans le plan focal image de l’appareil. En chaque point de la pellicule se
forme l’image d’un point B∞ du ciel. Les rayons qui en proviennent correspondent
à des rayons incidents qui ont tous même inclinaison par rapport à
l’axe optique. Cette inclinaison se détermine à l’aide du rayon passant par O
qui n’est pas dévié.
B∞
α
O F’
α

Page 6 DS 1 le 1er octobre 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI
À partir de la figure on lit : tanα= a
f ′ , donc α=arctan
a
a
f ′ .
a
Suivant le petit axe de la pellicule : a = 12 mm soit α=5,08 ◦ donc le champ
angulaire vaut 2α=10,16 ◦ .
Suivant le grand axe de la pellicule : a = 18 mm soit α=7,59 ◦ donc le champ
angulaire vaut 2α=15,18 ◦ .
On retiendra que le champ photographié a pour dimension 10 ◦ × 15 ◦
3- La Lune de rayon RL à la distance dL est vu sous l’angle :
θ= 2arctan RL
dL
= 0,519 ◦ = 31 ′
On aurait pu utiliser l’approximation θ= 2α≃ 2 RL
dL = 9,06×10−3 rad=31 ′
4- Si l’on note D le diamètre de la Lune sur la pellicule, on en déduit que :
θ
2
= arctan D/2
f ′ a
soit numériquement D = θ f ′ a = 1,22 mm
≃ D/2
f ′ a
Le grandissement effectué pendant le tirage papier est de :G = 100
24 .
On en déduit une dimension du diamètre d du disque lunaire :
d = GD = 5,1 mm
B- 1. D’après la définition du grandissement,
γ= A’B’
AB =
1,2
=−33
36×10−3 Le signe est négatif car l’image est renversée.
2. On obtient la figure suivante. Comme l’image est renversée, il faut mettre la
diapositive la tête en bas.
S
G
I
D
e
C1
m
D’
F O F’
E
G’
3. D’après la relation de conjugaison avec origine au centre, on a :
Comme γ= OE
OI
1
OE
1 1
− =
OI f ′
ℓ
1 γ 1
= , on déduit −
OI ℓ ℓ = f ′ . On obtient finalement :
f ′ = ℓ
= 8,8 cm
1−γ
On trouve alors m par la relation ℓ= f ′ + m, d’où :
m= ℓ− f ′ = ℓ− ℓ ℓγ
= = 2,91 m
1−γ 1−γ
D’après la relation de conjugaison avec origine au foyer FI.F’E=−f ′2 , on déduit
: −e m=−f ′2 , soit :
2 ℓ γ−1
e =
1−γ γℓ =
4. D’après les formules de grandissement :
γ= F’E
F’O
Numériquement, on en déduit :
Problème 3
ℓ
= 2,7 mm
γ(γ−1)
′
m ℓ− f
=− =−
f ′ f ′
22

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F1
2. On a la suite d’image suivante :
C2
O1
L1 ′ M2
A∞ → F 1 → F
On écrit donc la formule de NEWTON pour le couple de point F’1, F’ à travaers le
miroir M2 :
d’où on déduit :
F’2F’.F’2F’1= f ′2 2
F’2F’= f ′2 2
Ce qui confirme la solution graphique.
F’2F’1
= a2 a
=
2a 2 .
3. Le foyer objet F correspond au point objet sur l’axe dont l’image est un point A’∞
à l’infini sur l’axe. Les rayons issus de F sortent du système paralèles à l’axe. On
peut obtenir F en utilisant un rayon parallèle à l’axe traversant le miroir puis la
lentille de la droite vers la gauche et en exploitant le principe de retour inverse
de la lumière. On obtient la figure suivante :
F’2
F’
F’1
F1
4. On a la suite d’image suivante :
C2
O1
F L1 M2
→ F2 → A’∞
On écrit donc la formule de NEWTON pour le couple de point F’1, F’ à travers la
lentille L1 :
d’où on déduit :
F’1F2.F1F=−f ′2 1
F1F=− f ′2 1
F’1F2
F’2
=− 9a2 9a
=
−2a 2 .
Ce qui confirme la solution graphique. On remarque que F et F’ sont confondus
dans ce dispositif.
F
F’1