Problème 1

Page 4 DS 1 le 1er octobre 2012 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI
Commentaires et correction :
Problème 1
Le problème a été bien compris dans l’ensemble, mais les démonstrations n’étaient
pas toujours très convaincantes.
Ainsi pour la méthode de SILBERMANN, il faut montrer que A’B’=−AB et ne pas le
supposer pour faire la suite.
Pour la méthode de Badal, il faut aussi justifier clairement pourquoi A’ est l’image de
F’0. Pour le calcul, la formule de NEWTON est beaucoup plus efficace que la formule
de DESCARTES
Problème 2
Vous êtes nombreux à vous faire piéger dès la première question par la valeur de
OA qui est négative car l’objet est réel !
Les question sur l’appareil photo étaient principalement des questions pour réaliser
des applications numériques. Elles ont été très sélectives.
L’étude du projecteur n’a pas été souvent abordé. Le grandissement n’a pas été souvent
trouvé négatif et les calculs proposés ont été très rarement fait correctement
jusqu’au bout.
Problème 3
Exercice classique d’un doublet à savoir résoudre. L’originalité réside ici dans la
présence d’un miroir. Attention, le texte précisait clairement qu’on étudie le doublet
lentille miroir et pas le système lentille – miroir – lentille comme on le fait dans
l’étude de l’autocollimation. Cela aurait été certainement plus réaliste,mais c’est
aussi un peu plus compliqué et surtout ce n’est pas ce qui est demandé !
Problème 1
A- (a) La relation de conjugaison s’écrit 1
1
p
OA’
′ − 1
p
− 1
OA’
= 1
f ′
1
= ou
f ′
(b) Ici AA’=D donc p ′ = OA’=OA+AA’= p+ D. La relation de conjugaison devient
:
1
p+ D
1 1
− =
p f ′
soit −D f ′ = p(p+ D). On en déduit l’équation du second degré :
p 2 + pD+ D f ′ = 0
de solutions :
⎧
⎨
⎩
p1 =− D
p2 =− D
2 +
2 −
D 2
D 2
4 − D f ′ < 0
4 − D f ′ < 0
On a supposé que D2
4 − D f ′ ≥ 0, c’est à dire que D ≥ 4f ′ .
Les deux positions sont symétriques par rapport au milieu de [A,A’].
(c) La distance O1O2 est égale à d = O1O2
= O2−OO1 =
p2− p1
. Comme
D
p1 ≥ p2, on a d = p1− p2= 2
2
4 − D f ′ = D2− 4D f ′ d’où d 2 = D2− 4D f ′ et
f ′ = D2 − d 2
4D
C’est la méthode de BESSEL.
(d) L’application numérique conduit à : f ′ = 200 mm
Pour l’incertitude, on écrit :
∆f ′
∂f ′ 2
= (∆D)
∂D
2
∂f ′ 2
+ (∆d)
∂d
2
D2 + d 2
=
4D2 2 (∆D) 2 2 −d
+ (∆d)
2D
2
∆p12+
2 ′
ici∆D = 2 mm,∆d = ∆p2 = 9,5 mm, on trouve ∆f = 0,8 mm .
B- Lorsqu’il n’y a plus qu’une solution à l’équation du second degré : p = − D
2 et
p ′ = p+D =+ D
2 soit OA’=−OA. D’après la définition du grandissement et le théorème
de THALÈS :
γ= A’B’
AB
= OA’
OA =−1
La relation de conjugaison donne 1 1
−
D/2 −D/2
C’est la méthode de SILBERMANN.
f ′ = D
4
1
= , d’où
f ′