Problème 1

Problème 1
Microscope à émission d’ions
Le microscope à émission d’ions,
imaginé et construit par Erwin
MÜLLER en 1951, fut le premier
appareil ayant une résolution suffisante
pour visualiser des atomes
dans un cristal métallique. Le microscope
se compose d’une pointe
très fine de métal placée dans
une cavité dont la paroi en verre
(l’écran du microscope) est recouverte
d’un revêtement phosphorescent
et conducteur. Le dispositif est
rempli d’hélium (ou d’un autre gaz)
à une très basse pression, l’écran est
mis à la masse et un important potentiel
électrique positif est appliqué
à la pointe.
À cause de l’effet de pointe, le champ
électrique est très important au niveau
de la pointe, et l’on fait en sorte
qu’il soit suffisant pour ioniser les
atomes d’hélium qui passent à proximité.
DL 11
ÉLECTROMAGNÉTISME – THERMODYNAMIQUE – CRISTALLOGRAPHIE
FIGURE 1: Image obtenue à partir d’une
pointe d’iridium. Chaque tache est l’image
d’un atome. Les zones avec des labels sont
des régions qui correspondent aux faces du
cristal, avec des atomes coplanaires. Avec de
l’habitude, on peut distinguer des défauts du
cristal.
L’électron part dans la pointe et l’ion He + est violemment projeté sur l’écran
et y forme une petite tache lumineuse. C’est au voisinage immédiat des
atomes qui composent la pointe que le champ électrique est le plus important,
et donc les ions d’hélium sont majoritairement formés au niveau de ces
atomes.
L’image produite sur l’écran reproduit donc l’agencement des atomes à la
surface de la pointe.
Seuls quelques aspects de ce dispositif seront abordés dans ce sujet. La première
partie établit quelques résultats utiles de la théorie cinétique des gaz.
Constantes physiques
Constante de Planck : h= 6,63.10 −34 J.s
Constante diélectrique du vide : ε0= 8,85.10 −12 F.m −1
Constante de Boltzmann : kB = 1,38.10 −23 J.K −1
Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.mol −1 .K −1
Charge du proton : e = 1,6.10 −19 C
Masse de l’électron : me = 9,1.10 −31 kg
Masse de l’hélium : m He= 6,6.10 −27 kg
Polarisabilité de l’hélium : α He= 2,5.10 −30 m 3
Diamètre effectif de l’hélium : d He= 0,19 nm
On prendra les valeurs suivantes pour les applications numériques
Champ électrique à la pointe : E0= 4,4.10 1 0 V.m −1
Pression dans la cavité : P = 0,15 Pa
Rayon de la pointe : r0= 30 nm
Rayon de l’écran : Re = 15 cm
Température du gaz : T = 300 K
On rappelle les valeurs des intégrales suivantes
+∞ x2
−
e 2 d x=
−∞
2π
+∞
x
−∞
2 x2
−
e 2 d x= 2π
+∞ x2
−
xe 2 d x= 1
−∞
+∞
x
−∞
3 x2
−
e 2 d x= 2
1. Partie préliminaire : Théorie cinétique des gaz
1.1. Atmosphère isotherme - facteur de Boltzmann
L’atmosphère terrestre est assimilée à un gaz parfait constitué de molécules
de masse molaire M = 29 g.mol −1 et plongé dans un champ de pesanteur g

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uniforme et dirigé vers le bas avec
g −2 = 10 m.s . On suppose que ce gaz
parfait est à l’équilibre thermodynamique à une température T = 300 K.
1.1.1 Établir la loi donnant la pression P(z) en fonction de l’altitude.
1.1.2 Évaluer l’épaisseur caractéristique de l’atmosphère dans ce modèle.
Donner un ordre de grandeur de la pression au sommet de l’Everest.
1.1.3 Montrer que, dans ce modèle, la densité volumique n(z) des molécules
est donnée par
n(z)=n(0)exp − Ep
(z)
(1)
E0(T )
où Ep(z) est l’énergie potentielle d’une molécule d’altitude z et où E0(T )
est une énergie caractéristique dépendant de la température mais indépendante
du gaz considéré. Donner l’expression de E0 en fonction de T et de la
constante de Boltzmann.
1.2. Distribution de Maxwell
On veut maintenant décrire la distribution d’équilibre des vitesses des molécules
dans un gaz à la température T lorsque l’on néglige l’influence de tout
champ extérieur.
1.2.1 Justifier que 〈vx〉=
v y =〈vz〉=0, où 〈.〉 représente la valeur moyenne
sur toutes les molécules du gaz et où (vx,v y,vz) sont les trois composantes de
la vitesse en coordonnées cartésiennes.
Par analogie avec l’équation (1), on admet que la densité des molécules dans
l’espace des vitesses est proportionnelle à exp −Ec(v)/E0(T ) , où Ec(v) est
l’énergie cinétique d’une molécule. C’est la distribution de MAXWELL.
1.2.2 Montrer que la loi de distribution de probabilité de chacune des composantes
(vx,v y,vz) de la vitesse est décrite par une loi " gaussienne " ou "
normale ", et écrire la probabilité pour que les composantes de la vitesse
soient respectivement comprises entre vx et vx+ d vx, entre v y et v y + d v y et
entre vz et vz+ d vz.
1.2.3 Montrer que la " vitesse quadratique moyenne " vq = v 2
vérifie
v 2 q = 3kB T
m
où m est la masse d’une molécule.
On s’intéresse maintenant à la distribution de probabilité de la norme de la
vitesse v = v .
1.2.4 Déterminer la probabilité p(v)d v que cette norme soit comprise entre
v et v+ d v. La fonction p(v) est appelée densité de probabilité de v.
1.2.5 En déduire que la valeur moyenne de la norme de la vitesse d’une molécule
est donnée par
〈v〉=
8kB T
1.2.6 Est-il étonnant que vq /〈v〉 soit un simple facteur numérique qui ne
dépende pas des caractéristiques du gaz ?
1.3. Chocs sur une surface
On considère une petite surface dS et l’on veut compter le nombre moyen
de chocs de molécules du gaz sur un côté donné de cette surface pendant un
temps τ. On note n le vecteur unitaire sortant normal à l’élément de surface.
Dans un premier temps, on ne compte que les chocs des molécules ayant une
vitesse comprise entre v et v+ d v.
1.3.1 De quelle région de l’espace peuvent venir les molécules du gaz susceptibles
de frapper la surface pendant le temps τ ? On repère les points de
ce volume par leurs coordonnées sphériques (r,θ,φ) d’axe n (voir la figure).
Quelles sont les valeurs pertinentes de (r,θ,φ) ?
On considère un petit volume dV dans cette région de l’espace.
1.3.2 Exprimez le nombre total de molécules dans le volume dV en fonction
de la pression et de la température du gaz, puis le nombre de molécules avec
une vitesse entre v et v+ d v. On exprimera le résultat à l’aide de la fonction
p(v) introduite à la question 1.2.4. Quelle approximation fait-on ? Est-elle
justifiée si l’on veut appliquer ces résultats au microscope ?
πm
(2)

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1.3.3 Quelle est la proportion des molécules dans le volume dV qui vont dans
la bonne direction pour heurter la surface dS ?
1.3.4 En déduire le nombre moyen de chocs sur la surface dS pendant le
temps τ par des molécules avant une vitesse entre v et v+ d v.
1.3.5 On tient maintenant compte de toutes les vitesses possibles. Montrer
que le nombre total moyen de chocs sur la surface dS pendant le temps τ est
de la forme τncdS avec
nc =
P
2πmkBT
Préciser la dimension et l’ordre de grandeur de nc dans les conditions de
fonctionnement du microscope.
Problème 2
L’espace est rapporté au repère cartésien (O,x,y,z) et on se situe dans l’air
(assimilé au vide quant aux propriétés diélectriques).
1. Préliminaires :
1. 1. Enoncer le théorème de GAUSS pour l’électrostatique
1. 2. On considère un fil rectiligne illimité porté par (Oz), portant une distribution
uniforme de charge λ>0.
1.2. a. Faire l’étude des symétrie et invariance de cette distribution. Exprimer
le champ E(M) en tout point M de l’espace où il est défini, en fonction des
vecteurs de base des coordonnées cylindriques notés (ur ,u θ,uz) et des composantes
non nuls du champ.
1. 2. b. En déduire le champ E(M) en M à partir du théorème de GAUSS.
2. Étude d’une plaque infinie uniformément chargée.
On considère maintenant une plaque infinie dans le plan O,y,z, uniformément
chargée avec la densité surfacique de charge σ>0.
2. 1. Faire l’étude des symétrie et invariance de cette distribution. Exprimer
le champ E(M) en tout point M de l’espace où il est défini, en fonction des vecteurs
de base des coordonnées cartésiennes notés (i,j,k) et des composantes
non nuls du champ.
2. 2. En déduire lechamp E(M) en M à partir du théorème de GAUSS.
2.3. A.N. Calculer E(M) pour σ=7,11.10 −5 C.m−2 .
(3)
3. Étude de deux plaques infinies uniformément
chargées.
On considère maintenant deux plaques infinies A et B, la première dans le
plan O,y,z, uniformément chargée avec la densité surfacique de charge σ>0,
et la deuxième parallèle à la première translatée du vecteur ei chargée avec
la densité surfacique de charge −σ ?.
3.1. Exprimer les champs E A et EB créés en tout point de l’espace par les
plaques A et B.
3.2. En utilisant le théorème de superposition, exprimer le champ E à l’extérieur
et à l’intérieur des deux plaques. Dessiner quelques lignes de champ.
3.3. Déterminer l’expression de la différence de potentiel VA−VB.
3.4. A.N. Calculer VA−VB pour σ=7,11.10 −5 C.m −2 et e = 5µm.
3.5. Sur chacun des plans, isolons par la pensée deux régions identiques
d’aire S. En déduire la capacité C du condensateur formé par les deux surfaces
S en regard.
Problème 3
On considère la Terre comme une sphère de masse M, à répartition uniforme
de masse, de rayon R et de centre O.
1. En raisonnant par analogie, donner l’équivalent du théorème de GAUSS
pour la distribution de masse. Justifier l’analogie entre électrostatique et
gravitation.
2. Calculer le champ de gravitation g et le potentiel gravitationnel V créés
en tout point de l’espace par la Terre.
3. Montrer que le champ à l’extérieur de la Terre n’est pas modifié si on suppose
seulement la répartition de masse à symétrie sphérique mais non plus
uniforme.
Problème 4
ATOMISTIQUE
1- Donner la configuration électronique du fer sous forme atomique et des
ions fer II et fer III. On donne Z = 26 pour le fer. En réalité la couche de
valence de Fe 2+ est 4s 0 3d 6 . Quelle peut en être la raison ?
2- Le fer forme des complexes avec l’ion cyanure CN − et avec l’eau. Donner
la formule de LEWIS de ces deux ligands. Indiquer la forme dans l’espace de
ces deux ligands.

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STRUCTURE CRISTALLINE DU FER ET DE L’ACIER
Le fer peut cristalliser sous deux formes selon la température. À basse température,
la maille conventionnelle du fer α possède la structure cubique
centrée (CC) alors qu’à haute température, le fer γ adopte la structure cubique
à faces centrées (CFC). La transition s’opère à 910 °C à la pression
standard ; puis, au-dessus de 1390 °C, le fer δ reprend une structure CC.
Données numériques :
masse molaire du fer M(Fe)= 55,85 g.mol −1 , masse molaire du carbone M(C)=
12 g.mol −1 , nombre d’Avogadro N A = 6,02.10 23 mol −1 .
1 - Fer α
1-a. Donner la définition d’une maille élémentaire. Par quel(s) paramètre(s)
est-elle déterminée ?
1-b. Dessiner la maille conventionnelle du fer α.
1-c. Combien cette maille renferme-t-elle d’atomes ?
1-d. Définir puis calculer la compacité C CC d’une structure CC en adoptant
le modèle de sphères dures indéformables.
1-e. Calculer le paramètre aα de la maille cubique, sachant qu’à 20 °C la
masse volumique du fer α est ρα= 7868 kg.m −3 .
1-f. Calculer le rayon Rα de l’atome de fer α à 20 °C.
2 - Influence de la température
Le volume massique du fer α passe de la valeur v(α)20 = 0,1271 cm 3 .g −1 à la
température de 20 °C, à la valeur v(α)910 = 0,1321 cm 3 .g −1 à 910 °C, la variation
étant linéaire en fonction de la température. L’étude est menée à
pression constante.
2-a. Lequel des trois coefficients thermoélastiques α, β ou χT ces données
vous permettent-elles de calculer ? En donner la valeur moyenne.
2-b. Entre quelles limites le paramètre de maille varie-t-il entre ces deux
températures ?
2-c. Quel est le rayon de l’atome de fer α à 910 °C ?
Dans la suite, le rayon atomique du fer α sera Rα= 125 pm.
3 - Fer γ
3-a. Dessiner la maille conventionnelle du fer γ.
3-b. Combien cette maille renferme-t-elle d’atomes ?
3-c. Calculer la compacité C CFC d’une structure CFC (modèle de sphères
dures indéformables).
3-d. Le rayon atomique du fer γ est Rγ= 129 pm. Calculer le paramètre aγ de
la maille cubique.
3-e. Evaluer le volume massique v(γ)910 du fer γ.
Si le carbone est très soluble dans le fer liquide (au-dessus de 1536 °C), il
n’en va pas de même lorsqu’il se forme une solution solide fer-carbone (fonte
ou acier). En effet, le carbone, dont le rayon atomique vaut RC = 77 pm, doit
s’insérer dans les sites octaédriques des mailles cristallines de fer α ou de fer
γ.
4 - Sites octaédriques
4-a. Dans la représentation de la maille de fer α ci-contre, un site interstitiel
a été singularisé. De quel de type de site s’agit-il ? Est-il régulier ? (réponse
à justifier)
4-b. Quel serait le rayon maximal RMα d’un atome qui s’insérerait dans ce
site sans entraîner de déformation de la structure cristalline ? Calculer RMα.
4-c. Où sont situés les sites octaédriques dans le fer γ ? S’agit-il d’octaèdres
réguliers ?
4-d. Quel serait le rayon maximal RMγ d’un atome qui s’insérerait dans ce
site sans déformer la structure cristalline ? Calculer RMγ.
4-e. Que pouvez-vous en conclure sur la solubilité par insertion du carbone
dans le fer solide ?
5 - Insertion du carbone
Par hypothèse, lorsqu’un atome de carbone s’insère dans le cristal de fer, toutes
les mailles subissent la même expansion. L’insertion de carbone dans le fer α
permet de former un alliage appelé ferrite ; lorsque l’insertion s’opère dans le
fer γ, l’alliage obtenu est dénommé austénite.
5-a. Quelle valeur prend le paramètre de maille du fer α lorsqu’un atome
de carbone s’insère dans un site octaédrique ? À quelle variation relative de
volume cela conduit-il ?

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5-b. De même, que devient le paramètre de maille du fer γ lorsqu’un atome
de carbone s’insère dans un site octaédrique ? Quelle est la variation relative
de volume induite ?
5-c. Quelles conclusions pouvez-vous en tirer quant à la formation de la ferrite
et de l’austénite ?
Un acier austénitique contient 1,33% de carbone en masse.
5-d. Quel est le nombre moyen d’atomes de carbone qui ont été insérés par
maille ?
5-e. Calculer la masse volumique de cet acier. Que pensez-vous de ce résultat
?
Problème 5
Les données numériques nécessaires à la résolution du problème sont regroupées
à la fin de l’énoncé.
Le soufre est un élément chimique de la famille des chalcogènes, de symbole
S et de numéro atomique 16.
On le trouve dans beaucoup de minéraux (sulfures et sulfates) et même sous
forme native, particulièrement dans les régions volcaniques.
I. Structure électronique du soufre et de composés oxygénés
du soufre.
1- Donner la structure électronique de l’atome de soufre dans l’état fondamental.
On considère les espèces suivantes : SOCl2, SO 2−
4
l’atome central.
, l’atome de soufre est
2- Proposer une structure électronique de LEWIS pour chacune de ces deux
espèces.
3- Représenter leur géométrie d’après la méthode VSEPR.
II. Structure cristalline de la blende.
Le principal minerai de zinc est le sulfure de zinc ZnS de type blende. La
blende, appelée aussi sphalérite, est la variété allotropique du sulfure de
zinc qui cristallise dans le système cubique.
Dans le cristal de blende ZnS, les ions Zn 2+ et S 2− jouent des rôles symétriques.
On peut ainsi décrire la maille de ce cristal comme constituée d’un
réseau cubique à faces centrées d’ions S 2− avec occupation de la moitié des
sites tétraédriques par les ions Zn 2+ .
4- Dessiner la maille conventionnelle et donner la coordinence des ions Zn 2+
et S 2− .
5- Donner la formule littérale de la masse volumique ρ de la blende en fonction
du paramètre a de la maille, de la constante d’Avogadro NA et des
masses molaires du zinc M(Zn) et du soufre M(S).
6- Calculer la plus petite distance entre les ions Zn 2+ et S 2− dans la structure
blende en fonction du paramètre a de la maille. La comparer aux rayons
ioniques donnés et interpréter ce résultat.
Données pour l’ensemble du problème
Numéros atomiques : Z(C) = 6, Z(O) = 8, Z(S) = 16 et Z(Cl) = 17
Masses molaires atomiques en g.mol −1 : M(C) = 12, M(O) = 16
et M(S) = 32
Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K −1 .mol −1
Constante de Nernst à 298 K : ln10 RT
F = 0,06 V
Structure de la blende :
paramètre de maille a= 540 pm
rayons ioniques r(Zn2+ ) = 74 pm et r(S2− ) = 184 pm

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Correction :
Problème 1
1.1. Atmosphère isotherme - facteur de Boltzmann
1.1.1 L’application de la relation fondamentale de la dynamique à un petit volume
à l’équilibre conduit à :
−µg z− dP
= 0
d z
L’équation d’état du gaz parfait PV = nRT conduit à :
d’où l’équation à résoudre
de solution
dP
d z
µ= MP
RT
M g
+ z= 0
RT
M g z
P = P0 exp−
RT
1.1.2 La pression prend la forme P = P0 exp(−z/H) avec la hauteur caractéristique :
Au sommet de l’Everest
1.1.3 La densité de particule n vérifie :
H = RT
= 7000 m
M g
P = exp−8000/7000= 0,3 bar
n= N
V
P
mg z
= = n(0)exp−
kB T kB T
où m est la masse d’une particule et E0(T )=kB T
1.2. Distribution de Maxwell
1.2.1 Dans un fluide en équilibre, il n’y a pas de direction ou de sens privilégié, donc
〈vx〉=
v y =〈vz〉=0
1.2.2 La probabilité de trouver simultanément les composantes de la vitesse respectivement
comprise entre vx et vx + d vx, entre v y et v y + d v y et entre vz et vz + d vz
est :
A exp −
mv 2
d vx d v y d vz =
2kB T
B exp − mv 2
x
d vx×
2kB T
B exp − mv 2
y
d v y × B exp −
2kB T
mv 2
z
d vz
2kB T
Le fait que cette probabilité soit un produit de facteurs dépendant chacun seulement
d’une coordonnées sont statistiquement indépendantes et que la probabilité de trouver
la composante de la vitesse sur l’axe Ox entre vx et vx + d vx est indépendates
des autres composantes et de la forme
B exp
− mv 2 x
2kB T
d vx
la somme de toutes les probabilités étant égale à 1, on a :
∞
−∞
B exp
− mv 2 x
2kB T
qui se calcule par le changement de variable
Le calcul donne
soit
1= B
u 2 = mv 2 x
kB T =⇒ d vx =
kB T ∞
m
−∞
d vx = 1
kB T
m du
du exp − u2
u
2
2 du
1= B 2πkB T
m
ce qui permet de calculer B
La probabilité de trouver la composante de la vitesse sur l’axe Ox entre vx et vx+d vx
vaut donc
Ce qui correspond à une loi gaussienne.
m
2πkB T exp
− mv 2
x
d vx
2kB T

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1.2.3 La vitesse quadratique moyenne est donnée par :
avec
On obtient ainsi
v 2 q =
v 2
= v 2 x + v 2 y + v 2
z = 3 v 2 x
∞
2 m
vx =
−∞ 2πkB T exp
− mv 2 x
2kB T
m kB T
3∞ =
u
2πkB T m −∞
2
e
vq = 3 v 2
3kB T
x =
m
− u2
2
v 2 xd vx
u 2 du
1.2.4 Dans l’espace des vitesses, l’ensemble des situations pour lesquelles la vitesse
à la norme v correspond à une sphère de rayon v. Le volume de l’espace des vitesses
pour lequelle la norme est comprise entre v et v+d v est le volume entre deux
sphères
4
3 π(v+ d v)3− 4
3 πv 3 =
4
3 π(3v 2 d v+ 3vd v 2 + d v 3 )
soit finalement 4πv 2 d v quand on ne conserve que le premier ordre en d v
vx
v
vz
Espace des vitesses
v y
Pour trouver la probabilité d’avoir la vitesse v à d v près, il suffit de reprendre l’expression
de la probabilité
3 2
m
mv
exp −
2πkB T 2kB T
d vx d v y d vz
et de sommer toutes ces expressions sur le petit volume précédent, on obtient alors
3/2 2
m
mv
d p =
exp −
2πkB T
2kB T
4πv 2 d v
1.2.5 La valeur moyenne de la norme de la vitesse d’une molécule est donnée par
〈v〉= vd p
m
3/2
+∞
=
2πkB T
m
= 4π
2πkB T
=
8kB T
m
3/2
−∞
⎛
⎝
−
e
mv2
2kB T 4πv 3 d v
kB T
m
+∞
−∞
⎞
⎠
4
×
e u2
2 u 3 du
1.2.6 vq est une fonction de m, kB et T . A cause de l’homogénéïté des relations physique,
vq s’exprime nécessairement sous la forme
vq = K1
où K1 est sans dimension. De même 〈v〉 a la dimension d’une vitesse et doit s’exprimer
sous la même forme
On a donc
〈v〉= K2
vq
〈v〉
= K1
K2
kB T
m
kB T
où K1 est un simple facteur numérique constant.
K2
m

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1.3.1 D’après la figure, les molécules du gaz susceptibles de frapper la surface pendant
le temps τ viennent de points de l’espace dont les coordonnées vérifient
1.3.2 Le volume dV contient
P dV
kB T
0

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λ
M
M
M’
2. Etude d’une plaque infinie uniformément chargée.
2. 1. Le champ est défini en tout point de l’espace sauf sur la plaque.
Tout plan perpendiculaire à la plaque est plan de symétrie. Donc le champ E contenu
dans tous ces plans est normal à la plaque. Par ailleurs les invariances par translation
suivant Oz et Oy impose à Ex de ne dépendre que de x.
2. 2. On applique le théorème de GAUSS en utilisant comme surface fermée un cylindre
de génératrices perpendiculaires à la plaque et de bases S symétriques par
rapport à la plaque. Le flux sur la surface latérale est nul car le champ est suivant
ex. Les deux flux sur les bases sont opposés, de sorte que le théorème de GAUSS
conduit à :
2SEx(x)= σS
ε0
⇒ E = σ
2.3. Avec σ=7,11×10 −5 C.m−2
, on obtient E=4,0×10
6 V.m −1 .
3.Etude de deux plaques infinies uniformément chargées.
3.1. L’expression des champs en tout point de l’espace (hors des plaques) est :
2ε0
x < 0 : E A =− σ
ex x> 0 : E A =+
2ε0
σ
2ε0
x < e : EB =+ σ
ex x> e : EB =−
2ε0
σ
2ε0
ex
σ
ex
ex
σ>0 −σ
3.2. En superposant les deux champs, on obtient :
x
Entre les armatures : E =+ σ
Á l’extérieur des armatures : E = 0
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux plaques.
ex
ε0
3.3. La différence de potentiel VA−VB se calcule à partir de : E =−gradV
soit VA−VB = σe
B xB dV =−E.dℓ=−Ex(x).dx ⇒ VA−VB = Ex(x).dx=
A
xA
ε0
σ
dx
3.4. Avec σ=7,11×10 −5 C.m −2 et e = 5 µm, on obtient VA−VB = 40,2 V .
3.5. La capacité C du condensateur formé par les deux surfaces S en regard est telle
que Q A = σS = C(VA−VB ), soit :
C = ε0S
e
Problème 3
1. En comparant la loi de NEWTON F1→2=−
G m1m2
r 2 12
exercée par la masse m1 sur la masse m2 et la loi de COULOMB F1→2=+ q1q2
4πε0r 2 u1→2
12
ε0
u1→2 qui donne la force attractive
qui donne la force attractive ou répulsive exercée par la charge q1 sur la charge q2,
on déduit le tableau d’analogie suivant entre les deux domaines :

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loi de COULOMB loi de NEWTON
grandeur impliquée la charge q la masse m
constante
1
4πε0
G
champ
Théorème de GAUSS
à l’intérieur de SGAUSS électrostatique E
Qint E.dS = ε0
charge Qint gravitationnel G
G.dS =−4πG Mint
masse Mint 2. La symétrie sphérique du problème impose de chercher un champ gravitationnel
sous la forme G = Gr (r )er . Pour une surface de GAUSS sphérique centrée sur le
centre O, on a donc :
G.dS = Gr (r )4πr 2 =−4πG M int
A l’extérieur de la Terre, Mint= M d’où 4πr 2 G M
Gr (r )=−4πG M. On conclut G =−
r 2 er .
Le potentiel s’obtient par intégration à partir de G = −gradV = − ∂V
∂r er − 1 ∂V
r ∂θ eθ−
1 ∂V
r sinθ ∂ϕ eϕ.
G M
Pour le potentiel, on obtient donc : V =− en imposant un poten-
r
tiel nul loin des masses.
3
r
A l’intérieur de la Terre, Mint = M
R3 d’où 4πr 2 3
r
Gr (r ) = −4πG M . On conclut
R3 G Mr
G =−
R3 er
G M
. Pour le potentiel, le calcul conduit à V =
R3 2
r 3R2
− en assu-
2 2
rant la continuité de V en R pour fixer la constante d’intégration.
3. A l’extérieur, si la symétrie est sphérique on peut faire le même calcul sans avoir
à supposer la densité de masse uniforme, car l’étude des symétries est identique, la
surface de GAUSS aussi et on a toujours Mint= M.
Problème 4
Concours E3A MP 2008
ATOMISTIQUE
1- La configuration électronique du fer est, d’après la règle de KLECH-
KOWSKI :1s22s 22p 63s 23p 64s 23d 6 .
Pour les ions Fe2+ , on enlève deux électrons, donc on peut envisager la configuration
: 1s22s 22p 63s 23p 64s 23d 4 . Le texte nous annonce que la configation se termine en
4s03d 6 , ce qui montre qu’il est plus simple d’enlever les électrons des sous-couches s
que de la sous couche d car ils doivent être en moyenne plus éloignés du noyau.
Pour les ions Fe3+ , on enlève trois électrons, donc on peut envisager la configuration
: 1s22s 22p 63s 23p 64s 23d 3 ou plus vraissemblablement, pour la même raison que
précédemment : 1s22s 22p 63s 23p 64s 03d 5 .
2- Le carbone C possède quatre électrons sur sa couche périphérique, l’azote N cinq
électrons, l’hydrogène un seul électrons et l’oxygène six.
Dans le cas de l’ion cyanure, CN − on doit donc placer 10 électrons soit 5 doublets.
On forme une triple liaison et C et N portent un doublet non liant. Le carbone porte
une charge formelle négative. Le ligand est linéaire car il contient deux atomes.
Dans le cas de la molécule d’eau, on a 8 électrons à placer, donc 4 doublets : il y a 2
doublets de liaison et 2 doublets non-liants sur l’oxygène. La molécule ne porte pas
de charge formelle. Dans la théorie VSEPR, elle a la forme AX2E2, ce qui conduit à
un angle légèrement inférieur à 109°.
Les représentations des deux ligands sont donnés ci-dessous :
-
C N
O
H H
109°
STRUCTURE CRISTALLINE DU FER ET DE L’ACIER
1 - Fer α
1-a. La maille élémentaire est la maille de volume minimum redonnant le cristal
par translation dans trois directions indépendantes. Les paramètres qui détermine
la maille sont la longueurs des arêtes et les angles entre les arêtes.
1-b. La maille de la structure cubique centré est un cube d’arête a avec 1 atome à
chaque sommet et un atome au centre.
1-c. La maille compte 8 sphères à chaque sommet appartenant à 8 mailles et une
sphère en propre au centre, d’où le nombre d’atomes : N = 8× 1
+ 1=2
8
1-d. La compacité est le rapport du volume occupé par les atomes sur le volume de
la maille.
Dans le cas de la structure CC les atomes sont tangents suivant une grande diagonale
du cube, d’où : 4R = a 3. La compacité vaut :
CCC =
4
N 3 πR3
a3 = N 4
3 πR3
(4R/ 3) 3 = π3 = 0,68
8

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1-e. La masse volumique est donnée par :
On en déduit :
ρα=
1-f. Le rayon de l’atome de fer est alors :
N M(Fe)
NA
a 3 α
aα= 3
N M(Fe)
= 287 pm
ραNA
Rα = aα
3
= 124 pm (4)
4
2-a. C’est le coefficient de dilatation isobare α= 1
∂V
V ∂T qui permet d’étudier les va-
P
riations de volume en fonction de la température à pression constante. En moyenne :
1 0,1321−0,1271
α=
(0,1321+0,1271)/2 910−20
= 4,335.10 −5 K −1
2-b. Le volume massique est l’inverse de la masse volumique, de sorte que :
On en déduit :
2-c. On déduit de (??) le rayon à 910°C :
aα= 3
N M(Fe)
v = 287 pm
NA
a(α)20= 286,8 pm et a(α)910= 290,5 pm
R(α)910= 125,8 pm .
3-a. La maille CFC est un cube d’arête a avec un atome à chaque sommet et un
atome au centre de chaque face.
3-b. La maille compte 8 sphères à chaque sommet appartenant à 8 mailles et 6
sphères au milieu des faces appartenant à 2 mailles, d’où le nombre d’atomes :
N = 8× 1 1
+ 6× = 4
8 2
3-c. Les
atomes sont tangents suivant la diagonale d’une face du cube, soit :
4R = aγ 2. La compacité vaut :
CC FC =
3-d. Le paramètre de la maille vaut :
3-e. Le volume massique est donné par :
vγ=
4
N 3 πR3
a3 = N 4
3 πR3
(4R/ π
=
2) 3 3 = 0,74
2
aγ= 4R
2 = 365 pm
M(Fe) −1
N
NA
a 3 α
= 0,131cm 3 g −1
4-a. Il s’agit d’un site octaédrique non régulier car toutes les arêtes n’ont pas la
même longueur : a ou a 3/2 (demi-diagonale de la maille).
4-b. La distance minimale entre deux atomes de fer opposés est a. La taille maximale
qu’on puisse insérer vérifie donc : a = 2R + 2RMα avec a = 4R/ 3. On en tire
RMα = 19,3 pm .
4-c. Dans le réseau CFC, les sites octaédriques sont au centre du cube et au milieu
de chaque arête. Il s’agit d’octaèdre réguliers.
4-d. Dans le réseau CFC, la distance minimale entre deux atomes de fer opposés est
a. La taille maximale qu’on puisse insérer vérifie donc : a= 2R+2RMα avec a= 4R/ 2.
On en tire RMα = 53,4 pm .
4-e. La solubilité par insertion entraîne une déformation car le rayon de l’atome de
carbone vaut RC = 77 pm. Cette déformation est plus grande dans le fer α.

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5-a. Dans le fer α en présence de carbone, le paramètre de maille devient : a ′ =
2(Rα+ RC )=404 pm et pour le volume de la maille :
∆V
V = a′3− a3 a3 = 1,74
5-b. Dans le fer γ en présence de carbone, le paramètre de maille devient : a ′ =
2(Rγ+ RC )=412 pm et pour le volume de la maille :
∆V
V = a′3− a3 a3 = 0,44
5-c. La formation de l’austénite entraîne beaucoup moins de déformation que celle
de la ferrite.
5-d. La maille CFC contient : NO = 1+12×(1/2) = 4 sites octaédriques. Notons x le
nombre d’atome de carbone présent dans chaque site octaédrique (x 1).La fraction
massique vérifie la relation :
NOxM(C)
0,0133=
NOxM(C)+4M(Fe)
On en tire x= 0,0627 et il y a donc NOx = 0,25 atomes de carbone par maille.
5-e. La masse volumique de l’acier est alors :
ρ ′ = NO xM(C)+ N M(Fe)
NA a ′3
On constate que cet alliage est plus léger que le fer.
Problème 5
Extraits Mines-Ponts PSI 2008
= 5378 kg.m −3
1- La structure électronique de l’atome de soufre dans l’état fondamental est : 1s 2
2s 2 2p 6 3s 2 3p 4
2- S et O possèdent 6 électrons de valence, Cl en possède 7. pour SOCl2 : 26 électrons
de valence, soit 13 doublets ; pour SO 2−
4 : 32 électrons de valence, soit 16 doublets.
3- D’après la méthode VSEPR, la molécule SOCl2 est en AX3E1. Elle a une forme
pyramidale avec des angles légèrement inférieurs à 109°. L’ion sulfate SO2− 4 a une
forme tétraédrique avec des angles de 109°.
4- La maille conventionnelle de la blende est donnée par la figure suivante :
La coordinence des ions Zn 2+ est 4 car ils sont au centre de site tétraédriques, celle
des ions S 2− est 4 pour la même raison.
5- La maille contient 4 ions Zn 2+ , 8 ions ions S 2− aux sommets qui appartiennent à
8 mailles et 6 ions S 2− aux centres des faces qui appartiennent à 2 mailles, soit au
total 4 ions S 2− .
La masse volumique est alors donnée par :
4[M(Zn) + M(S)]
ρ=
NA a
6- La plus petite distance Zn 2+ /S 2− est le quart de la diagonale du cube, soit :
a 3
= 236 pm
4
Or r(Zn 2+ ) + r(S 2− ) = 258 pm > 236 pm.
Conclusion : le modèle ionique n’est pas correct pour ce cristal (liaison ionocovalente).