Problème 1

Page 6 DL 11 Lycée Clemenceau Nantes – MPSI
Correction :
Problème 1
1.1. Atmosphère isotherme - facteur de Boltzmann
1.1.1 L’application de la relation fondamentale de la dynamique à un petit volume
à l’équilibre conduit à :
−µg z− dP
= 0
d z
L’équation d’état du gaz parfait PV = nRT conduit à :
d’où l’équation à résoudre
de solution
dP
d z
µ= MP
RT
M g
+ z= 0
RT
M g z
P = P0 exp−
RT
1.1.2 La pression prend la forme P = P0 exp(−z/H) avec la hauteur caractéristique :
Au sommet de l’Everest
1.1.3 La densité de particule n vérifie :
H = RT
= 7000 m
M g
P = exp−8000/7000= 0,3 bar
n= N
V
P
mg z
= = n(0)exp−
kB T kB T
où m est la masse d’une particule et E0(T )=kB T
1.2. Distribution de Maxwell
1.2.1 Dans un fluide en équilibre, il n’y a pas de direction ou de sens privilégié, donc
〈vx〉=
v y =〈vz〉=0
1.2.2 La probabilité de trouver simultanément les composantes de la vitesse respectivement
comprise entre vx et vx + d vx, entre v y et v y + d v y et entre vz et vz + d vz
est :
A exp −
mv 2
d vx d v y d vz =
2kB T
B exp − mv 2
x
d vx×
2kB T
B exp − mv 2
y
d v y × B exp −
2kB T
mv 2
z
d vz
2kB T
Le fait que cette probabilité soit un produit de facteurs dépendant chacun seulement
d’une coordonnées sont statistiquement indépendantes et que la probabilité de trouver
la composante de la vitesse sur l’axe Ox entre vx et vx + d vx est indépendates
des autres composantes et de la forme
B exp
− mv 2 x
2kB T
d vx
la somme de toutes les probabilités étant égale à 1, on a :
∞
−∞
B exp
− mv 2 x
2kB T
qui se calcule par le changement de variable
Le calcul donne
soit
1= B
u 2 = mv 2 x
kB T =⇒ d vx =
kB T ∞
m
−∞
d vx = 1
kB T
m du
du exp − u2
u
2
2 du
1= B 2πkB T
m
ce qui permet de calculer B
La probabilité de trouver la composante de la vitesse sur l’axe Ox entre vx et vx+d vx
vaut donc
Ce qui correspond à une loi gaussienne.
m
2πkB T exp
− mv 2
x
d vx
2kB T