Mécanique non linéaire - LMEE

Comportement parfaitement plastique
Dans ce cas, la fonction de charge ne dépend que du tenseur de contrainte. Le domaine d'élasticité est fixe. Au cours de
l'écoulement plastique, le point représentatif de l'état de contrainte ne peut que 'tourner' autour du domaine d'élasticité. Le
multiplicateur plastique est indéterminé; la condition de charge plastique et la condition de cohérence deviennent
respectivement:
pour f(σ) = 0 et f (σ) = 0 : ∂
ε
p
= λ
f
= λ
n
∂σ
au cours de l'écoulement : n : σ = 0
3.5 Directions d’écoulement associées aux critères courants
Les directions d'écoulement sont calculées dans un premier temps pour un matériau parfaitement plastique. Les modifications
apportées par l'écrouissage seront indiquées au paragraphe suivant.
3.5.1 Critère de von Mises
La fonction de charge s'écrit f(σ) = J(σ) - σy. si bien que la normale n s'exprime :
∂f
∂J
∂J
∂ s
n = = = :
∂σ
∂σ
∂ s ∂σ
27
ou :
En utilisant : ∂s kl 1
= δikδ
jl − δijδkl
∂σ
3
On obtient :
ij
3 sij
nij
=
2 J
ou encore
∂J
∂ s
n
kl
ij =
∂ skl
∂σij
3 s
: n =
2 J
Dans le cas du critère de von Mises , la direction d’écoulement est donnée par le déviateur du tenseur des contraintes.
Exemple : traction simple selon la direction 1 :
3.5.2 Critère de Tresca
⎡1
0 0 ⎤
⎡1
0 0 ⎤
2σ
⎢
⎥
⎢
⎥
s =
⎢
0 −1
/ 2 0
⎥
; J = σ ; n =
⎢
0 −1
/ 2 0
⎥
signe(
σ)
3
⎢
⎣0
0 −1
/ 2⎥
⎦
⎢
⎣0
0 −1
/ 2⎥
⎦
La loi d’écoulement se défint par secteur dans l’espace des contraintes principales. Par exemple pour le cas σ1 > σ2 > σ3, la
fonction de charge s’écrit : f(σ) = |σ1- σ3| - σy, si bien que, pour l’ensemble des états de contrainte qui vérifient cette inégalité,
la vitesse de déformation plastique possède les mêmes composantes, le matériau ne se déforme pas selon l’axe 2 (déformation
du type cisaillement) :
⎡1
⎢
ε
p
= λ
⎢
0
⎢
⎣0
La définition de la normale pose un problème pour les états de contrainte correspondant aux points singuliers. Par exemple, en
traction simple, σ1 > σ2 = σ3 =0, le critère s’exprime indifféremment f(σ) = |σ1- σ3| - σy, ou f(σ) = |σ1- σ2| - σy. Il est alors
classique de définir deux multiplicateurs plastiques, se référant chacun à une forme du critère.
0
0
0
0 ⎤
⎥
0
⎥
−1⎥
⎦
⎡1
0 0 ⎤ ⎡1
⎢ ⎥ ⎢
ε
p
= λ
⎢
0 0 0
⎥
+ µ
⎢
0
⎢
⎣0
0 −1⎥
⎦
⎢
⎣0
0 0⎤
⎥
−1
0
⎥
0 0⎥
⎦
Si ces deux multiplicateurs sont choisi égaux, le modèle redonne la même forme que le critère de von Mises en traction simple.
Par contre, dès que l’état de contrainte s’éloigne de l’égalité stricte entre les composantes σ2 et σ3, c’est l’un des deux régimes
de type cisaillement qui prend le dessus.
3.5.3 Critère de Drücker-Prager
La fonction de charge s'écrit:
σ y − αI1
f ( σ)
= J −
1−
α
, si bien que la normale possède une composante sphérique. La déformation
plastique évaluée avec un tel critère est accompagnée d’une augmentation de volume quelque soit le chargement appliqué :
3.6 Quelques lois particulières en plasticité
3.6.1 Lois de Prandtl-Reuss
3s α
α
= +
ε
p
n
I; tarce(
) = 3 λ
2J
1−
α
1−
α