Mécanique non linéaire - LMEE

d’où
⎛
⎞
⎜
⎟
T
s ⎜ ηPη
I
⎟
(27)
= G
e
= A e
⎜
−
⎛ 2(
H + R'
) ⎞ ⎟
2
⎜ ⎜1
+ ⎟Φ
⎟
⎝ ⎝ 3G
⎠ ⎠
⎛σ
+ σ
+ σ
11 22 33 ⎞
⎜
⎟
⎜σ
+ σ
+ σ
11 22 33 ⎟
1
⎜σ
+ σ
+ σ
⎟
11 22 33
σ = + ⎜
⎟
1
s = s
+ Uσ
3 ⎜ 0 ⎟ 3
⎜
⎟
⎜
0
⎟
⎜
⎟
⎝ 0 ⎠
1
De même ε = e
+ Uε
3
Introduisant (27) et (29) dans (28) on obtient :
avec
⎡1
⎢
⎢
1
⎢1
U = ⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎣0
1 K K
σ
= s
+ Uσ
= s
+ Uε
= Ae
+ Uε
3 3
3
⎛ 1 ⎞ K ⎛ 1 K ⎞
= A⎜ε
− Uε
⎟ + Uε
= ⎜ A − AU + U⎟ε
⎝ 3 ⎠ 3 ⎝ 3 3 ⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
T
T
P
G P U
A U G
⎜ η η
η η
= I
⎟
⎜
−
U = G U −
= G U
⎛ 2(
H + R')
⎞ ⎟
2
⎛ 2(
H + R'
) ⎞ 2
⎜ ⎜1
+ ⎟Φ
⎟ ⎜1
+ ⎟Φ
⎝ ⎝ 3G
⎠ ⎠ ⎝ 3G
⎠
T
T
Remarque : ηPη
U = 0 car ηPη
est un tenseur déviateur.
En remplaçant AU par GU dans (30), on obtient finalement : ⎛ K − G ⎞
σ = ⎜ A + U⎟ε
= D ε
ep
⎝ 3 ⎠
La matrice tangente théorique est donc définie par : ⎛ K − G ⎞
Dep
= ⎜ A + U⎟
⎝ 3 ⎠
4.2.4 Intégration des lois de comportement
L’intégration des lois de comportement joue un rôle très important dans un code de calcul par éléments finis. En effet,
elle détermine la précision des résultats. Des erreurs sur les estimations des variables une fois commises ne sont plus
rattrapables, de plus lorsque les estimations dépendent de l’histoire du chargement ces erreurs peuvent se propager d’un
incrément à un autre, donnant des résultats qui s’écartent de plus en plus de la solution ; d’où l’importance d’utiliser des
méthodes d’intégration stables et précises. Dans cette étude, on choisit l’algorithme d’intégration du type implicite.
On suppose que l’on dispose des contraintes et des variables internes à l’instant t (correspond au pas numéro n);
intégrer la loi de comportement revient, à partir de l’incrément des déplacements nodaux Δu estimé entre l’instant t et t+Δt, à
calculer les contraintes et les variables internes à l’instant t+Δt (correspond au pas numéro n+1) vérifiant la loi de
comportement.
Considérons un état plastiquement admissible (pas numéro n) en un point de la structure étudiée. Les caractéristiques
de l’état sont : σn, εn p , xn, pn ; g(σn, xn, pn) = 0
A partir de Δu on peut calculer l’incrément des déformation : Δε = B Δu = Δεe + Δεp (34)
où B est un opérateur dérivée de fonctions de forme.
Le but est de calculer : σn+1, ε p n+1, x n+1, p n+1 vérifiant :
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
0⎥
0⎥
⎥
0⎥⎦
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
εn+1 = εn + Δε (35)
εn+1 p = εn p + Δλ η n+1
(36)
2
x n+
1 = x n + H Δληn+
1
(37)
3
33