Mécanique non linéaire - LMEE

Un algorithme d’intégration des lois de comportement est dit incrémentalement objectif si, pour un mouvement de corps rigide
sur l’intervalle temporel [t, t+Δt], soit :
les contraintes de Cauchy sont actualisées de manière exacte selon
où Q est le tenseur de rotation incrémentale.
xt+Δt = Q xt + c avec Q T Q = I (84)
σ t+Δt = Qσ tQ T (85)
Une loi constitutive en grandes transformations doit relier des quantités tensorielles et satisfaire le principe de
l’objectivité. Ce principe s’exprime que la loi de comportement doit être indépendante du référentiel choisi pour observer le
mouvement du solide. La fonctionnelle Γ doit être alors invariante dans tout changement de référentiel d’observation. Ainsi, si
on change F par QF, le tenseur de contrainte de Cauchy σ doit être remplacé par QσQ T , c’est à dire :
ceci revient à écrire que dans le référentiel tournant :
Γ(QF) = Q Γ(F) Q T
(87)
σ* = Γ(F*) = QσQ T (88)
Pour étendre la relation (32) au cas de grandes déformations et rotations, on peut adopter deux solutions :
1. Remplacer σ par une dérivée objective :
obj
σ = σ
+ σΩ
− Ωσ
où Ω est un tenseur vitesse de rotation. Son choix conduit aux différentes dérivées objectives :
Ω = R : dans le cas d’un mouvement du corps rigide
a T [ ]
T
−1
Ω = W = R
R + R U
U R : la dérivée objective correspond à celle de Jaumann
T
R R Ω =
: la dérivée objective correspond à celle de Green-Naghdi
Ω = Wi : la dérivée objective correspond à celle de Lee (Wi est la vitesse de rotation
d’une facette particulière)
2. Exprimer les lois de comportement dans un repère tournant avec la vitesse de rotation Ω. Le relation (32) s’écrit dans le cas
de grandes déformations :
avec Dep le tenseur caractérisant le matériau considéré et
( ',
D',
v')
: '
(89)
σ '= Dep σ D
(90)
σ’ = Q T σQ
D’ = Q T DQ
v’ = Q T vQ
où v représente les variables internes. Le tenseur de rotation incrémentale Q est solution du problème de valeurs initiales :
Q
( τ)
Q(
τ)
Q(
t)
= I
T
= Ω(
τ);
t ≤ τ ≤ t + Δt
avec Ω = W : repère corrotationnel (dérivée de Jaumann)
T
R R Ω =
: repère en rotation propre (dérivée de Green-Naghdi)
Ω = Wi : repère tournant avec la vitesse de rotation d’une facette particulière (dérivée de Lee)
Le tenseur Q peut aussi être choisi comme la rotation propre R calculé par décomposition polaire de F (Eq.74). Dans ce cas et à
l’aide de la relation (79), on a : [ ] [ ] s
T T −1
s T
−1
D' = Q DQ = R R U
U R R = U
U
(92)
Pour intégrer la loi de comportement (90), on peut toujours utiliser l’algorithme de retour radiale détaillé au paragraphe 4.2 sur
l’intervalle de temps [t, t+Δt], mais dans le cas de grandes déformations et rotations il est important de choisir une
approximation cinématique au cours d’un pas de temps pour évaluer le tenseur vitesse de déformation D’. L’hypothèse
43
(91)