Devoir #2 - Université d'Ottawa

Université d'Ottawa
École de science informatique et de génie électrique
CSI 3505, Automne 2012 Prof: Nejib Zaguia
Devoir #2 Date limite: Lundi 5 novembre 2012 à 13:00
Important:
La présentation du devoir doit être bien soignée.
Écrivez votre nom, votre numéro d’étudiant, le numéro du devoir et le code du cours
(CSI 3505) sur chaque page.
Placez votre devoir dans une enveloppe sur laquelle vous écrivez les mêmes
informations (votre nom, votre numéro d’étudiant, le numéro du devoir, le code du
cours). A remettre durant les heures du cours, sinon vous pouvez glissez votre devoir
sous la porte de mon bureau a SITE 5-031. Notez que les devoirs remis en retard ne
seront pas corrigés.
Exercice 1 [20 points]
Considérez la variation des nombres de Fibonacci, appelé les nombres de
VarFibonacci , qui est définis récursivement comme suit:
B0 = 0, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 3 et pour n 4, Bn = Bn-1 + Bn-2 + Bn-4 + 2.
Alors cette séquence de VarFibonacci est 0, 1, 2, 3, 7, 13, 24, 42, …
Un algorithme récursif qui trouve le nième terme de la séquence de VarFibonacci est
le suivant:
Problème: Déterminer le nième terme de la séquence de VarFibonacci
Entrées : un entier positif n.
Sorties le nième terme de la séquence de VarFibonacci .
int VarFibonacci (int n)
{
if (n

Exercice 2 [20 points]
On considère un tableau 2-dimensionnelle T de taille n x n (n lignes et n colonnes) et
une valeur x. On suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont toutes triées,
c’est à dire :
T[i][j] T[i][j+1]
T[i][j] T[i+1][j]
Le problème est de retrouver des index i et j (s’ils existent) tels que T[i][j] = x.
(1) [10 points] écrivez un algorithme en utilisant la technique "diviser pour régner"; et
qui résolve ce problème. Il est important d’expliquer en détail votre algorithme
(idée) avant d’écrire le pseudo code.
(2) [10 points] Prouver en détail la complexité dans le pire cas de votre algorithme
dans la partie 1) [utiliser n comme la taille du problème, et les comparaisons comme
opérations élémentaires à compter.]
[La note accordée dans la question 2 dépendra de l’efficacité (complexité dans le
pire cas) de votre algorithme.]
Exercice 3 [20 points]
Appliquez la méthode de programmation dynamique (vue en classe) pour la
multiplication en chaîne des 4 matrices afin de trouver une solution optimale (donner
les deux tableaux calculés par l’algorithme, puis retrouver la solution optimale)
A1 x A2 x A3 x A4
2x3 3x1 1x4 4x2
Exercice 4 [20 points]
Considérez l’algorithme vorace suivant pour le problème de la multiplication en
chaîne des n matrices A1, A2, …, An. On suppose que, pour tout 1 ≤k≤n, la taille de la
matrice Ak est pk-1 x pk.
A chaque étape :
Trouver la valeur maximale de pk, où 1

a) [16 points] Compléter le tableau ci-dessous:
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
b) [4 points]
A partir de cette table de résultats et en utilisant la méthode de retour en arrière,
trouver l’ensemble des objets dans une solution optimale. Vous devez encercler les
entrées dans la table qui correspondent a la solution optimale (i.e. l’ensemble des
objets dont le poids total ne dépasse pas W et qui donnent un gain maximal.)