Cha??nes de Markov et files d'attente Indications pour la feuille d ...

Dr. Robert Philipowski Semestre d’été 2013
Chaînes de Markov et files d’attente
Indications pour la feuille d’exercices 1
Veuillez noter que ces indications ne sont pas des solutions complètes.
1. Soient P et P ′ deux matrices stochastiques et Q := P P ′ leur produit défini
par
Il faut alors vérifier que
Q(x, z) :=
P (x, y)Q(y, z).
y∈E
1. Q(x, z) ≥ 0 ∀x, z ∈ E, et
2.
z∈E Q(x, z) = 1 ∀x ∈ E.
2. a) Pour que P soit une matrice stochastique, il faut que la somme des éléments
de chaque ligne soit égale à 1. Donc x = 0, y = 1/4, z = 0.
b) La loi de X2 est donnée par µP 2 . On obtient
⎛
1/2 1/2 0
⎞
µP = (1/2, 1/2, 0) ⎝ 1/4 1/4 1/2 ⎠ = (3/8, 3/8, 1/4)
0 1/2 1/2
et par conséquent
⎛
µP 2 = (3/8, 3/8, 1/4) ⎝
1/2 1/2 0
1/4 1/4 1/2
0 1/2 1/2
⎞
⎠ = (9/32, 13/32, 5/16).
3. La loi de X1000 est égale à µP 1000 , ce qui est pratiquement impossible à calculer
de façon naïve. Pourtant, si on arrive à diagonaliser P , c’est à dire si on trouve
une matrice inversible S telle que D := S −1 P S est une matrice diagonale,
ce calcul devient très simple :
D = diag(λ1, λ2),
P 1000 = (SDS −1 ) 1000 = SD 1000 S −1 = S diag(λ 1000
1
, λ 1000
2 )S −1 .
Une telle matrice S peut être construite de la façon suivante : Soit (ξ1, ξ2) une base
de vecteurs propres de P , et S la matrice ayant ces vecteurs comme colonnes.
En général, il est assez compliqué de trouver une base de vecteurs propres d’une
matrice. Mais ici, c’est très simple : D’abord, (1, 1) T est un vecteur propre de P
1

(chaque matrice stochastique admet le vecteur (1, . . . , 1) T comme vecteur propre ; à
vérifier !). Ensuite, comme P est symmétrique, elle admet une base orthogonale de
vecteurs propres, donc (1, −1) T est également un vecteur propre. Ceci nous donne
et
S =
1 1
1 −1
,
D = S −1 P S = diag(1, 2p − 1)
µP 1000 = µS diag 1, (2p − 1) 1000 S −1
1 1 1 0
= (q, 1 − q)
1 −1 0 (2p − 1) 1000
1/2 1/2
1/2 −1/2
1 0
= (1, 2q − 1)
0 (2p − 1) 1000
1/2 1/2
1/2 −1/2
= 1, (2q − 1)(2p − 1) 1000
1/2 1/2
1/2 −1/2
1 1
= +
2 2 (2q − 1)(2p − 1)1000 , 1
1
− (2q − 1)(2p − 1)1000 .
2 2
2