Complexité de problèmes d'ordonnancement de rencontres de type ...

Complexité de problèmes d’ordonnancement
de rencontres de type speed-dating
Agnès Le Roux 1 , Odile Bellenguez-Morineau 1 , Christelle Guéret 1 , Damien Prot 1
LUNAM Université, École des Mines de Nantes, IRCCyN
(Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes) UMR CNRS 6597
44307 Nantes Cedex 3, Nantes (France)
{agnes.le-roux,odile.morineau,christelle.gueret,damien.prot}@mines-nantes.fr
Mots-clés : speed-dating, ordonnancement, N P-complétude.
1 Introduction
Nous nous intéressons au problème d’ordonnancement de rencontres au cours de soirées de
speed-dating. Il s’agit d’un mode de rencontres rapides amicales ou amoureuses entre une
population d’hommes et de femmes. Idéalement, lors de ces soirées, sept hommes et sept
femmes se rencontrent sur des créneaux horaires de sept minutes. Toutes les rencontres qui
s’effectuent sur le même créneau commencent et finissent au même moment. À la fin de chaque
rencontre, les hommes se déplacent de manière à rencontrer une nouvelle personne, alors que
les femmes restent assises. L’organisation de soirées de speed-dating peut paraître anodine. En
effet, si autant d’hommes que de femmes participent à une soirée et que tous sont à l’heure,
la planification des rencontres est facile à organiser : il suffit d’effectuer une permutation
circulaire des hommes à la fin de chaque créneau. Dans la pratique, il arrive souvent que
les deux populations soient de tailles différentes ou que certaines rencontres soient interdites
car les participants se sont déjà rencontrés lors d’une soirée précédente. De plus, certains
participants arrivent en retard. Tous ces événements perturbateurs engendrent des attentes
pour les participants ne pouvant ainsi pas enchaîner toutes leurs rencontres. L’objectif considéré
ici est la minimisation du nombre maximum d’attentes des participants. Nous nous intéressons
à la version statique du problème dans laquelle toutes les données (retards des participants,
rencontres ayant déjà eu lieu dans des soirées précédentes) sont connues à l’avance. Nous
proposons dans cet article des notations et une classification de ces problèmes ainsi que de
premiers résultats de complexité.
Dans un premier temps, nous décrivons le problème étudié et définissons les notations que nous
utilisons. Ensuite, nous dressons un état de l’art de problèmes d’ordonnancement connexes.
Enfin, nous démontrons de nouveaux résultats de complexité.
2 Description du problème et notations
Le problème d’ordonnancement de soirées de speed-dating se définit formellement de la façon
suivante : p femmes doivent rencontrer n hommes pendant un créneau chacun. À chaque homme
(resp. chaque femme) est associée une date d’arrivée rmj (resp. rfi). Les contraintes sont les
suivantes :
– Les rencontres ont toutes la même durée d’un créneau.
– On ne peut pas planifier plus d’une rencontre par participant pendant un créneau.
– Une rencontre n’est planifiée que sur un créneau.

– Certaines rencontres sont interdites si deux participants se sont déjà rencontrés lors d’une
soirée précédente. Les rencontres sont définies dans une matrice de rencontres :
1 si la rencontre doit avoir lieu entre i et j ;
∀(i, j) ∈ 1, p × 1, n, Oij =
0 si la rencontre est interdite.
– On ne peut pas planifier une rencontre si l’un des participants concernés n’est pas arrivé.
La soirée se termine lorsque toutes les rencontres ont été planifiées. L’objectif est de minimiser
le plus grand nombre de créneaux d’attente des participants de la soirée (noté Wmax).
Afin de définir la plus grande attente, nous introduisons les notations suivantes pour i ∈ 1, p
et j ∈ 1, n :
– emj = rmj + card {i ∈ 1, n; Oij = 1} est la date de fin au plus tôt de l’homme j, c’està-dire
la date à laquelle il finit dans le cas idéal où il n’a aucun créneau d’attente.
– efi = rfi+card {j ∈ 1, p; Oij = 1} est la date de fin au plus tôt de la femme i, c’est-à-dire
la date à laquelle elle finit dans le cas idéal où elle n’a aucun créneau d’attente.
– Cmj (resp. Cfi) est la date de fin des rencontres de l’homme j (resp. de la femme i).
– Wmax = max
i∈1,p,j∈1,n {Cfi − efi, Cmj − emj}
Étant donné que les efi et emj sont les dates de fin au plus tôt pour des femmes et des hommes,
∀i ∈ 1, p, Cfi − efi ≥ 0 et ∀j ∈ 1, n, Cmj − emj ≥ 0, on a donc dans tous les cas Wmax ≥ 0.
Nous proposons la notation à trois champs α|β|γ suivante pour ces problèmes :
– le paramètre α ∈ {SDn, SDn,p, SDn≥p, SDn≤p} désigne le problème du speed-dating avec :
– α = SDn quand le nombre de femmes est égal au nombre d’hommes ;
– α = SDn,p dans le cas où le nombre d’hommes peut être différent du nombre de femmes ;
– α = SDn≥p (resp. SDn≤p) quand le nombre d’hommes (resp. de femmes) est supérieur
ou égal au nombre de femmes (resp. d’hommes).
– Le paramètre β ∈ P({Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj}) représente les contraintes suivantes :
– Oij ∈ {0, 1} si certaines rencontres sont interdites,
– rfi (resp. rmj) dans le cas où des femmes (resp. hommes) sont en retard (rfi ≥ 0 et/ou
rmj ≥ 0).
– Enfin, γ = Wmax est l’objectif considéré ici.
Le cas général de notre problème se note donc SDn,p|Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj|Wmax.
3 État de l’art
Les problèmes de speed-dating sont des problèmes récents qui ont peu été traités dans la
littérature. À notre connaissance, les seuls travaux sur le sujet sont ceux de Lapègue et al. [3]
qui proposent un modèle de programmation par contraintes pour résoudre le cas dynamique
dans lequel les dates d’arrivée des participants sont connues au fur et à mesure de la soirée.
On peut assimiler le problème de speed-dating à un problème d’open shop à durée d’opérations
unitaire dans lequel chaque machine est associée à une femme, chaque job à un homme
et chaque opération représente une rencontre. Si des rencontres peuvent être interdites, notre
problème s’apparente au cas où pij ∈ {0, 1}. Les dates de disponibilité et de fin au plus tôt
des hommes correspondent respectivement aux dates de disponibilité et dates d’échéance des
jobs. Il est à noter qu’à la différence des problèmes d’open shop rencontrés dans la littérature,
dans lesquels une date de disponibilité et une date d’échéance ne sont associées qu’aux jobs,
celles-ci sont à la fois associées aux femmes et aux hommes.
Dans [2], les auteurs présentent un algorithme en O(mn) pour le problème O|ri, pij = 1|Lmax
dans le cas où le nombre de machines est au moins égal au nombre de jobs. On en déduit
immédiatement que les problèmes SDn≥p|rfi|Wmax et SDn≤p|rmj|Wmax se résolvent en O(np).
Cet article contient également un algorithme permettant de résoudre ce problème avec n et m
quelconques en O(n 5/2 p 3/2 log(mn)). L’adaptation de celui-ci permet de résoudre les problèmes

SDn≤p|rfi|Wmax et SDn≥p|rmj|Wmax en O(p 5/2 n 3/2 log p) et O(n 5/2 p 3/2 log n) respectivement.
4 Nouveaux résultats de complexité
À un problème d’optimisation de soirée de speed-dating de type α|β|Wmax, on associe le
problème de décision : “Existe-t-il une planification des rencontres de la soirée avec les données
α sous les contraintes β avec Wmax ≤ k ?” (où k ∈ N). Ce problème est noté α|β|Wmax ≤ k.
Nous proposons les nouveaux résultats de complexité suivants dont les démonstrations complètes
sont détaillées dans [4].
Proposition 1 Le problème SDn|Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj|Wmax = 0 est N P-complet.
Preuve : Nous introduisons un problème de coloration d’arêtes afin d’effectuer une réduction
vers notre problème. Le problème d’extension de coloration des arêtes d’un graphe noté PrExt
est un problème de coloration d’arêtes dans lequel certaines arêtes ont une couleur préaffectée.
Le problème PrExt pour un graphe biparti complet Kλ,λ avec λ couleurs est N P-complet [1].
Soit un graphe Kλ,λ = G(U1∪U2, E) et un sous-ensemble de ses arêtes précolorées D. La couleur
de l’arête e ∈ D est notée c(e). On construit une instance de SDn|Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj|Wmax =
0 en associant une femme à chaque sommet de U1, un homme à chaque sommet de U2 et une
rencontre pour chaque arête non précolorée. Ces hommes et femmes ont une date d’arrivée
nulle. Pour chaque arête [i, j] ∈ D, on ajoute deux participants : un homme (resp. une femme)
qui rencontre uniquement la femme i (resp. l’homme j) et dont la date d’arrivée est c([i, j]).
La figure (1) illustre une telle transformation. Cette transformation est polynomiale.
Il est facile de montrer que si une solution du PrExt considéré existe, alors il existe une solution
pour SDn|Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj|Wmax = 0 et réciproquement.
a
c
e
1
0
b
d
f
H4
rh4 = 1
H5
rh5 = 0
F1 H1
F2 H2
F3 H3
F4
rf4 = 1
F5
rf5 = 0
FIG. 1 – Graphe biparti complet avec précoloration et son équivalent speed-dating.
À partir de cette proposition, on peut démontrer de manière assez immédiate que les problèmes
d’optimisation de type SDn,p, SDn≤p et SDn≥p avec les contraintes {Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj}
sont N P-difficiles.
Proposition 2 Les problèmes symétriques SDn,p|Oij ∈ {0, 1}, rmj|Wmax = 0 et SDn,p|Oij ∈
{0, 1}, rfi|Wmax = 0 sont N P-complets.
Preuve : On opère une réduction polynomiale de SDn,p|Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj|Wmax = 0 vers
SDn,p|Oij ∈ {0, 1}, rmj|Wmax = 0 en ajoutant des hommes fictifs qui effectuent des rencontres
avec les femmes avant leur date de disponibilité. De la même manière, on peut réduire polynomialement
SDn,p|Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj|Wmax = 0 à SDn,p|Oij ∈ {0, 1}, rfi|Wmax = 0 en
ajoutant des femmes fictives.
On démontre à partir de la proposition 2 que les tous les problèmes d’optimisation dont
les contraintes sont {Oij ∈ {0, 1}, rfi} ou {Oij ∈ {0, 1}, rmj} sont N P-difficiles en ajoutant
éventuellement des participants fictifs qui n’effectuent aucune rencontre.
Proposition 3 Le problème SDn,p|Oij ∈ {0, 1}|Wmax = 0 est N P-complet.

Preuve : On opère une réduction polynomiale de SDn,p|Oij ∈ {0, 1}, rmj|Wmax = 0 vers
SDn,p|Oij ∈ {0, 1}|Wmax = 0 en ajoutant des femmes fictives qui rencontrent les hommes
ayant des retards avant leur date d’arrivée. Cela n’est pas suffisant pour que tous les participants
aient un nombre de créneaux d’attente nulle. On ajoute alors un certain nombre
d’hommes fictifs pour combler les créneaux d’attente des femmes fictives.
De manière similaire aux résultats précédents, on établit que tous les problèmes d’optimisation
dont l’unique contrainte est Oij ∈ {0, 1} sont N P-difficiles pour Wmax = 0 et Wmax ≤ k.
5 Résumé des résultats de complexité établis
Les résultats de complexité présentés dans cet article permettent d’établir l’ensemble des
résultats du tableau (1). Le symbole ? indique un problème ouvert.
α\β ∅ rfi rmj rfi, rmj
n O(n 2 ) O(n 2 ) O(n 2 ) ?
n ≥ p O(np) O(np) O(n 5/2 p 3/2 log(n)) ?
n ≤ p O(np) O(p 5/2 n 3/2 log(p)) O(np) ?
n, p O(np) O(max(n, p) 5/2 min(n, p) 3/2 log(max(n, p))) ?
α\β Oij ∈ {0, 1} Oij ∈ {0, 1}, rfi Oij ∈ {0, 1}, rmj Oij ∈ {0, 1}, rfi, rmj
n N P-difficile N P-difficile N P-difficile N P-difficile
n ≥ p N P-difficile N P-difficile N P-difficile N P-difficile
n ≤ p N P-difficile N P-difficile N P-difficile N P-difficile
n, p N P-difficile N P-difficile N P-difficile N P-difficile
TAB. 1 – Résultats de complexité de problèmes de speed-dating pour l’objectif Wmax.
6 Conclusions et perspectives
Ce travail décrit un problème d’ordonnancement de rencontres de type speed-dating. L’étude
de problèmes similaires disponibles dans la littérature nous permet de dire qu’à notre connaissance,
ce problème n’a été traité pour le cas dynamique que dans [3]. Nous démontrons que
le problème statique du speed-dating est N P-complet dans tous le cas où des rencontres sont
interdites. Nous envisageons maintenant de déterminer la complexité des problèmes restant
ouverts et de développer des méthodes de résolution pour ces problèmes.
Références
[1] C.J. Colbourn. The complexity of completing partial Latin squares. Annals of Discrete
Mathematics, 8:25-30, 1984.
[2] H. Kellerer, T.Tautenhahn, G. Woeginger. Open-shop scheduling with release dates to
minimize maximum lateness. Naval research logistics, 42 :141-145, 1995.
[3] T. Lapègue, O. Bellenguez-Morineau, C. Guéret. Scheduling of a speed-dating event. Operations
Research Conference 2011, 99-100, Zurich, Switzerland, August 30 to September 2,
2011.
[4] A. Le Roux, O. Bellenguez-Morineau, C. Guéret, D. Prot. Démonstrations de complexité
de problèmes d’ordonnancement de rendez-vous de type speed-dating dans le cas statique.
Rapport technique EMN, 12/1/AUTO, 2012.