Les transformations conformes - Unité de Mathématiques Appliquées

Fonctions d’une variable complexe
VI - Les transformations conformes
Marc Lenoir
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#1

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Plan
● Espaces de fonctions holomorphes
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#2

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Plan
● Espaces de fonctions holomorphes
● Transformations conformes
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#2

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Plan
● Espaces de fonctions holomorphes
● Transformations conformes
● Principe du maximum
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#2

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Plan
● Espaces de fonctions holomorphes
● Transformations conformes
● Principe du maximum
● Principe de symétrie
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#2

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Plan
● Espaces de fonctions holomorphes
● Transformations conformes
● Principe du maximum
● Principe de symétrie
● Fonctions harmoniques
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#2

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
fn → f :
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
fn → f : ∀ε, ∀i, ∃N, tel que n ≥ N =⇒ pi(fn − f) ≤ ε
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
fn → f : ∀ε, ∀i, ∃N, tel que n ≥ N =⇒ pi(fn − f) ≤ ε
Théorème de Cauchy :
T ⊂ Ω
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
fn → f : ∀ε, ∀i, ∃N, tel que n ≥ N =⇒ pi(fn − f) ≤ ε
Théorème de Cauchy :
T ⊂ Ω =⇒
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
∂T
fn(z) dz = 0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
fn → f : ∀ε, ∀i, ∃N, tel que n ≥ N =⇒ pi(fn − f) ≤ ε
Théorème de Cauchy :
T ⊂ Ω =⇒ fn(z) dz = 0 =⇒
∂T
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
T
f(z) dz = 0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
fn → f : ∀ε, ∀i, ∃N, tel que n ≥ N =⇒ pi(fn − f) ≤ ε
Théorème de Cauchy :
T ⊂ Ω =⇒ f(z) dz = 0 =⇒ f holomorphe dans Ω
T
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Si Ω est un ouvert de C,
Ω =
i∈N
Ki, Ki compacts
● H(Ω) : ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
● H(Ω) est un sous-espace fermé de C 0 (Ω).
muni de la topologie de la convergence uniforme sur les
compacts
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
fn → f : ∀ε, ∀i, ∃N, tel que n ≥ N =⇒ pi(fn − f) ≤ ε
Théorème de Cauchy :
T ⊂ Ω =⇒ f(z) dz = 0 =⇒ f holomorphe dans Ω
Théorème de Morera
T
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors
∀a ∈ Dr
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)|
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ 1
|fn(z) − f(z)|
2π |z − a| 2 dz
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
γR

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ sup
|z|≤R |fn(z) − f(z)| |dz|
2π
|z − a| 2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
γR

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ sup |fn(z) − f(z)|
|z|≤R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
R
|R − r| 2

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ sup |fn(z) − f(z)|
|z|≤R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
R
|R − r| 2
S ⊂ H(Ω) borné, s’il est absorbé par tout voisinage de 0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ sup |fn(z) − f(z)|
|z|≤R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
R
|R − r| 2
S ⊂ H(Ω) borné, s’il est absorbé par tout voisinage de 0
● Montel

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ sup |fn(z) − f(z)|
|z|≤R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
R
|R − r| 2
S ⊂ H(Ω) borné, s’il est absorbé par tout voisinage de 0
● Montel
S compact ⇐⇒ S fermé et borné

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ sup |fn(z) − f(z)|
|z|≤R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
R
|R − r| 2
S ⊂ H(Ω) borné, s’il est absorbé par tout voisinage de 0
● Montel
● Vitali
S compact ⇐⇒ S fermé et borné

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ sup |fn(z) − f(z)|
|z|≤R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
R
|R − r| 2
S ⊂ H(Ω) borné, s’il est absorbé par tout voisinage de 0
● Montel
● Vitali
S compact ⇐⇒ S fermé et borné
zp ∈ Ω → z ∈ Ω, {fn} borné dans H(Ω), alors

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
pi(f) = sup |f(z)| : semi-normes
z∈Ki
● La dérivation est une application continue sur H(Ω).
Si Dr(z0) ⊂ DR(z0) ⊂ Ω et fn → f dans C 0 (Ω), alors ∀a ∈ Dr
|f ′ n(a) − f ′ (a)| ≤ sup |fn(z) − f(z)|
|z|≤R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3
R
|R − r| 2
S ⊂ H(Ω) borné, s’il est absorbé par tout voisinage de 0
● Montel
● Vitali
S compact ⇐⇒ S fermé et borné
zp ∈ Ω → z ∈ Ω, {fn} borné dans H(Ω), alors
∀p, fn (zp) converge dans C =⇒ fn converge dans H(Ω).

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Théorème de Stone-Weierstraβ
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Théorème de Stone-Weierstraβ
Si K est compact, une sous-algèbre auto-adjointe unitaire
de C 0 (K) qui sépare les points, est dense dans C 0 (K);
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Théorème de Stone-Weierstraβ
Si K est compact, une sous-algèbre auto-adjointe unitaire
de C 0 (K) qui sépare les points, est dense dans C 0 (K);
Ne s’applique pas avec des polynômes car P(z) n’est pas
holomorphe
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Théorème de Stone-Weierstraβ
Si K est compact, une sous-algèbre auto-adjointe unitaire
de C 0 (K) qui sépare les points, est dense dans C 0 (K);
Ne s’applique pas avec des polynômes car P(z) n’est pas
holomorphe
● Théorème de Runge
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Théorème de Stone-Weierstraβ
Si K est compact, une sous-algèbre auto-adjointe unitaire
de C 0 (K) qui sépare les points, est dense dans C 0 (K);
Ne s’applique pas avec des polynômes car P(z) n’est pas
holomorphe
● Théorème de Runge K compact ⊂ Ω ouvert.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Théorème de Stone-Weierstraβ
Si K est compact, une sous-algèbre auto-adjointe unitaire
de C 0 (K) qui sépare les points, est dense dans C 0 (K);
Ne s’applique pas avec des polynômes car P(z) n’est pas
holomorphe
● Théorème de Runge K compact ⊂ Ω ouvert.
Si E ⊂ C\K rencontre toutes les composantes connexes
bornées de C\K,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Théorème de Stone-Weierstraβ
Si K est compact, une sous-algèbre auto-adjointe unitaire
de C 0 (K) qui sépare les points, est dense dans C 0 (K);
Ne s’applique pas avec des polynômes car P(z) n’est pas
holomorphe
● Théorème de Runge K compact ⊂ Ω ouvert.
Si E ⊂ C\K rencontre toutes les composantes connexes
bornées de C\K,
alors ∀f analytique dans Ω , ∃rn suite de fractions
rationnelles dont les seuls pôles appartiennent à E telle que
rn →
H(Ω) f
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Topologie
● Théorème de Stone-Weierstraβ
Si K est compact, une sous-algèbre auto-adjointe unitaire
de C 0 (K) qui sépare les points, est dense dans C 0 (K);
Ne s’applique pas avec des polynômes car P(z) n’est pas
holomorphe
● Théorème de Runge K compact ⊂ Ω ouvert.
Si E ⊂ C\K rencontre toutes les composantes connexes
bornées de C\K,
alors ∀f analytique dans Ω , ∃rn suite de fractions
rationnelles dont les seuls pôles appartiennent à E telle que
rn →
H(Ω) f
Le résultat dépend de la géométrie de Ω.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#3

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
δi = f ◦ γi
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
δi = f ◦ γi =⇒ Log δ′ 2
δ ′ 1
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
δi = f ◦ γi =⇒ Log δ′ 2
δ ′ 1
′
(f ◦ γ2)
= Log
(f ◦ γ1) ′
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
δi = f ◦ γi =⇒ Log δ′ 2
δ ′ 1
= Log
(f ◦ γ2) ′
(f ◦ γ1) ′ = Log cγ′ 2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
cγ ′ 1

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
δi = f ◦ γi =⇒ Log δ′ 2
δ ′ 1
= Log cγ′ 2
cγ ′ 1
= Log γ′ 2
γ ′ 1
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
δi = f ◦ γi =⇒ Log δ′ 2
δ ′ 1
= Log γ′ 2
γ ′ 1
〈δ ′ 1, δ ′ 2〉 = 〈γ ′ 1, γ ′ 2〉 en ζ0 = f(z0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
δi = f ◦ γi =⇒ Log δ′ 2
δ ′ 1
= Log γ′ 2
γ ′ 1
〈δ ′ 1, δ ′ 2〉 = 〈γ ′ 1, γ ′ 2〉 en ζ0 = f(z0)
● Réciproquement, si T : R−linéaire C → C et conserve les
angles
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Equivalence conforme : ∃? isomorphisme f de Ω sur Θ
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● f ′ (z0) = c = 0
γ1 et γ2 deux chemins se coupant en z0 = γ1(0) = γ2(0)
δi = f ◦ γi =⇒ Log δ′ 2
δ ′ 1
= Log γ′ 2
γ ′ 1
〈δ ′ 1, δ ′ 2〉 = 〈γ ′ 1, γ ′ 2〉 en ζ0 = f(z0)
● Réciproquement, si T : R−linéaire C → C et conserve les
angles
T(z) = cz.
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
p
f(z) − f(z0) = (z − z0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
n≥p
an (z − z0) n−p , où p ≥ 2.

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
p
f(z) − f(z0) = (z − z0)
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n≥p
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
an (z − z0) n−p , où p ≥ 2.

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
p
f(z) − f(z0) = (z − z0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
n≥p
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
h(ζ)
an (z − z0) n−p , où p ≥ 2.

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
p
f(z) − f(z0) = (z − z0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
n≥p
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
p
h(ζ) = ζ anζ n−p
n≥p
an (z − z0) n−p , où p ≥ 2.

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
p
f(z) − f(z0) = (z − z0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
n≥p
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
p
h(ζ) = ζ
n≥p
an (z − z0) n−p , où p ≥ 2.
anζ n−p
p
= apζ
n≥p
an
ap
ζ n−p

❖ Plan
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
p
f(z) − f(z0) = (z − z0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
n≥p
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
p an
h(ζ) = apζ
n≥p
an (z − z0) n−p , où p ≥ 2.
ζ
ap
n−p = c p ζ p g(ζ) = (v(ζ)) p

❖ Plan
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
p
f(z) − f(z0) = (z − z0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
n≥p
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
h(ζ) = c p ζ p g(ζ) = (v(ζ)) p
v(ζ) = c ζe 1/p Log g(ζ) ,
an (z − z0) n−p , où p ≥ 2.

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
p
f(z) − f(z0) = (z − z0)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
n≥p
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
h(ζ) = c p ζ p g(ζ) = (v(ζ)) p
an (z − z0) n−p , où p ≥ 2.
v(ζ) = c ζe 1/p Log g(ζ) , v ′ (ζ) = c e 1/p Log g(ζ) +c ζe 1/p Log g(ζ) g′ (ζ)
g(ζ)

❖ Plan
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
h(ζ) = c p ζ p g(ζ) = (v(ζ)) p
v(ζ) = c ζe 1/p Log g(ζ) , v ′ (ζ) = c e 1/p Log g(ζ) +c ζe 1/p Log g(ζ) g′ (ζ)
g(ζ)
v(0) = 0 et v ′ (0) = c = 0 =⇒ v conserve les angles.
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
v(ζ) = c ζe 1/p Log g(ζ) , v ′ (ζ) = c e 1/p Log g(ζ) +c ζe 1/p Log g(ζ) g′ (ζ)
g(ζ)
v(0) = 0 et v ′ (0) = c = 0 =⇒ v conserve les angles.
h = w ◦ v, où w(z) = z p
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❖ Plan
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● f holomorphe localement inversible =⇒ f conserve les
angles
● Si f ′ (z0) = 0,
f(z) =
n∈N
an (z − z0) n , avec an = f(n) (z0)
, a1 = 0
n!
ζ = z − z0, f(z) − f(z0) = h(ζ),
v(ζ) = c ζe 1/p Log g(ζ) , v ′ (ζ) = c e 1/p Log g(ζ) +c ζe 1/p Log g(ζ) g′ (ζ)
g(ζ)
v(0) = 0 et v ′ (0) = c = 0 =⇒ v conserve les angles.
h = w ◦ v, où w(z) = z p
w multiplie les angles par p =⇒ h également, ou de façon
équivalente f.
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes de C
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes de C
Γ(C) = {f(z) = az + b | a = 0}.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes de C
Γ(C) = {f(z) = az + b | a = 0}.
● Automorphismes du demi-plan supérieur P +
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes de C
Γ(C) = {f(z) = az + b | a = 0}.
● Automorphismes du demi-plan supérieur P +
Γ(P + ) = T =
f(z) =
az + b
cz + d
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
ad − bc > 0 et a, b, c, d réels

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes de C
Γ(C) = {f(z) = az + b | a = 0}.
● Automorphismes du demi-plan supérieur P +
Γ(P + ) = T =
f(z) =
az + b
cz + d
● Automorphismes du disque unité D.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
ad − bc > 0 et a, b, c, d réels

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes de C
Γ(C) = {f(z) = az + b | a = 0}.
● Automorphismes du demi-plan supérieur P +
Γ(P + ) = T =
f(z) =
az + b
cz + d
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
ad − bc > 0 et a, b, c, d réels
● Automorphismes du disque unité D.
iθ z + z0
Γ(D) = f(z) = e
1 + z0z | |z0|
< 1 et θ réel

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❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes de C
Γ(C) = {f(z) = az + b | a = 0}.
● Automorphismes du demi-plan supérieur P +
Γ(P + ) = T =
f(z) =
az + b
cz + d
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
ad − bc > 0 et a, b, c, d réels
● Automorphismes du disque unité D.
iθ z + z0
Γ(D) = f(z) = e
1 + z0z | |z0|
< 1 et θ réel
● Isomorphisme P + → D

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❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes de C
Γ(C) = {f(z) = az + b | a = 0}.
● Automorphismes du demi-plan supérieur P +
Γ(P + ) = T =
f(z) =
az + b
cz + d
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
ad − bc > 0 et a, b, c, d réels
● Automorphismes du disque unité D.
iθ z + z0
Γ(D) = f(z) = e
1 + z0z | |z0|
< 1 et θ réel
● Isomorphisme P + → D
Transformation de Cayley.
C(z) =
z − i
z + i

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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes du disque unité D.
iθ z + z0
Γ(D) = f(z) = e
1 + z0z | |z0|
< 1 et θ réel
● Isomorphisme P + → D
Transformation de Cayley.
● Automorphismes de P 1 (C)
C(z) =
z − i
z + i
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Transformations conformes
● Automorphismes du disque unité D.
iθ z + z0
Γ(D) = f(z) = e
1 + z0z | |z0|
< 1 et θ réel
● Isomorphisme P + → D
Transformation de Cayley.
C(z) =
● Automorphismes de P 1 (C)
Γ(P 1
(C)) = w(z) =
z − i
z + i
az + b
cz + d
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#4
ad − bc = 0
= H

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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
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ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
Voisinages de ∞ : contiennent le complémentaire d’un
disque fermé de C centré à l’origine
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
Voisinages de ∞ : contiennent le complémentaire d’un
disque fermé de C centré à l’origine
● Sphère de Riemann :
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ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
Voisinages de ∞ : contiennent le complémentaire d’un
disque fermé de C centré à l’origine
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
Voisinages de ∞ : contiennent le complémentaire d’un
disque fermé de C centré à l’origine
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
, si s3 < 1
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❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
Voisinages de ∞ : contiennent le complémentaire d’un
disque fermé de C centré à l’origine
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
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❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
Voisinages de ∞ : contiennent le complémentaire d’un
disque fermé de C centré à l’origine
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
, si s3 > −1
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❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
Voisinages de ∞ : contiennent le complémentaire d’un
disque fermé de C centré à l’origine
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
η symétrique de celle relative au pôle sud (0, 0, −1),
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Représentation conforme
● Compactification
C = C∪ {∞} = P 1 (C).
Voisinages de ∞ : contiennent le complémentaire d’un
disque fermé de C centré à l’origine
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
η symétrique de celle relative au pôle sud (0, 0, −1),
(0, 0, 1) = ∞ = η −1 (0)
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DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
η symétrique de celle relative au pôle sud (0, 0, −1),
(0, 0, 1) = ∞ = η −1 (0)
● Une fonction f est holomorphe sur la sphère de Riemann si
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DEUX PRINCIPES
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Représentation conforme
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
η symétrique de celle relative au pôle sud (0, 0, −1),
(0, 0, 1) = ∞ = η −1 (0)
● Une fonction f est holomorphe sur la sphère de Riemann si
g = f ◦ η −1 et g = f ◦ η −1 sont holomorphes
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Représentation conforme
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
η symétrique de celle relative au pôle sud (0, 0, −1),
(0, 0, 1) = ∞ = η −1 (0)
● Une fonction f est holomorphe sur la sphère de Riemann si
Notons que
g = f ◦ η −1 et g = f ◦ η −1 sont holomorphes
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Représentation conforme
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
η symétrique de celle relative au pôle sud (0, 0, −1),
(0, 0, 1) = ∞ = η −1 (0)
● Une fonction f est holomorphe sur la sphère de Riemann si
Notons que
g = f ◦ η −1 et g = f ◦ η −1 sont holomorphes
g = f ◦ η −1 , g = f ◦ η −1
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Représentation conforme
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
η symétrique de celle relative au pôle sud (0, 0, −1),
(0, 0, 1) = ∞ = η −1 (0)
● Une fonction f est holomorphe sur la sphère de Riemann si
Notons que
g = f ◦ η −1 et g = f ◦ η −1 sont holomorphes
g = f ◦ η −1 , g = f ◦ η −1 =⇒ g(z) = g ◦ η ◦ η −1 (z)
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Représentation conforme
● Sphère de Riemann : projections stéréographiques de la
sphère S 2
η : (s1, s2, s3) → s1 + is2
1 − s3
η : (s1, s2, s3) → s1 − is2
1 + s3
, si s3 < 1
, si s3 > −1
η : projection relative au pôle nord (0, 0, 1),
η symétrique de celle relative au pôle sud (0, 0, −1),
(0, 0, 1) = ∞ = η −1 (0)
● Une fonction f est holomorphe sur la sphère de Riemann si
Notons que
g = f ◦ η −1 et g = f ◦ η −1 sont holomorphes
g = f ◦ η −1 , g = f ◦ η −1 =⇒ g(z) = g ◦ η ◦ η −1 (z) = g(1/z)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#5

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#5

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Soit U ⊂ P 1 (C) ouvert simplement connexe non vide,
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Soit U ⊂ P 1 (C) ouvert simplement connexe non vide,
F = P 1 (C) \ U, D le disque unité ouvert.
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Soit U ⊂ P 1 (C) ouvert simplement connexe non vide,
F = P 1 (C) \ U, D le disque unité ouvert.
● P 1 (C), C et D ne sont pas conformément équivalents
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Soit U ⊂ P 1 (C) ouvert simplement connexe non vide,
F = P 1 (C) \ U, D le disque unité ouvert.
● P 1 (C), C et D ne sont pas conformément équivalents
● Si F contient un point et un seul, alors U est conformément
équivalent à C
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Soit U ⊂ P 1 (C) ouvert simplement connexe non vide,
F = P 1 (C) \ U, D le disque unité ouvert.
● P 1 (C), C et D ne sont pas conformément équivalents
● Si F contient un point et un seul, alors U est conformément
équivalent à C
● Si F contient au moins deux points, alors U est
conformément équivalent au disque unité D.
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Soit U ⊂ P 1 (C) ouvert simplement connexe non vide,
F = P 1 (C) \ U, D le disque unité ouvert.
● P 1 (C), C et D ne sont pas conformément équivalents
● Si F contient un point et un seul, alors U est conformément
équivalent à C
● Si F contient au moins deux points, alors U est
conformément équivalent au disque unité D.
● A une équivalence conforme près, il n’y a donc que trois
ouverts P 1 (C), C et D
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#5

❖ Plan
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HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Soit U ⊂ P 1 (C) ouvert simplement connexe non vide,
F = P 1 (C) \ U, D le disque unité ouvert.
● P 1 (C), C et D ne sont pas conformément équivalents
● Si F contient un point et un seul, alors U est conformément
équivalent à C
● Si F contient au moins deux points, alors U est
conformément équivalent au disque unité D.
● A une équivalence conforme près, il n’y a donc que trois
ouverts P 1 (C), C et D
● Prolongement au bord
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#5

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
❖ Topologie
❖ Transformations conformes
❖ Représentation conforme
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
Représentation conforme
● Théorème de la représentation conforme
Soit U ⊂ P 1 (C) ouvert simplement connexe non vide,
F = P 1 (C) \ U, D le disque unité ouvert.
● P 1 (C), C et D ne sont pas conformément équivalents
● Si F contient un point et un seul, alors U est conformément
équivalent à C
● Si F contient au moins deux points, alors U est
conformément équivalent au disque unité D.
● A une équivalence conforme près, il n’y a donc que trois
ouverts P 1 (C), C et D
● Prolongement au bord
f conforme : D → Ω borné se prolonge : ¯ D → ¯ Ω,
si et seulement si ∂Ω est localement connexe
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❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Soit T un triangle, T + = P + ∩ T et T − = P − ∩ T,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Soit T un triangle, T + = P + ∩ T et T − = P − ∩ T,
Cauchy+continuité
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Soit T un triangle, T + = P + ∩ T et T − = P − ∩ T,
Cauchy+continuité
∂T +
f(z)dz =
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
∂T −
f(z)dz = 0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Soit T un triangle, T + = P + ∩ T et T − = P − ∩ T,
Cauchy+continuité
∂T +
f(z)dz =
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
∂T
∂T −
f(z)dz
f(z)dz = 0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Soit T un triangle, T + = P + ∩ T et T − = P − ∩ T,
Cauchy+continuité
∂T
∂T +
f(z)dz =
f(z)dz =
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
∂T +
∂T −
f(z)dz +
f(z)dz = 0
∂T −
f(z)dz

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Soit T un triangle, T + = P + ∩ T et T − = P − ∩ T,
Cauchy+continuité
∂T
∂T +
f(z)dz =
f(z)dz =
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
∂T +
∂T −
f(z)dz +
f(z)dz = 0
∂T −
f(z)dz
les contributions respectives du bord δ se compensent.

❖ Plan
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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Soit T un triangle, T + = P + ∩ T et T − = P − ∩ T,
Cauchy+continuité
∂T
∂T +
f(z)dz =
f(z)dz =
∂T +
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
∂T −
f(z)dz +
f(z)dz = 0
∂T −
f(z)dz = 0
les contributions respectives du bord δ se compensent.

❖ Plan
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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
Soit T un triangle, T + = P + ∩ T et T − = P − ∩ T,
Cauchy+continuité
∂T
∂T +
f(z)dz =
f(z)dz =
∂T +
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
∂T −
f(z)dz +
f(z)dz = 0
∂T −
f(z)dz = 0
les contributions respectives du bord δ se compensent.
Théorème de Morera : f est holomorphe dans Ω.

❖ Plan
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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
U ∩ R
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
U ∩ R = R ∩ U
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
U ∩ R = R ∩ U = δ,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Si Ω est un ouvert de C, et si la fonction f est continue et
séparément holomorphe dans Ω ∩ P + et Ω ∩ P − , alors f
est holomorphe dans Ω.
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
● g(z) est holomorphe dans U
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
● g(z) est holomorphe dans U
∂˜g ∂˜g
,
∂x ∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
=
∂ ˜ f
∂x , −∂ ˜
f
,
∂y

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
● g(z) est holomorphe dans U
∂˜g ∂˜g
,
∂x ∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
=
∂ ˜ f
∂x , −∂ ˜
f
,
∂y
et par conséquent (Cauchy-Riemann)

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
● g(z) est holomorphe dans U
∂˜g ∂˜g
,
∂x ∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
=
∂ ˜ f
∂x , −∂ ˜
f
,
∂y
et par conséquent (Cauchy-Riemann)
∂˜g
∂x
+ i∂˜g
∂y

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
● g(z) est holomorphe dans U
∂˜g ∂˜g
,
∂x ∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
=
∂ ˜ f
∂x , −∂ ˜
f
,
∂y
et par conséquent (Cauchy-Riemann)
∂˜g
∂x
+ i∂˜g
∂y = ∂ ˜ f
∂x − i∂ ˜ f
∂y

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
● g(z) est holomorphe dans U
∂˜g ∂˜g
,
∂x ∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
=
∂ ˜ f
∂x , −∂ ˜
f
,
∂y
et par conséquent (Cauchy-Riemann)
∂˜g
∂x
+ i∂˜g
∂y = ∂ ˜ f
∂x − i∂ ˜ f
∂y = ∂ ˜ f
∂x + i∂ ˜ f
∂y

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
● g(z) est holomorphe dans U
∂˜g ∂˜g
,
∂x ∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
=
∂ ˜ f
∂x , −∂ ˜
f
,
∂y
et par conséquent (Cauchy-Riemann)
∂˜g
∂x
+ i∂˜g
∂y = ∂ ˜ f
∂x + i∂ ˜ f
∂y
= 0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe de symétrie de Schwartz
● Soit f holomorphe dans U ⊂ P −
U ⊂ P + le symétrique de U par rapport à l’axe réel R
alors
U ∩ R = R ∩ U = δ, f(δ) réel
g(z) = f(¯z), z ∈ U
prolonge f à U ∪ δ ∪ U selon une fonction holomorphe.
● g(z) est holomorphe dans U
∂˜g ∂˜g
,
∂x ∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#6
=
∂ ˜ f
∂x , −∂ ˜
f
,
∂y
et par conséquent (Cauchy-Riemann)
∂˜g
∂x
+ i∂˜g
∂y
= 0
● f(δ) réel=⇒ g(z) = f(z), pour z ∈ δ.

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
f(a + re iθ ) dθ.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω,

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne
f(a) = 1
f(z)
2iπ z − a dz
γ a r

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne
f(a) = 1
2π
f(z) 1
dz = f(a + re
2iπ z − a 2π
iθ ) dθ.
γ a r
0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne
f(a) = 1
2π
f(z) 1
dz = f(a + re
2iπ z − a 2π
iθ ) dθ.
γ a r
Ω ⊂ C ouvert connexe, f holomorphe dans Ω.
0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne
f(a) = 1
2π
f(z) 1
dz = f(a + re
2iπ z − a 2π
iθ ) dθ.
γ a r
Ω ⊂ C ouvert connexe, f holomorphe dans Ω.
● Si |f| possède un maximum relatif en a ∈ Ω,
0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne
f(a) = 1
2π
f(z) 1
dz = f(a + re
2iπ z − a 2π
iθ ) dθ.
γ a r
Ω ⊂ C ouvert connexe, f holomorphe dans Ω.
● Si |f| possède un maximum relatif en a ∈ Ω, =⇒ f est
constante.
0

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne
f(a) = 1
2π
f(z) 1
dz = f(a + re
2iπ z − a 2π
iθ ) dθ.
γ a r
Ω ⊂ C ouvert connexe, f holomorphe dans Ω.
● Si |f| possède un maximum relatif en a ∈ Ω, =⇒ f est
constante.
0
f non constante

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne
f(a) = 1
2π
f(z) 1
dz = f(a + re
2iπ z − a 2π
iθ ) dθ.
γ a r
Ω ⊂ C ouvert connexe, f holomorphe dans Ω.
● Si |f| possède un maximum relatif en a ∈ Ω, =⇒ f est
constante.
f non constante =⇒ Bρ(f(a)) ⊂ f(Ω)
0

❖ Plan
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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Propriété de moyenne : pour tout disque fermé Br(a) ⊂ Ω,
f(a) = 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7
0
f(a + re iθ ) dθ.
● Si f possède la propriété de moyenne et |f(a)| ≥ |f(z)|,
∀z ∈ Ω, alors f est constante dans un voisinage de a.
● Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne
f(a) = 1
2π
f(z) 1
dz = f(a + re
2iπ z − a 2π
iθ ) dθ.
γ a r
Ω ⊂ C ouvert connexe, f holomorphe dans Ω.
● Si |f| possède un maximum relatif en a ∈ Ω, =⇒ f est
constante.
f non constante =⇒ Bρ(f(a)) ⊂ f(Ω) =⇒ ∃ζ |f(ζ)| > |f(a)|
0

❖ Plan
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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C, elle atteint donc
(en particulier) son maximum sur ∂C ⊂ ∂Ω.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C, elle atteint donc
(en particulier) son maximum sur ∂C ⊂ ∂Ω.
● Lemme de Schwarz
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C, elle atteint donc
(en particulier) son maximum sur ∂C ⊂ ∂Ω.
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C, elle atteint donc
(en particulier) son maximum sur ∂C ⊂ ∂Ω.
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C, elle atteint donc
(en particulier) son maximum sur ∂C ⊂ ∂Ω.
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C, elle atteint donc
(en particulier) son maximum sur ∂C ⊂ ∂Ω.
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C, elle atteint donc
(en particulier) son maximum sur ∂C ⊂ ∂Ω.
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Principe du maximum
f holomorphe dans Ω et continue sur Ω, compact
=⇒ atteint son maximum sur ∂Ω.
Ω est compact =⇒ f y atteint son maximum soit en a.
Si a ∈ Ω et C est la composante connexe de a dans Ω, c’est
un ouvert
par conséquent f est constante dans C, elle atteint donc
(en particulier) son maximum sur ∂C ⊂ ∂Ω.
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory f analytique dans le disque Br
de rayon r centré à l’origine et
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory f analytique dans le disque Br
de rayon r centré à l’origine et
f(0) = 0 et Re f(z) ≤ A, ∀z ∈ Br
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory f analytique dans le disque Br
de rayon r centré à l’origine et
f(0) = 0 et Ref(z) ≤ A, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ 2A |z|/(r − |z|),∀z ∈ Br.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory f analytique dans le disque Br
de rayon r centré à l’origine et
f(0) = 0 et Ref(z) ≤ A, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ 2A |z|/(r − |z|),∀z ∈ Br.
● Lemme de Hadamard
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory f analytique dans le disque Br
de rayon r centré à l’origine et
f(0) = 0 et Ref(z) ≤ A, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ 2A |z|/(r − |z|),∀z ∈ Br.
● Lemme de Hadamard
m ∈ N, f entière et
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory f analytique dans le disque Br
de rayon r centré à l’origine et
f(0) = 0 et Ref(z) ≤ A, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ 2A |z|/(r − |z|),∀z ∈ Br.
● Lemme de Hadamard
m ∈ N, f entière et
Ref(z) ≤ A |z| m , ∀z,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory f analytique dans le disque Br
de rayon r centré à l’origine et
f(0) = 0 et Ref(z) ≤ A, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ 2A |z|/(r − |z|),∀z ∈ Br.
● Lemme de Hadamard
m ∈ N, f entière et
Ref(z) ≤ A |z| m , ∀z,
alors f est un polynôme de degré inférieur ou égal à m.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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DEUX PRINCIPES
❖ Principe de symétrie
❖ Principe du maximum
EQUATION DE LAPLACE
Le principe du maximum
● Lemme de Schwarz
f analytique dans le disque Br de rayon r centré à l’origine
et
f(0) = 0 et |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ M |z|/r, ∀z ∈ Br
Si de plus
∃a ∈ Br, a = 0, tel que |f(a)| = M |a|/r =⇒ f(z) = Mz/r, ∀z ∈ Br
● Lemme de Carathéodory f analytique dans le disque Br
de rayon r centré à l’origine et
f(0) = 0 et Ref(z) ≤ A, ∀z ∈ Br =⇒ |f(z)| ≤ 2A |z|/(r − |z|),∀z ∈ Br.
● Lemme de Hadamard
m ∈ N, f entière et
Ref(z) ≤ A |z| m , ∀z,
alors f est un polynôme de degré inférieur ou égal à m.
● Une fonction entière de partie réelle bornée est constante.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#7

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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
ˇf (z, ¯z) = ˜ f (x, y)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
ˇf (z, ¯z) = ˜ f (x, y) = f(z), z = x + iy
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
ˇf (z, ¯z) = ˜ f (x, y) = f(z), z = x + iy
Soit f = P + iQ, holomorphe dans Ω, on aura ∂ ˇ f/∂¯z = 0,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
ˇf (z, ¯z) = ˜ f (x, y) = f(z), z = x + iy
Soit f = P + iQ, holomorphe dans Ω, on aura ∂ ˇ f/∂¯z = 0,
0 = 4 ∂2 ˇ f
∂z∂¯z
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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HOLOMORPHES
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EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
ˇf (z, ¯z) = ˜ f (x, y) = f(z), z = x + iy
Soit f = P + iQ, holomorphe dans Ω, on aura ∂ ˇ f/∂¯z = 0,
0 = 4 ∂2
fˇ
∂ ∂
= 2
∂z∂¯z ∂z
˜ f
∂x + i∂ ˜
f
∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
ˇf (z, ¯z) = ˜ f (x, y) = f(z), z = x + iy
Soit f = P + iQ, holomorphe dans Ω, on aura ∂ ˇ f/∂¯z = 0,
0 = 4 ∂2
fˇ
∂ ∂
= 2
∂z∂¯z ∂z
˜ f
∂x + i∂ ˜
f ∂ ∂
= − i
∂y ∂x ∂y
∂ ˜ f
∂x + i∂ ˜
f
∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
ˇf (z, ¯z) = ˜ f (x, y) = f(z), z = x + iy
Soit f = P + iQ, holomorphe dans Ω, on aura ∂ ˇ f/∂¯z = 0,
0 = 4 ∂2fˇ ∂z∂¯z =
∂ ∂
− i
∂x ∂y
∂ ˜ f
∂x + i∂ ˜
f
= ∆
∂y
˜ f
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La fonction u : R 2 → R est harmonique dans Ω si ∆u = 0
dans Ω.
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
ˇf (z, ¯z) = ˜ f (x, y) = f(z), z = x + iy
Soit f = P + iQ, holomorphe dans Ω, on aura ∂ ˇ f/∂¯z = 0,
0 = 4 ∂2 ˇ f
∂z∂¯z = ∆ ˜ f = ∆ ˜ P + i∆ ˜ Q
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
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EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● La partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction
holomorphe sont harmoniques.
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
∂
∂¯z
∂ǔ
∂z

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂
∂¯z
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
∂ǔ
∂z
= ∂
∂z
∂ǔ
∂¯z

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂
∂¯z
∂ǔ
∂z
= ∂
∂z
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
∂ǔ
∂¯z
= 1
4 ∆ũ

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂
∂¯z
∂ǔ
∂z
= ∂
∂z
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
∂ǔ
∂¯z
1
= ∆ũ = 0,
4

❖ Plan
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

❖ Plan
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ
2 ∂x ∂y
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ =
2 ∂x ∂y
∂ǔ
∂z
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ =
2 ∂x ∂y
∂ǔ ′
= f
∂z
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ = f
2 ∂x ∂y
′ = ∂ ˜ P
∂x + i∂ ˜ Q
∂x
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ =
2 ∂x ∂y
∂ ˜ P
∂x + i∂ ˜ Q
∂x
Il en résulte que
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ =
2 ∂x ∂y
∂ ˜ P
∂x + i∂ ˜ Q
∂x
Il en résulte que
∂ũ
∂x = 2∂ ˜ P
∂x
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ =
2 ∂x ∂y
∂ ˜ P
∂x + i∂ ˜ Q
∂x
Il en résulte que
∂ũ
∂x = 2∂ ˜ P
∂x
∂ũ
et
∂y = −2∂ ˜ Q
∂x
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ =
2 ∂x ∂y
∂ ˜ P
∂x + i∂ ˜ Q
∂x
Il en résulte que
∂ũ
∂x = 2∂ ˜ P
∂x
et ∂ũ
∂y = −2∂ ˜ Q
∂x = 2∂ ˜ P
∂y ,
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
∂ ∂ǔ ∂ ∂ǔ 1
= = ∆ũ = 0,
∂¯z ∂z ∂z ∂¯z 4
et par conséquent, ∂ǔ/∂z est holomorphe dans Ω ;
elle y admet donc une primitive, f = P + iQ, holomorphe.
1 ∂ ∂
− i ũ =
2 ∂x ∂y
∂ ˜ P
∂x + i∂ ˜ Q
∂x
Il en résulte que
∂ũ
∂x = 2∂ ˜ P
∂x
et ∂ũ
∂y = −2∂ ˜ Q
∂x = 2∂ ˜ P
∂y ,
et par conséquent à une constante additive réelle près
ũ = 2 Ref.
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Dans le cas d’un ouvert non simplement connexe, la
situation est plus complexe.
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Dans le cas d’un ouvert non simplement connexe, la
situation est plus complexe.
● Si la fonction u est harmonique dans l’ouvert Ω,
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Dans le cas d’un ouvert non simplement connexe, la
situation est plus complexe.
● Si la fonction u est harmonique dans l’ouvert Ω, elle vérifie
la propriété de moyenne.
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Dans le cas d’un ouvert non simplement connexe, la
situation est plus complexe.
● Si la fonction u est harmonique dans l’ouvert Ω, elle vérifie
la propriété de moyenne.
Soient a ∈ Ω, et r > 0 tels que Br(a) ⊂ Ω.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Dans le cas d’un ouvert non simplement connexe, la
situation est plus complexe.
● Si la fonction u est harmonique dans l’ouvert Ω, elle vérifie
la propriété de moyenne.
Soient a ∈ Ω, et r > 0 tels que Br(a) ⊂ Ω.
∃g holomorphe telle que u = Re g
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Dans le cas d’un ouvert non simplement connexe, la
situation est plus complexe.
● Si la fonction u est harmonique dans l’ouvert Ω, elle vérifie
la propriété de moyenne.
Soient a ∈ Ω, et r > 0 tels que Br(a) ⊂ Ω.
∃g holomorphe telle que u = Re g
g vérifie la propriété de moyenne dans Br(a),
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Dans le cas d’un ouvert non simplement connexe, la
situation est plus complexe.
● Si la fonction u est harmonique dans l’ouvert Ω, elle vérifie
la propriété de moyenne.
Soient a ∈ Ω, et r > 0 tels que Br(a) ⊂ Ω.
∃g holomorphe telle que u = Re g
g vérifie la propriété de moyenne dans Br(a), et par
conséquent sa partie réelle u.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Dans le cas d’un ouvert non simplement connexe, la
situation est plus complexe.
● Si la fonction u est harmonique dans l’ouvert Ω, elle vérifie
la propriété de moyenne.
Soient a ∈ Ω, et r > 0 tels que Br(a) ⊂ Ω.
∃g holomorphe telle que u = Re g
g vérifie la propriété de moyenne dans Br(a), et par
conséquent sa partie réelle u.
Il en résulte que u vérifie la propriété de moyenne dans Ω.
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Fonctions harmoniques dans un disque
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Re g = Re
anz n
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Si une fonction ũ est harmonique dans un ouvert
simplement connexe Ω, alors c’est la partie réelle d’une
fonction holomorphe.
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),

❖ Plan
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EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),

❖ Plan
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
n∈N
anz n = 1
2
u re iθ
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),

❖ Plan
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
n∈N
u re iθ = 1
2
anz n = 1
2
n∈N
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
r n ane inθ + ane −inθ

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
u re iθ = 1
2
n≥1
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
r n ane inθ + 1
2 (a0 + a0) + 1
2
(anz n + an¯z n ),
n≤−1
r −n a−ne inθ

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
u re iθ =
bn(r)e inθ
n∈Z
(anz n + an¯z n ),

❖ Plan
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
avec a0 réel.
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
u re iθ =
bn(r)e inθ
n∈Z
(anz n + an¯z n ),

❖ Plan
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EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
avec a0 réel.
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
u re iθ =
bn(r)e inθ
n∈Z
b0(r) = a0,
(anz n + an¯z n ),

❖ Plan
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EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
avec a0 réel.
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
u re iθ =
bn(r)e inθ
n∈Z
b0(r) = a0, bn(r) = rn an
2
(anz n + an¯z n ),
, n ≥ 1,

❖ Plan
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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
avec a0 réel.
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
u re iθ =
bn(r)e inθ
n∈Z
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
avec a0 réel.
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
u re iθ =
bn(r)e inθ
n∈Z
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2
Série de Fourier

❖ Plan
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DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
avec a0 réel.
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
u re iθ =
bn(r)e inθ
n∈Z
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2
Série de Fourier
u re iθ =
bn(r)e inθ ,
n∈Z

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
Pour r < ρ, on aura
avec a0 réel.
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
u re iθ =
bn(r)e inθ
n∈Z
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2
Série de Fourier
u re iθ =
n∈Z
bn(r)e inθ , où bn(r) = 1
2π
2π
0
u re iτ e −inτ dτ

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2
Série de Fourier
u re iθ =
bn(r)e inθ , où bn(r) = 1
2π
2π
d’où
n∈Z
0
u re iτ e −inτ dτ

❖ Plan
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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2
Série de Fourier
u re iθ =
bn(r)e inθ , où bn(r) = 1
2π
2π
d’où
n∈Z
0
u re iτ e −inτ dτ

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2
Série de Fourier
u re iθ =
bn(r)e inθ , où bn(r) = 1
2π
2π
d’où
n∈Z
a0 = 1
2π
2π
0
0
u re iτ e −inτ dτ
u re iτ e −inτ dτ

❖ Plan
ESPACES DE FONCTIONS
HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2
Série de Fourier
u re iθ =
bn(r)e inθ , où bn(r) = 1
2π
2π
d’où
n∈Z
a0 = 1
2π
2π 0
an = 1
2π
π
0
0
u re iτ e −inτ dτ
u re iτ r −n e −inτ dτ
u re iτ e −inτ dτ

❖ Plan
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HOLOMORPHES
DEUX PRINCIPES
EQUATION DE LAPLACE
❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
n∈N
anz n = 1
2
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
b0(r) = a0, bn(r) = rnan 2 , n ≥ 1, bn(r) = r−na−n , n ≤ −1
2
Série de Fourier
u re iθ =
bn(r)e inθ , où bn(r) = 1
2π
2π
n∈Z
d’où
a0 = 1
2π
2π 0
an = 1
2π
π
0
u re iτ e −inτ dτ
u re iτ r −n e −inτ dτ = 1
π
0
u re iτ e −inτ dτ
2π
u re iτ re iτ−n dτ
0

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Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
d’où
a0 = 1
2π
2π 0
an = 1
2π
π
u = Reg = Re
0
n∈N
u re iτ e −inτ dτ
anz n = 1
2
u re iτ r −n e −inτ dτ = 1
π
et par conséquent, pour |z| < r,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
2π
0
u re iτ re iτ −n dτ

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● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
d’où
a0 = 1
2π
2π 0
an = 1
2π
π
u = Reg = Re
0
n∈N
u re iτ e −inτ dτ
anz n = 1
2
u re iτ r −n e −inτ dτ = 1
π
et par conséquent, pour |z| < r,
g(z)
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
2π
0
u re iτ re iτ −n dτ

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● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
d’où
a0 = 1
2π
2π 0
an = 1
2π
π
u = Reg = Re
0
n∈N
u re iτ e −inτ dτ
anz n = 1
2
u re iτ r −n e −inτ dτ = 1
π
et par conséquent, pour |z| < r,
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
2π
g(z) = a0 +
anz n
n≥1
0
u re iτ re iτ −n dτ

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Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
d’où
a0 = 1
2π
2π 0
an = 1
2π
π
u = Reg = Re
0
n∈N
u re iτ e −inτ dτ
anz n = 1
2
u re iτ r −n e −inτ dτ = 1
π
et par conséquent, pour |z| < r,
g(z) = 1
2π
2π
0
u re iτ e −inτ dτ+ 1
π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
n∈N
(anz n + an¯z n ),
2π
0
z n
2π
n≥1
u re iτ re iτ −n dτ
0
u re iτ re iτ −n dτ

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● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
d’où
a0 = 1
2π
2π 0
an = 1
2π
π
u = Reg = Re
0
n∈N
u re iτ e −inτ dτ
anz n = 1
2
u re iτ r −n e −inτ dτ = 1
π
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n∈N
(anz n + an¯z n ),
2π
et par conséquent, pour |z| < r,
g(z) = 1
2π
u
2π
re iτ
⎛
⎝1 + 2
0
0
n≥1
u re iτ re iτ −n dτ
z
re iτ
⎞
n ⎠dτ

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● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
d’où
a0 = 1
2π
2π 0
an = 1
2π
π
u = Reg = Re
0
n∈N
u re iτ e −inτ dτ
anz n = 1
2
u re iτ r −n e −inτ dτ = 1
π
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n∈N
(anz n + an¯z n ),
2π
et par conséquent, pour |z| < r,
g(z) = 1
2π
u
2π
re iτ reiτ + z
reiτ − z dτ,
0
0
u re iτ re iτ −n dτ

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Les fonctions harmoniques
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Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
g(z) = 1
2π
n∈N
anz n = 1
2
2π
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0
n∈N
(anz n + an¯z n ),
u re iτ re iτ + z
re iτ − z dτ,
u(z)

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Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
n∈N
anz n = 1
2
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n∈N
(anz n + an¯z n ),
g(z) = 1
2π
u
2π 0
re iτ reiτ + z
reiτ − z dτ,
u(z) = 1
2π Re
2π
u
0
re iτ reiτ + z re−iτ − ¯z
|reiτ − z| 2 dτ

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● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
n∈N
g(z) = 1
2π
2π 0
u(z) = 1
2π
2π
0
anz n = 1
2
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(anz n + an¯z n ),
u re iτ re iτ + z
re iτ − z dτ,
u re iτ r2 − |z| 2
|reiτ 2 dτ
− z|

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Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
g(z) = 1
2π
u(z)= 1
2π
n∈N
anz n = 1
2
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(anz n + an¯z n ),
2π
u
0
re iτ reiτ + z
reiτ − z dτ,
2π
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
0

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
● Fonctions harmoniques dans un disque
Soit u harmonique dans le disque Bρ,
u = Reg = Re
g(z) = 1
2π
u(z)= 1
2π
n∈N
anz n = 1
2
2π
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0
2π
0
n∈N
(anz n + an¯z n ),
u re iτ re iτ + z
re iτ − z dτ,
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
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0
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
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0
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,
on cherche v harmonique dans Ω, telle que v |∂Ω = g.

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
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0
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,
on cherche v harmonique dans Ω, telle que v |∂Ω = g.
∃f conforme : D → Ω,

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
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0
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,
on cherche v harmonique dans Ω, telle que v |∂Ω = g.
∃f conforme : D → Ω, elle se prolonge : ¯ D → ¯ Ω. avec
f(∂D) = ∂Ω.

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
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0
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,
on cherche v harmonique dans Ω, telle que v |∂Ω = g.
∃f conforme : D → Ω, elle se prolonge : ¯ D → ¯ Ω. avec
f(∂D) = ∂Ω.
noyau de Poisson=⇒ u harmonique dans D vérifiant
u |∂D = g ◦ f |∂D,

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
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0
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,
on cherche v harmonique dans Ω, telle que v |∂Ω = g.
∃f conforme : D → Ω, elle se prolonge : ¯ D → ¯ Ω. avec
f(∂D) = ∂Ω.
noyau de Poisson=⇒ u harmonique dans D vérifiant
u |∂D = g ◦ f |∂D,
v(ζ)

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
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u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,
on cherche v harmonique dans Ω, telle que v |∂Ω = g.
∃f conforme : D → Ω, elle se prolonge : ¯ D → ¯ Ω. avec
f(∂D) = ∂Ω.
noyau de Poisson=⇒ u harmonique dans D vérifiant
u |∂D = g ◦ f |∂D,
v(ζ) = u ◦ f −1 (ζ)

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
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0
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,
on cherche v harmonique dans Ω, telle que v |∂Ω = g.
∃f conforme : D → Ω, elle se prolonge : ¯ D → ¯ Ω. avec
f(∂D) = ∂Ω.
noyau de Poisson=⇒ u harmonique dans D vérifiant
u |∂D = g ◦ f |∂D,
v(ζ) = u ◦ f −1 (ζ) = 1
2π
2π
g ◦ f e iτ P1(τ; f −1 (ζ)) dτ.
0

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❖ Fonctions harmoniques
Les fonctions harmoniques
u(z)= 1
2π
2π
Fonctions de variable complexe Transformation conforme - slide#8
0
u re iτ Pr(τ; z) dτ.
Pr = r2 − |z| 2
|reiτ 2 : noyau de Poisson
− z|
● Problème de Dirichlet : on donne g continue sur ∂Ω,
on cherche v harmonique dans Ω, telle que v |∂Ω = g.
∃f conforme : D → Ω, elle se prolonge : ¯ D → ¯ Ω. avec
f(∂D) = ∂Ω.
noyau de Poisson=⇒ u harmonique dans D vérifiant
u |∂D = g ◦ f |∂D,
v(ζ) = u ◦ f −1 (ζ) = 1
2π
2π
0
g ◦ f e iτ P1(τ; f −1 (ζ)) dτ.
● Si on connaît la transformation conforme f on a donc trouvé
une formule qui fournit la solution explicite du problème de
Dirichlet dans un ouvert simplement connexe.