Généralisation de la décomposition de Hoeffding-Sobol ... - JdS'2012

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in expressing the output of a model as an orthogonal sum of increasing dimension functions. Based on the global variance decomposition, this index allows for measuring the contribution of a group of inputs into the model. However, when input variables are non independent, the use of this quantity can lead to a bad interpretation of the sensitivity. To remedy to it, we give an exact and unambiguous generalized decomposition definition for correlated variables. Under suitable conditions, we show that the output is equal to an exact hierarchically orthogonal sum of increasing dimension functions. This decomposition leads to the construction of generalized sensitivity indices well suited to perform global sensitivity analysis when the incomes are correlated. We also propose a method to estimate generalized sensitivity indices, and give some numerical results. Keywords. Sensitivity analysis, correlated variables, ANOVA decomposition, Sobol indices. Résumé Nous considérons ici Y , la sortie d’un modèle déterministe η. Y est un scalaire réel et s’obtient à partir du vecteur aléatoire X ∈ R p par la relation: Y = η(X) Nous supposons que X admet une distribution PX absolument continue par rapport à ν, une mesure de référence donnée. On note la densité associée pX = dPX . Nous dν supposerons que η ∈ L2 R (Rp , B(Rp ), PX). Le produit scalaire sur L2 R (Rp , B(Rp ), PX) est 〈h1, h2〉 = h1(x)h2(x)pXdν(x) = E(h1(X)h2(X)), ∀ h1, h2 ∈ L 2 R(R p , B(R p ), PX). Dans le cas où PX = PX1 ⊗ · · · ⊗ PXp, c’est-à-dire lorsque les variables Xi sont indépendantes, la décomposition ANOVA fonctionnelle classique donnée dans Sobol (1993) est de la forme η(X) = η0 + = p ηi(Xi) + i=1 u⊆{1···p} 1≤i
L’expression (1) existe et est unique sous l’hypothèse supplémentaire d’orthogonalité des termes de la décomposition, c’est-à-dire si ηu(xu)ηv(xv)dPX = E(ηu(Xu)ηv(Xv)) = 0, ∀ u, v ⊆ {1 · · · p}, u = v. Ainsi, la variance globale V (Y ) de Y peut être décomposée comme V (Y ) = u V (ηu(Xu)). Remarquons que chaque terme ηu peut être calculé explicitement à partir d’espérances conditionnelles. On en déduit que l’indice de Sobol pour un groupe de variables Xu est de la forme V (ηu) Su = V (Y ) = V [E(Y/Xu)] − v⊂u V [E(Y/Xv)] . (2) V (Y ) Néanmoins, cet indice, et la plupart des méthodes utilisées pour l’estimer reposent sur l’hypothèse d’indépendance des entrées, ce qui semble irréaliste pour beaucoup de modèles étudiés. Par conséquent, nous proposons d’étudier maintenant le cas de non indépendance des variables d’entrée. On suppose que ν, la mesure de référence, est un produit tensoriel quelconque de mesures unidimensionnelles, permettant ainsi de ne pas se limiter qu’à la mesure de Lebesgue. Notre l’hypothèse principale est la minoration de la densité jointe des entrées par le produit des densités marginales obtenues pour n’importe quelle partitionnement des variables en deux groupes (à une constante près) ν(dx) = ν1(dx1) ⊗ · · · ⊗ νp(dxp) ∃ 0 < M ≤ 1, ∀ u ⊆ {1, · · · , p}, pX ≥ M · pXupX u c ν-a.e., où u c est le complémentaire de u, et pXu est la densité marginale de Xu. On présentera des exemples de distributions satisfaisant ces conditions pour des modèles à p dimensions, et une série d’exemples avec copules pour des modèles à 2 variables. Sous cette hypothèse, nous donnons une généralisation de la décomposition fonctionnelle ANOVA. Ce travail, inspiré par Stone (1994) et par Hooker (2007), consiste à décomposer la sortie du modèle en une somme de fonctions de dimensions croissantes, comme celle donnée en (1). Néanmoins, l’existence et l’unicité sont cette fois assurées si l’on exige l’orthogonalité hiérarchique des composantes, définie de la manière suivante: ηu(xu)ηv(xv)dPX = E(ηu(Xu)ηv(Xv)) = 0 ∀ u, v ⊆ {1 · · · p}, v ⊂ u. Cette nouvelle décomposition conduit à une formule de désagrégation de la variance de Y . On en déduit donc des indices de sensibilité généralisés qui permettent de mesurer la contribution d’un ensemble Xu: 3
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