Généralisation de la décomposition de Hoeffding-Sobol ... - JdS'2012

Généralisation de la décomposition de
Hoeffding-Sobol pour variables
corrélées-Application à l’analyse de sensibilité
Gaëlle Chastaing 1 & Fabrice Gamboa 2 & Clémentine Prieur 3
1 LJK/MOISE, 51 rue des mathématiques, BP 53 38041 Grenoble Cedex 09,
gaelle.chastaing@imag.fr
2 Université Paul Sabatier, IMT-EPS, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex
09, fabrice.gamboa@univ-tlse.fr
3 LJK/MOISE, 51 rue des mathématiques, BP 53 38041 Grenoble Cedex 09,
clementine.prieur@imag.fr
Résumé. L’analyse de sensibilité permet d’étudier la variabilité d’une sortie de
modèle en fonction des différentes sources de variation de ses paramètres d’entrée. L’analyse
de sensibilité globale a pour objectif d’étudier un critère global de variabilité par le biais
de la distribution jointe des variables de sortie et d’entrée.
Sous l’hypothèse d’indépendance des paramètres d’entrée, l’indice de Sobol est le plus
fréquemment utilisé. Sa construction se base sur la décomposition ANOVA fonctionnelle
de la sortie d’un modèle. Cette décomposition, aussi appelée la décomposition de
Hoeffding-Sobol, consiste à écrire la sortie d’un modèle comme la somme orthogonale de
fonctions de dimensions croissantes. Basé sur la décomposition de la variance globale, cet
indice permet ainsi de mesurer la contribution d’un groupe de variables dans le modèle.
Cependant, lorsque les variables sont corrélées, l’utilisation de cet indice peut mener à de
mauvaises interprétations de sensibilité. Pour éviter cela, nous proposons de généraliser
cette décomposition au cas de variables d’entrée corrélées. Sous certaines hypothèses, nous
montrons que la sortie du modèle s’exprime comme une unique somme hiérarchiquement
orthogonale de fonctions de dimensions croissantes. De cette décomposition, il découle la
construction d’indices généralisés qui permettent de mesurer l’influence d’un groupe de
variables dans le modèle en tenant compte de leur corrélation. Nous proposons aussi une
méthode d’estimation de ces nouveaux indices, et présentons des résultats numériques.
Mots-clés. Analyse de sensibilité, variables corrélées, décomposition ANOVA, indices
de Sobol.
Abstract. Sensitivity analysis is the study of how the variation in the output can
be apportioned to different sources of variation in the inputs of a model. The global
sensitivity analysis aims at studying a global variability criteria based on the joint distribution
of the output-input variables. Under the hypothesis of incomes’ independence,
the most usual quantification is the Sobol index. It is built on the functional ANOVA
decomposition. This decomposition, also called Hoeffding-Sobol decomposition, consists
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in expressing the output of a model as an orthogonal sum of increasing dimension functions.
Based on the global variance decomposition, this index allows for measuring the
contribution of a group of inputs into the model. However, when input variables are non
independent, the use of this quantity can lead to a bad interpretation of the sensitivity.
To remedy to it, we give an exact and unambiguous generalized decomposition definition
for correlated variables. Under suitable conditions, we show that the output is equal to
an exact hierarchically orthogonal sum of increasing dimension functions. This decomposition
leads to the construction of generalized sensitivity indices well suited to perform
global sensitivity analysis when the incomes are correlated. We also propose a method to
estimate generalized sensitivity indices, and give some numerical results.
Keywords. Sensitivity analysis, correlated variables, ANOVA decomposition, Sobol
indices.
Résumé
Nous considérons ici Y , la sortie d’un modèle déterministe η. Y est un scalaire réel et
s’obtient à partir du vecteur aléatoire X ∈ R p par la relation:
Y = η(X)
Nous supposons que X admet une distribution PX absolument continue par rapport
à ν, une mesure de référence donnée. On note la densité associée pX = dPX . Nous
dν
supposerons que η ∈ L2 R (Rp , B(Rp ), PX). Le produit scalaire sur L2 R (Rp , B(Rp ), PX) est
〈h1, h2〉 =
h1(x)h2(x)pXdν(x) = E(h1(X)h2(X)), ∀ h1, h2 ∈ L 2 R(R p , B(R p ), PX).
Dans le cas où PX = PX1 ⊗ · · · ⊗ PXp, c’est-à-dire lorsque les variables Xi sont
indépendantes, la décomposition ANOVA fonctionnelle classique donnée dans Sobol (1993)
est de la forme
η(X) = η0 +
=
p
ηi(Xi) +
i=1
u⊆{1···p}
1≤i

L’expression (1) existe et est unique sous l’hypothèse supplémentaire d’orthogonalité
des termes de la décomposition, c’est-à-dire si
ηu(xu)ηv(xv)dPX = E(ηu(Xu)ηv(Xv)) = 0, ∀ u, v ⊆ {1 · · · p}, u = v.
Ainsi, la variance globale V (Y ) de Y peut être décomposée comme V (Y ) =
u V (ηu(Xu)).
Remarquons que chaque terme ηu peut être calculé explicitement à partir d’espérances
conditionnelles. On en déduit que l’indice de Sobol pour un groupe de variables Xu est
de la forme
V (ηu)
Su =
V (Y ) = V [E(Y/Xu)] −
v⊂u V [E(Y/Xv)]
. (2)
V (Y )
Néanmoins, cet indice, et la plupart des méthodes utilisées pour l’estimer reposent sur
l’hypothèse d’indépendance des entrées, ce qui semble irréaliste pour beaucoup de modèles
étudiés. Par conséquent, nous proposons d’étudier maintenant le cas de non indépendance
des variables d’entrée.
On suppose que ν, la mesure de référence, est un produit tensoriel quelconque de mesures
unidimensionnelles, permettant ainsi de ne pas se limiter qu’à la mesure de Lebesgue.
Notre l’hypothèse principale est la minoration de la densité jointe des entrées par le produit
des densités marginales obtenues pour n’importe quelle partitionnement des variables en
deux groupes (à une constante près)
ν(dx) = ν1(dx1) ⊗ · · · ⊗ νp(dxp)
∃ 0 < M ≤ 1, ∀ u ⊆ {1, · · · , p}, pX ≥ M · pXupX u c
ν-a.e.,
où u c est le complémentaire de u, et pXu est la densité marginale de Xu.
On présentera des exemples de distributions satisfaisant ces conditions pour des modèles
à p dimensions, et une série d’exemples avec copules pour des modèles à 2 variables.
Sous cette hypothèse, nous donnons une généralisation de la décomposition fonctionnelle
ANOVA. Ce travail, inspiré par Stone (1994) et par Hooker (2007), consiste à
décomposer la sortie du modèle en une somme de fonctions de dimensions croissantes,
comme celle donnée en (1). Néanmoins, l’existence et l’unicité sont cette fois assurées si
l’on exige l’orthogonalité hiérarchique des composantes, définie de la manière suivante:
ηu(xu)ηv(xv)dPX = E(ηu(Xu)ηv(Xv)) = 0 ∀ u, v ⊆ {1 · · · p}, v ⊂ u.
Cette nouvelle décomposition conduit à une formule de désagrégation de la variance
de Y . On en déduit donc des indices de sensibilité généralisés qui permettent de mesurer
la contribution d’un ensemble Xu:
3

On a alors
V (ηu(Xu)) +
Su =
v=∅ Cov(ηu(Xu), ηv(Xv))
u∩v=u,v
V (Y )
. (3)
u∈{1,··· ,p}\{∅}
Su = 1.
Dans ces nouveaux indices, les termes de covariance permettent de prendre en compte
la corrélation éventuelle des variables, en distinguant la contribution à part entière d’une
variable (grâce au terme V (ηu(Xu))), et sa contribution cachée dans une variable corrélée
(grâce à Cov(ηu(Xu), ηv(Xv)), pour v = ∅ et u ∩ v = u, v).
Aussi, cet indice généralise bien celui de Sobol, puisqu’en cas d’indépendance des entrées,
les termes de covariance sont réduits à 0, et l’indice coïncide exactement avec celui de
Sobol.
Pour estimer ces indices, nous adopterons l’approche intuitive, qui consiste à estimer
les termes de la décomposition, puis à estimer empiriquement leurs covariances. Ici, nous
nous concentrerons sur l’estimation d’indices pour des modèles de paires indépendantes
de variables corrélées. Supposons qu’on dispose d’un tel modèle à p = 2k variables. On
note les groupes de variables corrélées de la façon suivante:
X = (X1, X2,
· · · , X2k−1, X2k)
X (1)
X (k)
Le principe est d’abord d’appliquer la décomposition de Sobol classique sur les groupes
de variables X (i) , ce qui livre
η(X) = η0 + η1(X (1) ) + · · · + ηk(X (k) ) +
où X (u) = (X (u1) , · · · , X (ut) ) si u = (u1, · · · , ut).
k
ηu(X (u) ), (4)
Ensuite, pour chaque terme de premier ordre (ηi)i=1,··· ,k, nous utilisons la décomposition
généralisée, puis les indices de sensibilité généralisés sur cette nouvelle décomposition. On
obtient ainsi des indices qui permettent de mesurer l’influence des variables corrélées dans
le modèle. Les résultats théoriques seront illustrés sur des exemples numériques.
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|u|=2

Bibliographie
[1] Chastaing, G. et Gamboa, F. et Prieur, C. (2011),Generalized Hoeffding-Sobol Decomposition
for Dependent Variables- Application to Sensitivity Analysis, http://hal.archivesouvertes.fr/hal-00649404/fr/.
[2] Sobol, I.M. (1993), Sensitivity estimates for nonlinear mathematical models, Wiley
Ed., 1, 407–414.
[3] Stone, C.J. (1994), The use of Polynomial Splines and their tensor products in multivariate
function estimation, The Annals of Statistics, 22, 118–171.
[4] Hooker, G. (2007), Generalized functional ANOVA diagnostics for high-dimensional
functions of dependent variables, Journal of Computational and Graphical Statistics, 16,
709–732.
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