Généralisation de la décomposition de Hoeffding-Sobol ... - JdS'2012

On a alors
V (ηu(Xu)) +
Su =
v=∅ Cov(ηu(Xu), ηv(Xv))
u∩v=u,v
V (Y )
. (3)
u∈{1,··· ,p}\{∅}
Su = 1.
Dans ces nouveaux indices, les termes de covariance permettent de prendre en compte
la corrélation éventuelle des variables, en distinguant la contribution à part entière d’une
variable (grâce au terme V (ηu(Xu))), et sa contribution cachée dans une variable corrélée
(grâce à Cov(ηu(Xu), ηv(Xv)), pour v = ∅ et u ∩ v = u, v).
Aussi, cet indice généralise bien celui de Sobol, puisqu’en cas d’indépendance des entrées,
les termes de covariance sont réduits à 0, et l’indice coïncide exactement avec celui de
Sobol.
Pour estimer ces indices, nous adopterons l’approche intuitive, qui consiste à estimer
les termes de la décomposition, puis à estimer empiriquement leurs covariances. Ici, nous
nous concentrerons sur l’estimation d’indices pour des modèles de paires indépendantes
de variables corrélées. Supposons qu’on dispose d’un tel modèle à p = 2k variables. On
note les groupes de variables corrélées de la façon suivante:
X = (X1, X2,
· · · , X2k−1, X2k)
X (1)
X (k)
Le principe est d’abord d’appliquer la décomposition de Sobol classique sur les groupes
de variables X (i) , ce qui livre
η(X) = η0 + η1(X (1) ) + · · · + ηk(X (k) ) +
où X (u) = (X (u1) , · · · , X (ut) ) si u = (u1, · · · , ut).
k
ηu(X (u) ), (4)
Ensuite, pour chaque terme de premier ordre (ηi)i=1,··· ,k, nous utilisons la décomposition
généralisée, puis les indices de sensibilité généralisés sur cette nouvelle décomposition. On
obtient ainsi des indices qui permettent de mesurer l’influence des variables corrélées dans
le modèle. Les résultats théoriques seront illustrés sur des exemples numériques.
4
|u|=2