Tests de comparaison des fonctions d'incidence cumulée pour des ...

Age
t 0
Temps
Figure 1: Diagramme de Lexis pour les observations des durées de vie sous biais de
longueur
et est égale à T In = ∧kX In
k . On note de plus δIn la v.a.r. qui vaut k si la mort est due à
la cause Dk, pour k = 1, . . . , K. Notons
¯G(t) = P (T In > t).
la fonction de survie de la v.a.r. T In .
Sans hypothèse d’indépendance, il est bien connu que les fonctions de répartitions
(f.d.r.) des v.a.r. XIn 1 , . . . , XIn K ne sont pas estimables (Cf. par exemple Benichou et Gail
1990). On peut seulement estimer les fonctions d’incidence cumulée (f.i.c.) définies
pour tout k = 1, . . . , K, par :
Gk(t) = P (T In ≤ t, δ In = k).
Dans la pratique, il n’est pas rare que l’observation que l’on fasse des durées de vie
soit soumise à biais de longueur. C’est à dire que l’on constitue l’échantillon des durées
de vies observées en ne suivant que les individus en vie à une date t0 donnée, comme le
montre le diagramme de Lexis de la figure 1. On note T la v.a.r. modélisant la durée de
vie d’un individu suivi et δ sa cause de mort. Il est alors facile de voir que la loi de T
n’est pas la même que celle de T In . On parle alors de biais de longueur car plus sa durée
de vie est “longue” plus la probabilité pour l’individu d’être dans l’échantillon est grande.
Les fonctions d’incidence cumulée des durées de vie observées (donc sous biais de
longueur) sont alors notées
Fk(t) = P (T ≤ t, δ = k).
Les fonctions taux de hasard spécifique sont définies en tout t > 0 par
P(t ≤ T < t + h, δ = k|T ≥ t)
λk(t) = lim
h→0
h
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