Tests de comparaison des fonctions d'incidence cumulée pour des ...

une mesure de l’écart à l’hypothèse nulle, en ayant en vue l’hypothèse alternative H1,
peut être
sup Φ(t).
t∈[0,∞]
Si l’hypothèse alternative considérée est H2, il est alors naturel de plutôt considérer comme
mesure
sup |Φ(t)|.
t∈[0,∞]
On obtient aisément une famille de statistiques de test (grâce au choix des fonctions π)
en estimant les mesures définies ci-dessus. Ainsi, en notant ˆπ l’estimation de la fonction
de poids,
Nk(t) =
Y (t) =
n
i=1
n
i=1
I({T ∗
i ≤ t, δ ∗ i = k}), k = 1, 2
I({T ∗
i ≥ t}) et
J(t) = I({Y (t) > 0})
une estimation de la fonction Φ est donnée, pour tout t > 0, par :
ˆΦ(t) =
=
t
0
t
0
ˆπ(u)d[ ˆ Λ1 − ˆ Λ2](u)
ˆπ(u)J(u)
Y (u) d[N1 − N2](u).
Nous montrons, sous H0, la convergence faible du processus √ n ˆ Φ vers un processus
gaussien centré dont nous déterminons la fonction de covariance. Un choix judicieux de la
fonction de poids π permet en particulier d’obtenir un test asymptotiquement libre. Dans
un tel cas, nous obtenons, en effet, les convergences faibles suivantes, quand n → +∞ :
et
T1 = √ n sup ˆΦ(t)
t∈[0,∞]
D → sup W (t)
t∈[0,1]
T2 = √ n sup |
t∈[0,∞]
ˆ Φ(t)| D → sup |W (t)|
t∈[0,1]
où W est le mouvement brownien standard.
Nous appliquons ensuite nos tests à un jeu de données, classique en risques concurrents,
fourni par Bienen et van de Walle (1991). Nous présentons enfin des simulations
permettant d’évaluer empiriquement la puissance de nos tests.
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