Tests de comparaison des fonctions d'incidence cumulée pour des ...

Tests de comparaison des fonctions d’incidence
cumulée pour des risques concurrents sous biais
de longueur
Jean-Yves Dauxois 1 & Agathe Guilloux 2
1 CREST-ENSAI, Campus de Ker-Lann,
BP 37203, 35 172 Bruz.
2 Laboratoire de mathématiques, CNRS UMR 8628,
Université Paris-Sud - Bât 425, 91405 Orsay Cedex,
Résumé
L’objet de ce travail est de construire des tests de comparaison entre les différentes fonctions
d’incidence cumulée pour un échantillon de durées de vie à risques concurrents et
sous biais de longueur. Nous proposons des statistiques de test et nous donnons leur
comportement asymptotique. Nous appliquons nos tests à un jeu de données réelles et
effectuons des simulations pour évaluer empiriquement la puissance de nos tests.
Mots-clés : biais de longueur, risques compétitifs, fonctions d’incidence cumulée.
Abstract
The aim of this work is to derive a family of tests for comparing the cumulative incidence
functions in a competing risks setup under length bias. Asymptotic results are proved
for our test statistics. These tests are applied to a well-known dataset in this area and a
simulation study is done.
Keywords : Length biased, Competing risks, Cumulative Incidence Function.
1 Risques concurrents et biais de longueur
Supposons qu’un individu (ou une machine) soit soumis(e) à K ≥ 2 causes de mort (de
panne) notées D1, . . . , DK. On suppose que le décès (ou la panne) n’est dû, à chaque fois,
qu’à une seule de ces causes (on parle de risques concurrents) mais que ces dernières
ne sont pas nécessairement indépendantes. Une dépendance entre les causes apparaît par
exemple dans le cas du diabète. Si le principal intérêt est la modélisation du décès dû
au diabète, cette cause de mort est en concurrence avec la mort des suites d’une maladie
cardiovasculaire dont le risque est nettement augmenté pour les sujets atteints du diabète
en raison d’effets indésirables associés au traitement contre le diabète...
Notons donc XIn k , pour k = 1, . . . , K, les variables aléatoires réelles (v.a.r.), non
indépendantes, modélisant l’âge du décès d’un patient dans la situation hypothétique où
la seule cause de mort Dk serait présente. La durée de vie du patient est alors notée T In
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Age
t 0
Temps
Figure 1: Diagramme de Lexis pour les observations des durées de vie sous biais de
longueur
et est égale à T In = ∧kX In
k . On note de plus δIn la v.a.r. qui vaut k si la mort est due à
la cause Dk, pour k = 1, . . . , K. Notons
¯G(t) = P (T In > t).
la fonction de survie de la v.a.r. T In .
Sans hypothèse d’indépendance, il est bien connu que les fonctions de répartitions
(f.d.r.) des v.a.r. XIn 1 , . . . , XIn K ne sont pas estimables (Cf. par exemple Benichou et Gail
1990). On peut seulement estimer les fonctions d’incidence cumulée (f.i.c.) définies
pour tout k = 1, . . . , K, par :
Gk(t) = P (T In ≤ t, δ In = k).
Dans la pratique, il n’est pas rare que l’observation que l’on fasse des durées de vie
soit soumise à biais de longueur. C’est à dire que l’on constitue l’échantillon des durées
de vies observées en ne suivant que les individus en vie à une date t0 donnée, comme le
montre le diagramme de Lexis de la figure 1. On note T la v.a.r. modélisant la durée de
vie d’un individu suivi et δ sa cause de mort. Il est alors facile de voir que la loi de T
n’est pas la même que celle de T In . On parle alors de biais de longueur car plus sa durée
de vie est “longue” plus la probabilité pour l’individu d’être dans l’échantillon est grande.
Les fonctions d’incidence cumulée des durées de vie observées (donc sous biais de
longueur) sont alors notées
Fk(t) = P (T ≤ t, δ = k).
Les fonctions taux de hasard spécifique sont définies en tout t > 0 par
P(t ≤ T < t + h, δ = k|T ≥ t)
λk(t) = lim
h→0
h
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et les fonctions taux de hasard spécifique cumulé par :
pour k = 1, . . . , K.
Λk(t) =
t
0
λk(u)du,
On suppose enfin, que la v.a. T de la durée de vie échantillonnée est soumise à une
censure aléatoire à droite du type par exemple “perte de suivi”. On note C la v.a.r.
modélisant cette censure, supposée indépendante de T .
En résumé, nous supposons que l’on observe n durées de vie sous K risques concurrents
et sous biais de longueur, que l’on note
T ∗
i = Ti ∧ Ci
δ ∗ i = δiI({Ti ≤ Ci}) ,
pour i = 1, . . . , n.
2 Tests de comparaison des f.i.c.
L’objet de ce travail est de proposer un test de comparaison entre les fonctions d’incidence
cumulée pour des risques concurrents et sous biais de longueur. Plus particulièrement, on
s’intéresse au test de l’hypothèse nulle
H0 : G1(t) = G2(t),
pour tout t > 0, contre l’hypothèse alternative
H1 : G1(t) ≥ G2(t),
pour tout t > 0, ce qui revient à dire que le risque 1 est plus sérieux que le risque 2. On
peut aussi considérer l’hypothèse alternative
H2 : ∃t > 0 tel que G1(t) = G2(t).
En nous inspirant du travail effectué par Aly, Kochar & McKeague (1994) mais sans
biais de longueur, nous montrons qu’en notant π une fonction de poids estimable, et Φ la
fonction définie en tout t > 0 par :
Φ(t) =
t
0
π(u)d[Λ1 − Λ2](u),
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une mesure de l’écart à l’hypothèse nulle, en ayant en vue l’hypothèse alternative H1,
peut être
sup Φ(t).
t∈[0,∞]
Si l’hypothèse alternative considérée est H2, il est alors naturel de plutôt considérer comme
mesure
sup |Φ(t)|.
t∈[0,∞]
On obtient aisément une famille de statistiques de test (grâce au choix des fonctions π)
en estimant les mesures définies ci-dessus. Ainsi, en notant ˆπ l’estimation de la fonction
de poids,
Nk(t) =
Y (t) =
n
i=1
n
i=1
I({T ∗
i ≤ t, δ ∗ i = k}), k = 1, 2
I({T ∗
i ≥ t}) et
J(t) = I({Y (t) > 0})
une estimation de la fonction Φ est donnée, pour tout t > 0, par :
ˆΦ(t) =
=
t
0
t
0
ˆπ(u)d[ ˆ Λ1 − ˆ Λ2](u)
ˆπ(u)J(u)
Y (u) d[N1 − N2](u).
Nous montrons, sous H0, la convergence faible du processus √ n ˆ Φ vers un processus
gaussien centré dont nous déterminons la fonction de covariance. Un choix judicieux de la
fonction de poids π permet en particulier d’obtenir un test asymptotiquement libre. Dans
un tel cas, nous obtenons, en effet, les convergences faibles suivantes, quand n → +∞ :
et
T1 = √ n sup ˆΦ(t)
t∈[0,∞]
D → sup W (t)
t∈[0,1]
T2 = √ n sup |
t∈[0,∞]
ˆ Φ(t)| D → sup |W (t)|
t∈[0,1]
où W est le mouvement brownien standard.
Nous appliquons ensuite nos tests à un jeu de données, classique en risques concurrents,
fourni par Bienen et van de Walle (1991). Nous présentons enfin des simulations
permettant d’évaluer empiriquement la puissance de nos tests.
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Bibliographie
[1] Aly, E.A.A., Kochar, S.C. & McKeague, I.W. (1994), Some Tests for Comparing Cumulative
Incidence Functions and Cause-Specific Hazard Rates, J. Amer. Statist. Assoc.,
89, 994-999.
[2] Andersen, P.K., Borgan, O., Gill, R.D. and Keiding, N. (1993), Statistical models based
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[3] Asgharian M., M’Lan, C.E. & Wolfson, D.B. (2002), Length-biased sampling with
right censoring : an unconditional approach, J. Amer. Statist. Assoc. 97, 201-209.
[4] Bienen, H.S. & van de Walle, N. (1991), Time of power. Stanford University Press.
[5] Benichou, J. & Gail, M.H. (1990). Estimates of absolute cause-specific risk in cohort
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[6] Gray, R.J. (1988) A class of k-sample tests for Comparative the Cumulative Incidence
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