Solutions auto-similaires du probl`eme de Riemann pour une loi de ...

proposées pour des cas différents dans [5],[12],[11]. En vertu de l’unicité toutes ces formules
sont équivalentes pour le cas du problème de Riemann avec une fonction de flux f régulière
convexe.
Les démonstrations détaillées d’une partie des assertions de cette note sont présentées
dans [1].
On fixe ε > 0 .
L e m m e 1. Toute solution U(ξ) du problème (3) est croissante sur IR .
Lapreuve([1])sefaitenraisonnantparl’absurdedansunvoisinaged’unpointd’extremum
de la solution.
Par suite, la fonction Ξ(u) = [U(ξ)] −1 est définie p.p. sur [u−,u+] et monotone.
L e m m e 2. Soit une fonction U(ξ) une solution du problème (3), alors la fonction
Φ(u) = u U(0) Ξ(v)dv−K sur [u−,u+] est une solution du problème suivant :
⎧
Φ ∈ C[u−,u+] et Φ est convexe
Φ(u) ≤ f(u) sur [u−,u+] et Φ(u±) = f(u±)
(5)
⎪⎨
⎪⎩
ε
f−Φ
∈ Lloc
1 ]u−,u+[
¨Φ(u) ε ≥ f(u)−Φ(u)
(f(u)−Φ(u))
Φ(u)− ¨ ε = 0 f(u)−Φ(u)
(où ˙ signifie d/du dans tout ce qui suit.)
⎫
⎬
⎭
au sens de mesures sur ]u−,u+[
Inversement, soit Φ(u) une solution de (5) , alors la fonction U(ξ) = [ ˙ Φ(u)] −1 ≡
≡ ∂/∂x max (xv −tΦ(v)) est une solution de (3).
u−≤v≤u+
Démonstration. (3) ⇒ (5) On réécrit l’équation (3) sous la forme
(6) εU ′ (ξ) = f(U(ξ))−Φ(U(ξ)),
d’où Φ ∈ C]u−,u+[ et Φ ≤ f . Puisque ˙ Φ(u) = Ξ(u) est une fonction continue p.p.
croissante, alors Φ est convexe. Posons Ω = {u|∃ξ : U(ξ) = u,U ′ (ξ) = 0} . La mesure
de Lebesgue |Ω| est zéro d’après le lemme de Sard et Ω ≡ {u|Φ(u) = f(u)}. Pour tout
u ∈ [u−,u+]\Ω il existe ¨ Φ(u) = ˙ Ξ(u) = 1/U ′ (ξ) > 0 ; ¨ ε Φ(u) = et Φ(u) < f(u);
f(u)−Φ(u)
et comme (f − Φ) ¨ Φ = 0 sur Ω, alors (f − Φ)
Φ− ¨ ε = 0 au sens de mesures sur
f−Φ
]u−,u+[ . Puisque |Ω| = 0 et ¨ Φ ≥ 0, alors ¨ Φ ≥ ε
f−Φ sur ]u−,u+[ au même sens. Par
suite, pour tout segment [a,b] ⊂]u−,u+[ on a b ε
a f(u)−Φ(u) du ≤ ˙ Φ(b+0)− ˙ Φ(a−0) < ∞,
d’où ε
f−Φ
∈ Lloc
1 ]u−,u+[ . L’équation (6) avec U(±∞) = u± impliquent qu’il existe
lim
ξ→±∞ U′ (ξ) = 0 , alors Φ(u±) = f(u±) et Φ ∈ C[u−,u+] .
(5) ⇒ (3) La fonction Ξ(u) := ˙ Φ(u) est croissante, on peut donc définir
U(ξ) = [Ξ(u)] −1 . Maitenant si u 0 /∈ Ω , alors il existe ˙ Ξ(u) = ε
f(u)−Φ(u)
2
> 0 sur un