Sujet1 - Université de Franche-Comté

Licence de mathématiques
Discrétisation des EDP
DS du 17 octobre 2011
Durée : 3h
Documents, calculatrice et téléphones portables sont interdits.
Exercice 1. (10 points)
On veut résoudre numériquement le problème aux limites suivant :
⎧
⎪⎨ −u
⎪⎩
′′ (x) = f(x), 0 < x < 1,
u ′ (0) = u(0),
u ′ (1) = 1,
où f est une fonction continue sur [0, 1].
On choisit N ≥ 1 et on note
h = 1
N + 1 , xi = ih, 0 ≤ i ≤ N + 1.
Université de Franche-Comté
Année 2011/2012
On cherche uh = (ui)0≤i≤N+1, tel que ui approche u(xi) quand h est petit.
1. Rappeler l’expression de la formule de Taylor avec reste intégrale.
2. (a) Montrer que −u ′′ (xi) s’exprime comme combinaison linéaire de u(xi−1),
u(xi), u(xi+1) et d’un terme petit εi, pour 1 ≤ i ≤ N. Majorer |εi|.
(b) Montrer que −u ′′ (x0) s’exprime comme combinaison linéaire de u(x0), u(x1),
u ′ (x0) et d’un terme petit ε0. Majorer |ε0|.
(c) Montrer que −u ′′ (xN+1) s’exprime comme combinaison linéaire de u(xN+1),
u(xN), u ′ (xN+1) et d’un terme petit εN+1. Majorer |εN+1|.
3. En déduire un schéma aux différences finies à trois points permettant de calculer
uh et écrire le schéma précédent comme un système Ahuh = bh, où Ah est une
matrice d’ordre N + 2 et bh est un vecteur de R N+2 .
4. Donner l’ordre de consistance du schéma en norme · ∞.
5. Montrer que :
(a) le système précédent admet une solution unique.
(b) la matrice Ah est monotone. Donner une définition d’une matrice monotone.
6. Montrer que le schéma aux différences Ahuh = bh est stable pour la norme ·∞.
7. Conclure quant à la convergence du schéma et à son ordre de convergence.
1
(1)

Exercice 2. (10 points)
On s’intéresse aux solutions 1-périodiques de l’équation de convexion-diffusion
suivante : ⎧
⎨∂u
∂u
+ V
∂t ∂x
⎩
− d ∂2u = 0, pour x ∈ R, t > 0,
∂x2 (2)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ R,
où u0 est une fonction 1-périodique connue, et où V et d sont des réels strictement
positifs.
Pour approcher ces solutions, on se place sur QT = {(x, t) ∈ [0; 1]×[0; T ]} où T > 0
est supposé donné. On discrétise alors les segments [0; 1] et [0; T ] par des maillages
uniformes de pas respectifs h = 1
1
(N ∈ N donné) et ∆t =
N + 1 P (P ∈ N∗ donné).
Pour tout j = 0, . . . , N + 1 et tout n = 0, . . . , P , on pose xj = j h et tn = n ∆t.
On considère alors le schéma décentré amont suivant, obtenu pour une discrétisation
en espace par la méthode des différences finies
u n+1
j − unj ∆t
+ V un j − u n j−1
h
− d un j−1 − 2u n j + u n j+1
h 2
= 0
1. Ce schéma est-il de type explicite ou implicite en temps ? (justifier)
2. Donner la définition de l’erreur de consistance du schéma notée ε n+1/2
j
0 ≤ j ≤ N et 0 ≤ n ≤ P ).
3. On suppose que la solution u de (2) vérifie u ∈ C 4 ([0; 1] × [0; T ]).
(a) Montrer que pour tout 0 ≤ i ≤ N + 1 et tout 0 ≤ n ≤ P , on a
ε n+1/2
j
= ∆t
2
∂2u ∂t2 (xj, tn) − V h
2
où Cx est une constante que l’on précisera.
∂ 2 u
∂x 2 (xj, tn) + Cx h 2 + o(∆t) + o(h 2 )
(pour
(b) En déduire que l’erreur de consistance est au moins d’ordre un en temps et
en espace.
(c) Montrer que
∂2u ∂t2 = V 2 ∂2u ∂x2 − 2dV ∂3u ∂x3 + d2 ∂4u ∂x4 (d) En déduire une nouvelle expression de ε n+1/2
j
dans QT .
ne faisant intervenir que les
dérivées partielles de u par rapport à x. Sous quelle condition liant V , ∆t
et h obtient-on un schéma d’ordre deux en espace et d’ordre un en temps ?
4. Donner une condition garantissant la stabilité du schéma en norme L ∞ .
En considérant la donnée initiale telle que u 0 j = (−1) j pour 0 ≤ j ≤ N + 1,
montrer que cette condition est aussi nécessaire à la stabilité du schéma.
5. Préciser ce que l’on peut en déduire concernant la convergence du schéma en
norme L ∞ .
2