Sujet1 - Université de Franche-Comté

Exercice 2. (10 points)
On s’intéresse aux solutions 1-périodiques de l’équation de convexion-diffusion
suivante : ⎧
⎨∂u
∂u
+ V
∂t ∂x
⎩
− d ∂2u = 0, pour x ∈ R, t > 0,
∂x2 (2)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ R,
où u0 est une fonction 1-périodique connue, et où V et d sont des réels strictement
positifs.
Pour approcher ces solutions, on se place sur QT = {(x, t) ∈ [0; 1]×[0; T ]} où T > 0
est supposé donné. On discrétise alors les segments [0; 1] et [0; T ] par des maillages
uniformes de pas respectifs h = 1
1
(N ∈ N donné) et ∆t =
N + 1 P (P ∈ N∗ donné).
Pour tout j = 0, . . . , N + 1 et tout n = 0, . . . , P , on pose xj = j h et tn = n ∆t.
On considère alors le schéma décentré amont suivant, obtenu pour une discrétisation
en espace par la méthode des différences finies
u n+1
j − unj ∆t
+ V un j − u n j−1
h
− d un j−1 − 2u n j + u n j+1
h 2
= 0
1. Ce schéma est-il de type explicite ou implicite en temps ? (justifier)
2. Donner la définition de l’erreur de consistance du schéma notée ε n+1/2
j
0 ≤ j ≤ N et 0 ≤ n ≤ P ).
3. On suppose que la solution u de (2) vérifie u ∈ C 4 ([0; 1] × [0; T ]).
(a) Montrer que pour tout 0 ≤ i ≤ N + 1 et tout 0 ≤ n ≤ P , on a
ε n+1/2
j
= ∆t
2
∂2u ∂t2 (xj, tn) − V h
2
où Cx est une constante que l’on précisera.
∂ 2 u
∂x 2 (xj, tn) + Cx h 2 + o(∆t) + o(h 2 )
(pour
(b) En déduire que l’erreur de consistance est au moins d’ordre un en temps et
en espace.
(c) Montrer que
∂2u ∂t2 = V 2 ∂2u ∂x2 − 2dV ∂3u ∂x3 + d2 ∂4u ∂x4 (d) En déduire une nouvelle expression de ε n+1/2
j
dans QT .
ne faisant intervenir que les
dérivées partielles de u par rapport à x. Sous quelle condition liant V , ∆t
et h obtient-on un schéma d’ordre deux en espace et d’ordre un en temps ?
4. Donner une condition garantissant la stabilité du schéma en norme L ∞ .
En considérant la donnée initiale telle que u 0 j = (−1) j pour 0 ≤ j ≤ N + 1,
montrer que cette condition est aussi nécessaire à la stabilité du schéma.
5. Préciser ce que l’on peut en déduire concernant la convergence du schéma en
norme L ∞ .
2