Sujet1 - Université de Franche-Comté
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Licence <strong>de</strong> mathématiques<br />
Discrétisation <strong>de</strong>s EDP<br />
DS du 17 octobre 2011<br />
Durée : 3h<br />
Documents, calculatrice et téléphones portables sont interdits.<br />
Exercice 1. (10 points)<br />
On veut résoudre numériquement le problème aux limites suivant :<br />
⎧<br />
⎪⎨ −u<br />
⎪⎩<br />
′′ (x) = f(x), 0 < x < 1,<br />
u ′ (0) = u(0),<br />
u ′ (1) = 1,<br />
où f est une fonction continue sur [0, 1].<br />
On choisit N ≥ 1 et on note<br />
h = 1<br />
N + 1 , xi = ih, 0 ≤ i ≤ N + 1.<br />
<strong>Université</strong> <strong>de</strong> <strong>Franche</strong>-<strong>Comté</strong><br />
Année 2011/2012<br />
On cherche uh = (ui)0≤i≤N+1, tel que ui approche u(xi) quand h est petit.<br />
1. Rappeler l’expression <strong>de</strong> la formule <strong>de</strong> Taylor avec reste intégrale.<br />
2. (a) Montrer que −u ′′ (xi) s’exprime comme combinaison linéaire <strong>de</strong> u(xi−1),<br />
u(xi), u(xi+1) et d’un terme petit εi, pour 1 ≤ i ≤ N. Majorer |εi|.<br />
(b) Montrer que −u ′′ (x0) s’exprime comme combinaison linéaire <strong>de</strong> u(x0), u(x1),<br />
u ′ (x0) et d’un terme petit ε0. Majorer |ε0|.<br />
(c) Montrer que −u ′′ (xN+1) s’exprime comme combinaison linéaire <strong>de</strong> u(xN+1),<br />
u(xN), u ′ (xN+1) et d’un terme petit εN+1. Majorer |εN+1|.<br />
3. En déduire un schéma aux différences finies à trois points permettant <strong>de</strong> calculer<br />
uh et écrire le schéma précé<strong>de</strong>nt comme un système Ahuh = bh, où Ah est une<br />
matrice d’ordre N + 2 et bh est un vecteur <strong>de</strong> R N+2 .<br />
4. Donner l’ordre <strong>de</strong> consistance du schéma en norme · ∞.<br />
5. Montrer que :<br />
(a) le système précé<strong>de</strong>nt admet une solution unique.<br />
(b) la matrice Ah est monotone. Donner une définition d’une matrice monotone.<br />
6. Montrer que le schéma aux différences Ahuh = bh est stable pour la norme ·∞.<br />
7. Conclure quant à la convergence du schéma et à son ordre <strong>de</strong> convergence.<br />
1<br />
(1)
Exercice 2. (10 points)<br />
On s’intéresse aux solutions 1-périodiques <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> convexion-diffusion<br />
suivante : ⎧<br />
⎨∂u<br />
∂u<br />
+ V<br />
∂t ∂x<br />
⎩<br />
− d ∂2u = 0, pour x ∈ R, t > 0,<br />
∂x2 (2)<br />
u(x, 0) = u0(x), x ∈ R,<br />
où u0 est une fonction 1-périodique connue, et où V et d sont <strong>de</strong>s réels strictement<br />
positifs.<br />
Pour approcher ces solutions, on se place sur QT = {(x, t) ∈ [0; 1]×[0; T ]} où T > 0<br />
est supposé donné. On discrétise alors les segments [0; 1] et [0; T ] par <strong>de</strong>s maillages<br />
uniformes <strong>de</strong> pas respectifs h = 1<br />
1<br />
(N ∈ N donné) et ∆t =<br />
N + 1 P (P ∈ N∗ donné).<br />
Pour tout j = 0, . . . , N + 1 et tout n = 0, . . . , P , on pose xj = j h et tn = n ∆t.<br />
On considère alors le schéma décentré amont suivant, obtenu pour une discrétisation<br />
en espace par la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s différences finies<br />
u n+1<br />
j − unj ∆t<br />
+ V un j − u n j−1<br />
h<br />
− d un j−1 − 2u n j + u n j+1<br />
h 2<br />
= 0<br />
1. Ce schéma est-il <strong>de</strong> type explicite ou implicite en temps ? (justifier)<br />
2. Donner la définition <strong>de</strong> l’erreur <strong>de</strong> consistance du schéma notée ε n+1/2<br />
j<br />
0 ≤ j ≤ N et 0 ≤ n ≤ P ).<br />
3. On suppose que la solution u <strong>de</strong> (2) vérifie u ∈ C 4 ([0; 1] × [0; T ]).<br />
(a) Montrer que pour tout 0 ≤ i ≤ N + 1 et tout 0 ≤ n ≤ P , on a<br />
ε n+1/2<br />
j<br />
= ∆t<br />
2<br />
∂2u ∂t2 (xj, tn) − V h<br />
2<br />
où Cx est une constante que l’on précisera.<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 (xj, tn) + Cx h 2 + o(∆t) + o(h 2 )<br />
(pour<br />
(b) En déduire que l’erreur <strong>de</strong> consistance est au moins d’ordre un en temps et<br />
en espace.<br />
(c) Montrer que<br />
∂2u ∂t2 = V 2 ∂2u ∂x2 − 2dV ∂3u ∂x3 + d2 ∂4u ∂x4 (d) En déduire une nouvelle expression <strong>de</strong> ε n+1/2<br />
j<br />
dans QT .<br />
ne faisant intervenir que les<br />
dérivées partielles <strong>de</strong> u par rapport à x. Sous quelle condition liant V , ∆t<br />
et h obtient-on un schéma d’ordre <strong>de</strong>ux en espace et d’ordre un en temps ?<br />
4. Donner une condition garantissant la stabilité du schéma en norme L ∞ .<br />
En considérant la donnée initiale telle que u 0 j = (−1) j pour 0 ≤ j ≤ N + 1,<br />
montrer que cette condition est aussi nécessaire à la stabilité du schéma.<br />
5. Préciser ce que l’on peut en déduire concernant la convergence du schéma en<br />
norme L ∞ .<br />
2