Solutions auto-similaires du probl`eme de Riemann pour une loi de ...

Solutions auto-similaires du problème de Riemann
pour une loi de conservation scalaire quasilinéaire
à fonction de flux continue avec la viscosité εtuxx.
Boris P. Andreyanov
L’Université Lomonossov de Moscou (Russie) et
L’Université de Franche-Comté (Besançon, France).
On considère le problème de Cauchy suivant:
(1ε) Ut +f(U)x = εtUxx, f : IR → IR, f ∈ C; U : IR + ×IR → IR 1 ; ε ≥ 0
⎧
⎨ u−, x < 0
(2) U|t=0 =
⎩ u+, x > 0 ; on suppose que u− < u+ pour simplifier.
Le problème (1ε),(2) admet une solution auto-similaire U(t,x) = U(ξ) où ξ = x/t.
Si ε = 0 (ce qui représente le cas de la loi de conservation quasilinéaire), on appelle alors
solution de (10),(2) une solution au sens de l’inégalité entropique de S.Kruzhkov ([7]-[10]).
Si ε > 0 , on appelle alors solution de (1ε),(2) une solution au problème suivant (que l’on
obtient en intégrant l’équation différentielle pour U(ξ) ):
(3) εU ′ ξ
(ξ) = − ζU
0
′ (ζ)dζ +f(U(ξ))+K, K ∈ IR; U(±∞) = u±, U ∈ C 1 (IR).
Dans cette note on prouve que pour ε > 0 il existe une unique solution U(ξ) du problème
(1ε),(2) au sens (3). Lorsque ε → 0 , les solutions correspondantes tendent p.p. vers la
fonction
(4) U0(x/t) = ∂/∂x max (xv −tf(v))
u−≤v≤u+
Notons que d’après la formule de Fenchel U0(ξ) est l’inverse de la dérivée de l’enveloppe
convexe de f(u) sur [u−,u+] . On montre que la fonction U0(x/t) est une solution de
(10),(2). Elle est l’unique solution entropique pour tout f ∈ C[u−,u+] en vertu de
résultats de [2],[10]. Le cas où f est seulement continue a été traité pour la première
fois par Ph.Bénilan ([3]). Dans le cas où la fonction de flux f(u) est régulière l’expression
explicitedelasolutionentropiqueenfonctiondel’enveloppe convexe de f aétéproposéepar
I.Gelfand ([4]) et justifiée d’une manière détaillée par S.Kruzhkov ([9]), tout en s’appuyant
sur l’argument d’unicité d’une solution entropique. Les premiers résultats pour l’équation
(1ε) ont été établis par A.Kalashnikov ([6]). On peut comparer la formule (4) aux formules
1

proposées pour des cas différents dans [5],[12],[11]. En vertu de l’unicité toutes ces formules
sont équivalentes pour le cas du problème de Riemann avec une fonction de flux f régulière
convexe.
Les démonstrations détaillées d’une partie des assertions de cette note sont présentées
dans [1].
On fixe ε > 0 .
L e m m e 1. Toute solution U(ξ) du problème (3) est croissante sur IR .
Lapreuve([1])sefaitenraisonnantparl’absurdedansunvoisinaged’unpointd’extremum
de la solution.
Par suite, la fonction Ξ(u) = [U(ξ)] −1 est définie p.p. sur [u−,u+] et monotone.
L e m m e 2. Soit une fonction U(ξ) une solution du problème (3), alors la fonction
Φ(u) = u U(0) Ξ(v)dv−K sur [u−,u+] est une solution du problème suivant :
⎧
Φ ∈ C[u−,u+] et Φ est convexe
Φ(u) ≤ f(u) sur [u−,u+] et Φ(u±) = f(u±)
(5)
⎪⎨
⎪⎩
ε
f−Φ
∈ Lloc
1 ]u−,u+[
¨Φ(u) ε ≥ f(u)−Φ(u)
(f(u)−Φ(u))
Φ(u)− ¨ ε = 0 f(u)−Φ(u)
(où ˙ signifie d/du dans tout ce qui suit.)
⎫
⎬
⎭
au sens de mesures sur ]u−,u+[
Inversement, soit Φ(u) une solution de (5) , alors la fonction U(ξ) = [ ˙ Φ(u)] −1 ≡
≡ ∂/∂x max (xv −tΦ(v)) est une solution de (3).
u−≤v≤u+
Démonstration. (3) ⇒ (5) On réécrit l’équation (3) sous la forme
(6) εU ′ (ξ) = f(U(ξ))−Φ(U(ξ)),
d’où Φ ∈ C]u−,u+[ et Φ ≤ f . Puisque ˙ Φ(u) = Ξ(u) est une fonction continue p.p.
croissante, alors Φ est convexe. Posons Ω = {u|∃ξ : U(ξ) = u,U ′ (ξ) = 0} . La mesure
de Lebesgue |Ω| est zéro d’après le lemme de Sard et Ω ≡ {u|Φ(u) = f(u)}. Pour tout
u ∈ [u−,u+]\Ω il existe ¨ Φ(u) = ˙ Ξ(u) = 1/U ′ (ξ) > 0 ; ¨ ε Φ(u) = et Φ(u) < f(u);
f(u)−Φ(u)
et comme (f − Φ) ¨ Φ = 0 sur Ω, alors (f − Φ)
Φ− ¨ ε = 0 au sens de mesures sur
f−Φ
]u−,u+[ . Puisque |Ω| = 0 et ¨ Φ ≥ 0, alors ¨ Φ ≥ ε
f−Φ sur ]u−,u+[ au même sens. Par
suite, pour tout segment [a,b] ⊂]u−,u+[ on a b ε
a f(u)−Φ(u) du ≤ ˙ Φ(b+0)− ˙ Φ(a−0) < ∞,
d’où ε
f−Φ
∈ Lloc
1 ]u−,u+[ . L’équation (6) avec U(±∞) = u± impliquent qu’il existe
lim
ξ→±∞ U′ (ξ) = 0 , alors Φ(u±) = f(u±) et Φ ∈ C[u−,u+] .
(5) ⇒ (3) La fonction Ξ(u) := ˙ Φ(u) est croissante, on peut donc définir
U(ξ) = [Ξ(u)] −1 . Maitenant si u 0 /∈ Ω , alors il existe ˙ Ξ(u) = ε
f(u)−Φ(u)
2
> 0 sur un

voisinage de u 0 , et donc (6) est vérifiée en ξ 0 = Ξ(u 0 ). Si u 0 ∈ Ω, alors pour chaque
α > 0 il existe un voisinage de u 0 tel que f(u) − Φ(u) < εα et donc ¨ Φ > 1/α sur le
voisinage. Par conséquent, |Ξ(u 0 + δ) −Ξ(u 0 )| ≥ |δ|/α pour tout δ assez petit; il existe
donc U ′ (ξ 0 ) = 0 et (6) est vérifiée dans tous les cas. Alors U ∈ C 1 et (6) implique (3)
d’après la définition de U(ξ) . Evidemment, U(±∞) = u± . △
R e m a r q u e. Ilestintéressantqued’aprèslelemme2lafonction w(t,x) = ˙ Φ(U(t,x))
vérifie l’équation de Hopf ([5]) wt + wwx = 0 si U est une solution de (1ε),(2) au sens
(3).
L e m m e 3. Pour tous ε > 0 , u− < u+ et f ∈ C[u−,u+] il existe une unique
solution du problème (5) .
Démonstration. Afin de prouver l’unicité on raisonne par l’absurde; il suffit de traiter
un point d’extremum de la différence de deux solutions à (5) ([1]).
Pour démontrer l’existence on introduit le problème pénalisé:
(7)
⎧
⎨
⎩
¨Φn(u) ε
= Gn(u,Φn(u)) = ∧n, n = 1,2,...
f(u)−Φn(u)
Φn(u±) = f(u±), Φn ∈ C2 [u−,u+].
Puisque Gn(u,Φ) est continue en u et Φ et bornée, il existe une solution de (7).
Comme Gn(u,Φ) est croissante en Φ , le principe de maximum est alors vérifié pour les
équations du type (7). On pose G = ε(u−u−)(u+ −u) et dénote par F l’enveloppe
convexe de f sur [u−,u+] . Alors (F −G)¨≥ −¨ G ≥ ε
G ≥ ε , et (F −G) est donc
f−(F−G)
ε
une sous-solution du problème (7) avec G∞ = f(u)−Φ . On a pour n ≥ m G∞(u,Φ) ≥
≥ Gn(u,Φ) ≥ Gm(u,Φ) et donc d’après le principe de maximum Φm(u) ≥ Φn(u) ≥
≥ F(u)−G(u) sur [u−,u+] .
Ainsi Φn(u) ↓ Φ(u) ∈ IR , u ∈ [u−,u+] , Φ(u± ∓0) = Φ(u±) = f(u±) , Φ ∈ C[u−,u+]
et convexe. Aussi Gn(u,Φn(u)) tend vers
ε
f(u)−Φ(u) ∈ IR+ sur [u−,u+] . On prend une
fonction test ϕ ∈ C ∞ 0 ]u−,u+[ et ϕ ≥ 0; d’après (7) et le lemme de Fatou, on a
(8)
u+
u−
¨ϕΦ(u)du = lim
u+
n→∞
u−
¨ϕΦn(u)du = lim
u+
n→∞
u−
Alors ¨ Φ ≥ ε
f−Φ au sens de mesures sur ]u−,u+[ et ε
f−Φ
ϕGn(u,Φn(u))du ≥
u+
u−
∈ Lloc
1 ]u−,u+[ .
ε
ϕ
f(u)−Φ(u) du.
Si on prend maintenant une fonction test ϕ ∈ C ∞ 0 [u−,u+] à suppϕ ⊂ {u|Φ < f},
alors le (8) se transforme en égalité, car il existe N = N(ϕ) tel que pour tout n ≥ N
Gn(u,Φn(u)) ≤ GN(u,ΦN(u)) sur suppϕ. Puisque f −Φ = 0 sur [u−,u+]\{u|Φ < f},
on a (f −Φ)
Φ− ¨ ε = 0 , toujours au sens de mesures sur ]u−,u+[ . △
f−Φ
On montre facilement que pour une f Lipshitzienne la solution de (5) est une solution
classique de l’équation ¨ Φ = ε
f−Φ sur ]u−,u+[ . Cependant on peut montrer à l’aide du
3

principe de maximum que pour f(u) du type
|u| et pour tout intervalle ]u−,u+[∋ 0
assez petit la dérivée de la solution de (5) a un saut positif en 0. Ce saut correspond à un
intervalle de constance de la solution U(ξ) de (1ε),(2).
Des lemmes 2 et 3 résulte le
T h é o r è m e 1. Pour tous ε > 0 , u− < u+ et f ∈ C[u−,u+] il existe une solution
unique Uε(x/t) du problème (1ε),(2) au sens (3) . Elle est fournie par la formule analogue
à (4) , à savoir, Uε(x/t) = ∂/∂x max (xv −tΦε(v)) où Φε(u) est donnée par (5) .
u−≤v≤u+
On introduit ici l’indice ε dans les notations des solutions de (3) et (5) en vue de
passer à la limite pour ε tendant vers zéro. On aura également besoin des deux lemmes
suivantes :
L e m m e 4. Soit F(u) l’enveloppe convexe de f sur [u−,u+] . Alors Φε(u) tendent
vers F(u) uniformément sur [u−,u+] , quand ε → +0.
Démonstration. D’une part, Φε ≤ F évidemment.
D’autre part, pour chaque α > 0 il existe une fonction G ∈ C 2 [u−,u+] telle que
0 0 et (10),(2):
T h é o r è m e 2. Soit Uε(x/t) les solutions du problème (1ε),(2) construites dans
le théorème 1 ci-dessus. Alors lorsque ε → +0, Uε(x/t) tendent p.p. vers la fonction
U0(x/t) = ∂/∂x max (xv −tF(v)) ≡ ∂/∂x max (xv −tf(v)), où U0 est une solution
u−≤v≤u+
u−≤v≤u+
du problème (10),(2) au sens de Kruzhkov.
La convergence des Uε résulte immédiatement des lemmes 4 et 5. En utilisant la tech-
nique de Kruzhkov ([7]-[9]), ondémontre facilement que U0(x/t) est une solution entropique
de (10),(2) par le passage à la limite dans la suite Uε lorsque ε → +0 .
4

Les méthodes de ce travail fournissent des résultats analogues dans le cas du problème
de Riemann pour le système
⎧
⎨
⎩
ut +f(v)x = εtuxx
vt +ux = 0
avec une fonction de flux f continue croissante.
L’auteur tient à exprimer à quel point il est reconnaissant au Prof. Stanislav N.Kruzhkov
pour l’avoir initié aux mathématiques et en particulier lui avoir proposé ce problème.
Références
1. B.Andreyanov“Vanishingviscosity methodandexplicitformulaeforsolutionstothe
Riemann problem for scalar conservation laws.” Vestnik Mosc. Univ., à paraître.
2. L.Barthélemy “Problème d’obstacle pour une équation quasilinéaire du premier or-
dre.” Ann. Fac. Sci. Toulouse, 1988, Vol.9, No.2, pp. 137-159.
3. Ph.Bénilan “Equations d’évolution dans un espace de Banach quelconque et appli-
cations.” Thèse Doctorat d’Etat, Univ. Paris Sud, Orsay, 1972
4. I.M.Gelfand “Some problems in the theory of quasilinear equations.” Uspekhi mat.
nauk, Moscou, 1959, V.14, No.2, pp.87-158.
5. E.Hopf “The partial differential equation ut + uux = µuxx.” Comm. Pure Appl.
Math., 1950, V.3, No.3, pp.201-230.
6. A.S.Kalashnikov “Construction of generalized solutions of quasilinear equations of
first order without convexity conditions as limits of solutions of parabolic equations
with a small parameter.” Dokl. Akad. Nauk URSS, 1959, V.127, No.1, pp.27-30.
7. S.N.Kruzhkov “Generalized solutions of the Cauchy problem in the large for first-
order nonlinear equations.” Dokl. Akad. Nauk URSS, 1969, V.187, No.1, pp.29-32.
8. S.N.Kruzhkov “First-order quasilinear equations in several independent variables.”
Mat. Sbornik, Moscou, 1970, V.81, No.2, pp.228-255.
9. S.N.Kruzhkov “Nonlinear partial differential equations. Part II.” (Lections 3,4),
Mosc. St. Univ., preprint, 1970.
10. S.N.Kruzhkov, E.Y.Panov “First-order quasilinear conservation laws with infinite
initial data dependence area.” Dokl. Akad. Nauk URSS, 1990, V.314, No.1, pp.79-
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11. S.N.Kruzhkov, N.S.Petrosyan “Asymptotic behaviour of the solutions of the Cauchy
problem for non-linear first order equations.” Russian Math. Surveys, 1987, V.42,
No.5, pp.1-47.
12. P.D.Lax “Hyperbolic systems of conservation laws II.” Comm. Pure Appl. Math.,
1957, V.10, No.4, pp. 537-566.
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