COURBES

6- Que faut-il faire pour déterminer les points d'inflexion d'une courbe paramétrée ?
On détermine l'ensemble des t ∈ d tels que det(F'(t) , F"(t)) = 0.
Puis pour chacune de ses valeurs de t ainsi obtenues, on vérifie si les entiers caractéristiques sont bien tous les deux
impairs (en général p = 1 et q = 3).
7- Soit une courbe plane d'équations paramétriques x = f(t) et y = g(t),
a) propriétés de symétrie de la courbe lorsque
f et g sont paires M(t) = M(– t), la courbe est obtenue pour t ∈ I ∩ IR +
f est impaire et g est paire
f est paire et g est impaire
f et g sont impaires
elle est symétrique par rapport à y' O y
elle est symétrique par rapport à x' O x
elle est symétrique par rapport à O
b) Dans quel cas, la courbe admet-elle une branche infinie lorsque t → t0 ? lorsque |f(t)| + |g(t)| → +∞ si t → t0
Conditions permettant de prouver que le graphe admet
une asymptote d'équation x = x0
lorsque f(t) → x0 et |g(t)| → +∞ en t0
une asymptote d'équation y = y0
lorsque g(t) → y0 et |f(t)| → +∞ en t0
une branche parabolique de direction Ox
une branche parabolique de direction Oy
lorsque |f(t)| → +∞, |g(t)| → +∞ et
lorsque |f(t)| → +∞, |g(t)| → +∞ et
FB/GéomCoCh1/10/11 2
g( t)
f ( t)
→ 0 en t0
g( t)
→ +∞ en t0
f ( t) une branche parabolique de direction y = a x lorsque |f(t)| → +∞, |g(t)| → +∞ avec de plus,
g( t)
→ a et g(t) – a f(t) → ∞ lorsque t → t0
f ( t) une asymptote d'équation y = a x + b
comment étudier la position de la courbe par rapport à
l'asymptote?
un point limite de coordonnées (α , β)
dans ce cas, comment étudie-t-on la tangente en ce
point limite?
lorsque |f(t)| → +∞, |g(t)| → +∞ et g(t) – a f(t) – b → 0
lorsque t → t0.
Si g(t) – a f(t) – b > 0 la courbe est au dessus de l'asymptote,
sinon elle est en dessous.
lorsque f(t) → α et g(t) → β lorsque t → ∞.
g( t)
− β
On détermine la limite m en ∞ de
f ( t)
− α
si m ∈ IR, m est la pente de la tangente en (α , β)
si m = ∞, la tangente est verticale en (α , β).
8- Déterminer les coordonnées du point double de la courbe paramétrée définie par x = 2 t + t², y = 2 t – 1
.
t²
On cherche t ≠ u tel que x(t) = x(u) et y(t) = y(u) ; on note S = t + u et P = t u.
x(t) = x(u) ⇔ 2 (t – u) + (t² – u²) = 0 ⇔ (t – u)[2 + t + u] = 0 ⇔ t + u = – 2 ⇔ S = – 2 car t ≠ u.
1 1 u² − t²
y(t) = y(u) ⇔ 2 (t – u) = − = ⇔ – 2 =
t² u² u² t²
+ u t
⇔ S = – 2 P².
u² t²
On obtient le système S = – 2 et – 2 = – 2 P² ⇔ P² = 1 et S = – 2.
P = 1 et S = – 2 donnent : t et u racines de X² – S X + P = X² + 2 X + 1 = (X + 1)² = 0 ce qui est impossible car t ≠ u.
P = – 1 et S = – 2 donnent : t et u racines de X² + 2 X – 1 = 0, donc t² + 2 t = 1.
3
2t −1
Alors x(t) = t² + 2 t = 1 et y(t) = =
t²
2 2 1 1
t( − t + ) −
=
t²
4 2 1 − + − ² t t
=
t²
4 − t² − t²
= – 5.
t²
Le point double a pour coordonnées (1 , – 5).
9- Tracer le graphe de la courbe paramétrée dont on donne le tableau de variations et les renseignements cidessous: