COURBES

d) Déterminer les points à tangente horizontale dans le cas de la cardioïde ρ = a(1 + cos θ) .
ρ(θ) = 0 ⇔ θ = π + 2 k π. La tangente est horizontale au pôle.
ρ'(π/2 + k π) ≠ 0.
ρ( θ)
1+ cos( θ)
1+ cos( θ)
−sin( θ)
tan V = = , tan V = – tan θ ⇔ = ⇔ cos θ + cos² θ = sin² θ ⇔ cos θ + cos² θ = 1 – cos² θ
ρ'( θ)
−sin( θ)
−sin( θ)
cos( θ)
⇔ 2 cos² θ + cos θ – 1 = 0 ⇔ (2 cos θ – 1)(cos θ + 1) = 0 ⇔ cos θ = ½
Il s'agit donc des points de paramètre θ = π/3 et – π/3 (modulo 2 π).
4- Tracer la courbe dont le tableau de variations est donné ci-dessous sachant que ρ est 2π- périodique et
ρ(– θ) = ρ(θ)
θ 0 π/2 2 π/3 π
ρ'(θ) 0 – 0
ρ(θ) 3
1
0
– 1
symétrie de la courbe :
par rapport à x' O x
préciser en particulier la tangente au point de
paramètre :
0
2 π /3
π
tangente verticale
de vecteur directeur u(2 π / 3)
tangente verticale
(il s'agissait de la courbe d'équation polaire ρ = 1 + 2 cos θ).
5- Comment étudier la branche infinie de la courbe d'équation polaire ρ = f(θ) lorsque
On forme Y(θ) = f(θ) sin(θ – θ0).
Si lim
θ→θ Y(θ) = a ∈ IR, la droite d'équation Y = a dans le repère ℛ θ est asymptote à la courbe.
0
0
On étudie la position par rapport à l'asymptote en étudiant le signe de Y(θ) – a.
en particulier si Γ admet une asymptote, en préciser l'équation dans le repère (O, i , j ).
avec les notations précédentes, si
graphe.
lim f(θ) = ∞ .
θ→θ0 lim
θ→θ0 Y(θ) = a ∈ IR, la droite d'équation y sin(θ0) – x cos(θ0) = a est asymptote au
5- Étude de la branche infinie de la courbe d'équation polaire ρ =
Y(θ) = ρ(θ) sin(θ) = 1 + cos θ,
lim
θ→0
1 + cos( θ)
lorsque θ tend vers 0
sin( θ)
Y(θ) = 2, la droite d'équation Y = 2 dans le repère ℛ(O, u (0) , v (0) ) = (O, i , j ).
Comme Y(θ) ≤ 2, la courbe est située à gauche de l'asymptote.
On peut aussi raisonner ainsi :
Les coordonnées cartésiennes de M(θ) sont x(θ) = ρ(θ) cos(θ) et y(θ) = ρ(θ) sin θ = 1 + cos θ.
lim y(θ) = 2 et lim x(θ) = +∞ et lim x(θ) = – ∞.
θ→0
θ→ 0+
θ→0− La courbe admet pour asymptote la droite d'équation y = 2, et comme y(θ) ≤ 2, la courbe est située sous l'asymptote.
6- Reconnaître les courbes d'équations polaires :
• ρ = a il s'agit du cercle de centre o et de rayon |a|.
p
• ρ =
1+ ecos
θ
il s'agit de la conique de foyer O, d'excentricité e, et de directrice d d'équation x = p / e.
1
En particulier équation cartésienne de la courbe d'équation polaire ρ =
1+
cosθ
il s'agit d'une parabole de sommet S (1/2 , 0) (obtenu pour θ = 0) et
sin² θ 1−
cos θ 1+ cosθ 2cos
θ
y² =
= = − = 1 – 2 x.
( 1+ cos θ )² 1+
cos θ 1+ cosθ 1+
cos θ
FB/GéomCoCh1/10/11 4