Th. Hangan FORMULES DE TRIGONOMETRIE SUR LA VARIÉTÉ ...

Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino
Voi. 50, 4 (1992)
Differential Geometry
Th. Hangan
FORMULES DE TRIGONOMETRIE
SUR LA VARIÉTÉ DE GRASSMANN
Abstract. Three types of trigonometrie laws for geodesie triangles in real
grassmannians are deduced. Then, it is shown that one can get from these the
laws of the trigonometry of rank 1 symmetric space».
Introduction
A l'origine de cette note se trouve l'article [8] de Wu-Yi Hsiang qui
comprend une étude de la trigonometrie des espaces riemanniens symétriques
de rang 1 et propose l'étude de la trigonometrie (ensemble des propriétés
métriques des triplets de points) des espaces homogènes riemanniens.
Pour les espaces projectifs complexes, de telles études avaient été déjà
entreprises par J.L.Coolidge (1921), W.Blaschke, & H. Terheggen (1939), B.A.
Rozenfeld et P.A. Schirokov (1957). Ces auteurs ont établi des lois des sinus
et des lois des cosinus analogues aux lois de la trigonometrie spherique et
hyperbolique pour le triangle géodésique. A U. Brehm (1990) on doit une
étude directe et détaillée [3], de la trigonometrie des espaces symétriques de
rang 1; il s'avere que tout triplet d'un tei espace est détérminé à isométrie près
par les longueurs a,b,c (supposées inférieures à 7r/2) des arcs géodésiques les
plus courts qui relient deux à deux les points du triplet et par la connaissance
d'un quatrième invariant du triplet, note cr, contraint à satisfaire à deux
inégalités exprimées en termes des longueurs des còtés a^b^c.
Comme l'a montré W.Y.Hsiang, la trigonometrie de ces espaces
(symétriques de rang 1) est gouvernée par deux lois des sinus et une loi de

368
cosinus qui fournissent 5 équations reliant entre eux les 9. invariants métriques
du triplet géodésique (deux invariants angulaires pour chaque sommet et les
trois longueurs des cótés); par triplet géodésique, on entend le système forme
par un triplet de points complète avec des arcs de géodésique minimisants qui
unissent deux à deux les paires du triplet.
Récemment sont apparus deux travaux dans la mème direction: la
thèse de H. Aslaksen [1], dédiée à la triogonométrie de l'espace riemannien
symétrique SU(3) (dont le rang est 2) et les notes aux CRAS de Paris, de
E. Leuzinger (1991) [10], [11] qui établissent des lois des sinus pour tous les
espaces riemanniens symétriques de type non-compact; cette dernière étude
fait appel à la théorie generale des espaces symétriques comme on la trouve
dans les livres de S. Helgason, chap. VI, et 0. Loos, voi. IL
Le but de cette note est de montrer que des formules des cosinus et
des sinus peuvent ètre encore établies par voie élémentaire pour la variété
de Grassmann réelle, munie de sa structure naturelle d'espace symétrique
compact. Les lois de la trigonometrie des espaces projectis complexes seront
ensuite déduites par particularisation, vu que toute droite complexe de C w+1
(point de CP n ) s'identifle à un espace vectoriel réel de dimension 2 dans i2 2n+2 .
Le pian de l'exposé est le suivant:
§ 1. Rappel des lois de la trigonometrie des espaces projectis complexes.
§ 2. Une interprétation riemannienne de l'invariant a de Brehm, suivie d'une
application pour les quadruplets réguliers.
§ 3. Invariants métriques des paires de plans dans l'espace euclidien.
§ 4. Lois de trigonometrie pour la variété de Grassmann G p (R n ).
§ 5. Particularisation des formules de trigonometrie de G2(R n ) à l'espace
CP n .
1.
Soit (C w+1 , )l'espace vectoriel complexe hermitien de dimension
n -f 1 où
re+1
< x ì y>= J^2x j yj , x,yeC n + l
j=i
et soit CP n = \[x]\ [x] — Cx, x E G' n+1 {0}}. l'espace projectif complexe de

369
dimension n munì de la distance
\
di '(l*],[y]) \x], \vì I = are cos
INI-IMI
Le groupe unitaire U(n -f 1) agissant dans C n+1 induit dans CP n des
isometries et celles-ci avec la transformation induite par la conjugaison des
composantes des vecteurs de C n+1 ìx = (XÌ) —> x — (XÌ),Ì = l,...,n + 1,
représentent toutes les isometries de CP n .
Si 7i/t a , ,l,>13 , • (INI = IWI = D.
1
(1 - | < x,,y > \ 2 y< 2 • | < x,y > |
Etant donne un troisième point [z] G CP n à distance de [a;] inférieure à
7r/2, on définit les trois angles [x] P ar
(3)
còs(p[ x ]= < V[ic],[y],V[x],[«] > ,'còsA^] = Re < V[E],[J,], V[,
sintp [x] = Im < v [x]}[y]ì v [x]ì[z] >
Ils sont liés par la formule
(4) cos 2 iffò = cos 2 A[^ + sin 2 i/>[ x ] ou sin 2

370
(Si)
(SII)
(C)
Les lois de la trigonometrie de CP n sont exprimées alors par les formules:
sin (fA sin (pg sin (j
sin a sin ò sin e
sin ij)A sin ipg sin ^
sin2a sin 26 sin2c
cos 2a = cos 26 • cos 2c + sin 26 • sin 2c • cos A^ — 2 sin 2 6 • sin 2 e • sin 2

371
ou bien celle utilisée par Brehm
(6)
x = e\ , y — cos e e\ + sin e e2 , z = cosò ei + (^2 + ^2)^2 + ^3^3 où
22,^2, ^3 € R , 22,

372
2.
L'utilité de l'invariant a de Brehm s'impose déjà pour les triplets du
pian projectif réel RP2 = P(R 3 ). Les distances mutuelles a, 6, e entre les
points d'un triplet {A,B,C} C KLP2 ne déterminent pas, à isométrie près, le
triplet; en efet, si l'invariant a du triplet est positif, le lacet issu de A porte par
les arcs de geodésique de longueur minimum qui lient deux à deux les points
du triplet, est homotopiquement nul tandis que si a est négatif, ce mème lacet
engendre le groupe TTI(RP 2 ) « Z/2Z.
Dans le cas complexe l'invariant a est lié à l'intégrale de la forme de
Kàhler de CP2 sur une surface bordée par un lacet d'arcs de géodésiques qui
lient entre eux les points du triplet.
THÉORÈME [6]. Soit {A,B,C} C CP n ,n > 2, les distances mutuelles
des points du triplet étant supposées inférieures à 7r/2. Soit S la surface
générée par les arcs de géodésiques de longueur minimum qui lient le sommet
A aux points de Fare de geodésique BC qui est contenu dans la carte
exponentielle de rayon ir/2 du sommet A. Soit i l'intégrale de la 2-forme
de Kàhler de CP n sur S et a l'invariant forme du triplet {A,B,C}. Alors
(12) o — cosa cosò cose • cos2i.
Ce théorème explique un résultat obtenu par B. Ettaoui dans [5] où l'on
étudie les quadruplets réguliers de CP3 qui ont par définition un groupe de
symétries d'ordre 12 isomorphe au groupe des symétries du tétraèdre régulier
de l'espace euclidien. Un tei tétraèdre régulier de petite taille (de longueur
des arètes a are cos ^
il en existe des quadruplets réguliers dont l'invariant
forme a de leurs faces est nul (2/ = — + kn ). Dans ce cas, le quadruplet avec
les arcs de geodésique de longueur minimum qui unissent les sommets comme
arètes et avec des faces engendrées par des arcs de géodésiques issus d'un
sommet et qui s'appuient sur Parete opposée, costitue un complexe simplicial
de dimension 2 plongé dans CP n dont la classe d'homologie de dimension 2

373
engendre le groupe d'homologie H 2 (CP n , Z) « Z. Le plus petit tétrèdre de ce
type est porte par une sphère S 2 « CPi de courbure 1/4 plongée dans CP3 et
alors a = are cos\/3/3.
3.
Les invariants métriques des couples de p-plans de l'espace euclidien E n
(de dimension n) ont été étudiés pour la première fois par C.Jordan, en 1875,
voir Oeuvres, Voi. III. La notion de base qui se degagé de cette étude est celle
"d'angle critique", selon la terminologie plus recente.
Soit (M n , ) l'espace vectoriel R n
muni du produit scalaire euclidien.
On note G p (R n ) — {X\X sous-espace de dimension p de M n } la variété
de Grassmann des p-plans de M n , 0 < p < n. On suppose p < n — p et on note
X^~ le supplément orthogonal de X dans M. n .
Les projecteurs orthogonaux dans X et X
respectivement. Donc
id R n = P x +'P X ± •
seront notes Px et Px±
Soit X, Y G G p (M n ) et supposons que PX\Y(Y) — X c'est à dire
Y appartient à l'ouvert des p-plans supplémentaires à X^~. Si Sy est
la sphère unite dans Y", sa projection .Px(Sy)
es^ un ellipsoi'de dans X;
notons {ei,e2,..., e p } une base orthonormale de À" portée par les axes de
cet ellipsoide. Il existe alors une base {£i,£2, • • • ?£p} orthonormale de Y, des
angles 0 < ^1 < 9 2 < ... < 9 P < n/2 et une base

374
i) les plans critiques du couple (X = 7(0), 7(2)) ne varient pas
ii) les angles critiques varient de fagon à rester proportionnels avecun
système fìxe de constantes (ci,C2,... ,c p ), donc 0{ = c,-t, voir [15].
La distance e/(X, Y) entre deux p-plans s'exprime en angles critiques par
la formule:
d(X,Y) = ($l+ % + ... +ti*) 1 / 2 .
La variété G p (M n ) est un espace riemannien symétrique de rang p\ les angles
critiques déterminent la classe d'isométrie du couple (X,Y).
On peut voir la variété G p (R n ) comme l'ensemble des projecteurs
orthogonaux P : R n —• R n de trace égale à p et alors le p-plan associé à
un tei projecteur P est Im P.
Les angles critiques du couple (X, Y) apparaissent alors par les carrés
de leurs cosinus dans le spectre de l'opérateur Px ° Py o Px-
Le point de vue le plus commode pour la trigonometrie semble celui
où on interprete un p-plan de IR n comme p-vecteur décomposable de l'espace
Vu que R n est en plus muni de sa structure euclidienne, on représentera
un p-plan comme le produit extérieur d'un système de vecteurs formant une
base orthonormale du p-plan.
Avec les notations déjà introduites, on écrira alors:
, X = e\ A e2 A ... A e p , Y — E\ A £2 A ... A e p
et pour l'instant, les p-vecteurs X et Y sont déterminés à signe près.
4.
Nous allons établir deux lois des sinus S/*, SJJ* et une loi des cosinus
C* pour la variété 6?2(M"). Les lois S/* et C* ont des correspondants dans le
cas plus general des variétés G p (M. n )] S*JJ se généralise seulement pour p = 2q.
Première loi des sinus pour G p (~R n )
Soit À y B,C: E G p (R n ), soit P A ±(B) := B' A , P A ±(C) := C' A et
supposons B' C' A e G p (R n ), àìm(B' A + C'A = 2p.

375
On note A a , a = 1,... ,p les angles critiques des p-plans B^ et C' A .
On note a a ,a = 1,... ,p les angles critiques des p-plans B et C. On a alors:
/ +. IIsinAa IIsin2? a II sin C a
(Sr j ——; = ——:—:— = ——; .
II sin a a II sin b a II sin c a
Esquisse de démonstration.
On peut poser:
A = ei A ... A e p = ±e 1 A ... A e p
les systèmes {ei,...,ep} et {e' 1? ... ,eL} étant des bases orthonormales de
l'espace A liées aux directions critiques des couples (A,B) et (A,C) comme
suit:
- l'espace B est engendré par la base orthonormale {ei,... ,e p } où
Za — Ca C° s c a + e p+at s i n c a , Qf = 1,2,. •. .
{ep+i,... ìe 2p } étant un système orthonormal d.ans A ,
- l'espace C est engendré par la base orthonormale {e'i ..., £ p } où
e' a = e^cosba + e p + a smb a , a = 1,2,... ,p '•
{e' +1 ,..., e^} étant un système orthonormal dans A .
Le produit extérieur
A AB AC = f II sin c a J f JI sin b a J ei A ... A e^, Ae p +i A ... A e 2p A ej, +1 A ... A e' 2/)
exprimé en termes d'une base orthonormale
ei,. ...,ep,ep+i,.. .,62p ;
e2p+i,...., e^p
de l'espace de dimension Sp qu'il définit, devient
(13) A AB AC = ±fn.sinc a VlIsin6 0 \(lIsinA 0 )ei A... Ae 3p .
On a utilisé le fait que e p +\ A ... A e 2p répresente l'espace i?^ et que
e »+i A • • • A e 2j9 représente l'espace C^; le produit extérieur
(e p +i A ... A e 2 p) A(e p+1 A ... A e 2p j

376
s'exprime en termes d'une base orthonormale {e^+i,..., e2 P , e2p+i • • • > ^3p}
de ce 2p-plan par
( JJsinAajep+i A ... A e 3p .
a
S^s. •^ XN,
La norme du 3p-vecteur AABAC étant symétrique dans les trois factéurs
du produit, on obtient de (13) la loi Sj.
Deuxième loi des sinus pour (^(M 71 )
Etant donnés trois bivecteurs décomposables, unitaires de (M 71 , )
A = aAa' ,B = fiAfi f , C = 7 A 7'
où (a, a'), (/?,/?'), (7,7') sont trois couples de vecteurs unitaires orthogonaux,
posons, par défìnition
A*B =< a 1 , fi > aA/3'- < a, fi > a' A fi'- < a\fif > a A fi
\ / , ni ì A n
+ < a, fi' > a' Afi .
A signe près, le bivecteur est indépendant des représentants choisis pour
definir ses deux factéurs. On a alors
(S//*) < A*B,C>
On peut obtenir la deuxième loi des sinus SJJ de l'espace projectif
complexe par particularisation de cette formule; pour cette raison, elle a été
note SJJ*.
X"s. x-s. /S .xs. /S /S
On peut interpréter les deux réels \\A A B A C\\ et | < A * #, C > | en
termes de la multiplication dans l'algebre de Clifford C/(M n ,) associée à
l'espace vectoriel euclidien de dimension n. Rappelons que l'algebre C7(M n ,
) s'identifie à l'espace vectoriel A(M n ) des tenseurs antisymétriques de M n ,
muni de la multiplication V défìnie par
x V v — x A v — i x ov x GÌ , v G A(R n )
où par x° £ (M n )* on entend la forme x°(.) =< x,. > et A désigne le produit
extérieur. Le produit A V È V C se decompose en somme de composantes
homogènes
•AVBVC = po + p 2 +P4+p6., P«eA a (l n )

377
ou
p 6 = AABAC , p 0 =.
En termes d'éléments qui interviennent dans la forme réduite d'un
triplet {A,J9,C} C(? 2 (l 6 )
(15)
OU
A = e\ A e 2
B = (cos c\ e\ + sin ci 63) A (cos c 2 e 2 + sin c 2 64)
C = (cosòi(cosu;^4 e\ + sino;^ e 2 ) + sin 61 u) A (cos6 2 (— sincj^ e\
+ coso;^ e 2 ) + sin 6 2 v)
u = u 3 e 3 + u 4 e 4 + u 5 e 5 , i; = v 3 e 3 + v 4 e 4 + ^5 + v 6 e 6 ,
5 6 5
«=3 «=3 a=3
le scalaire pò devient
< A * J9,C > = cos^[it 4 cosci cos6 2 sin61 sinc 2
— v 3 sin ci sin 6 2 cos 61 cos c 2 ]
— sin UÀ [V4 cos ci cos b\ sin 6 2 sin c 2
-1- W3 sin Ci sin 61 cos ò 2 cos c 2 ] .
Dans la forme réduite, UJA représente l'angle dont il faut tourner dans
le pian A les directions critiques du couple (A, B) pour obtenir les directions
critiques du couple (A,C).
La loi des cosinus pour (^(M 6 )
Cette loi s'obtient en faisant le produit scalaire < B, C > et en observant
d'une part qu'il représente le produit des cosinus des angles critiques ai,fl 2
formés par le deux-plans B, C et en l'exprimant d'autre part, à partir de la
forme réduite du triplet. On obtient
cos ai -cos a 2 = sin ci sin c 2 sin 61 sin 62(^3^4 — ^4^3)
+ cos ci cos c 2 cos 61 cos 6 2
-f cos o;^ [174 cos ci sin c 2 cos 61 sin 6 2 -f- ^3 sin à\ cos c 2 sin 61 cos 6 2 ]
+ sin 0)^4 [1*4 cos ci sin c 2 sin 61 cos 6 2 — ^3 sin ci cos c 2 cos òi sin 6 2 ] •

378
5.
Si on associe à chaque point A = [x] G £P 2 le pian réel de M 6 a C 3
engendré par les vecteurs x et ix, la forme réduite (7) du triplet {A,B, C} C
CP2 s'exprime en termes de plans réels dans IR 6 par
A = e\ A ie\
B = (cos ce\ + sin e 62) A (cos e ie\ -f- sin e ie 2 )
C = (cos 6 €1 -f sin 6 cos A^ e 2 + sin 6 sin ^4 ^2 + sin b sin

379
M 71 dans A 1 qui correspond à la décomposition R n = B © A 1 , (M n = C © A 1 )
où la somme directe n'est pas orthogonale. On a alors
ou
T} S~1
< P"7j_ A PV ± > cos b\ cos 6 2 cos c\ cos c 2
= < Pjjj. A P^j. > COS Ci COS C 2 COS ai COS Cl 2
>^4 A r>B
= < P^j. A Ì£?j_ > cos «i cos a 2 cos ò x cos 6 2
, s l ) _ < < i A ^ > _ < f c V ^ x >
-^ cos ai cos a 2 cosòiCos6 2 cosci cos c 2
formule qui est equivalente à S//*.
La généralisation de SJJ pour les variétés G 2? (M n ) réside dans la
considération du produit
/i * n * o — I2_^òi...2g
ò 1...2g
•
fc ì...2g
< - a tijA\7i^
(18)
• • • < • < ^+i»7* 1 >.•-.< ^2^7^ >
symétrique en ses trois facteurs. Dans cette formule A,P,C E
G2g(^n)
***. ***. *^<
i = aiA...Att 2 g ? 5-ftA...Aft ? , C • = 71 A ... A 7 2g
sont des 2g-vecteurs décomposables de À 2? (IR n ) représentés par des bases
2g
orthonormales {ai,... ,o; 2 g} pour A,..., et £ a * " 2 désigne la signature de
la permutation (2i,z 2 ,..., «2g) des indices (1,2,... ,2^).
Si, en généralisation de (17), on définit pour deux applications linéaires
f,g : V "~ '(R 2 *,) - W * (M m ,)
< fAg > := |^4';.2g 2? < /( c ii)^( c f 2 )>< f( e h)r9{ei A )>
i
.••
alors, la symétrie du produit (18) se traduit par la formule
< Pjfx Af^ > _ < Pgx A i^x > _ < P^AP^ >
licosa^ IIcos6 a li cos c a

380
La deuxieme loi des sinus de la trigonometrie des espaces symétriques de rang
1 découle de cette dernière formule.
REFERENCES
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Acad. of Se. 57, 3 (1967), 589-594.
Theodor HANGAN
Laboratoire de Mathématiques
Université de Haute Alsace
4, rue des Frères Lumière, 68.093 Mulhouse, France.
Lavoro pervenuto in redazione il 13.11.1992.