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La dichotomie
F2
Le B.O. : « (Algorithme) on pourra approcher la solution de l’équation f (x) = k par dichotomie
ou balayage avec la calculatrice ou l’ordinateur. »
Théorème (le corollaire du T.V.I.)
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a;b]. Alors pour tout
réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un unique c ∈ [a,b] tel que f (c) = k.
Exemple
Soit f une fonction correspondant au tableau de variations ci-dessous
x
1 c
3
f (x)
-1
0
7
Alors l’équation f (x) = 0 admet une unique solution c dans l’intervalle [1 ; 3].
Exercice
Soit f la fonction définie sur [1 ; 3] par f (x) = x 2 − 2.
Il est évident que cette fonction est continue et strictement croissante sur l’intervalle
[1 ; 3]. Comme 0 ∈ [f (1) ; f (3)], l’équation f (x) = 0 admet, d’après le corollaire du T.V.I.,
une solution unique c comprise dans [1 ; 3].
Le but de ce TP est d’écrire un algorithme puis un programme permettant d’obtenir un
encadrement de c (c’est-à-dire de √ 2) à une amplitude donnée.
1. À la main.
On sait que c ∈ [a ; b] avec a = 1 et b = 3 (on a bien f (a) < 0 et f (b) > 0). On a donc un
encadrement de c d’amplitude 2.
a) Donner le signe de f ( )
a+b
2 (voir figure p.2) et en déduire un encadrement de c
d’amplitude plus petite que celle de [a ; b]; préciser l’amplitude de votre nouvel
encadrement.
b) Réitérer cette méthode pour obtenir un encadrement de c d’amplitude
16 1 en complétant
le tableau ci-dessous :
signe def ((a + b)/2)
a avec f (a) < 0 1
b avec f (b) > 0 3
amplitude e 2
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Approximation de la solution de f (x) = k par dichotomie
TS
2. Compléter l’algorithme ci-dessous permettant de déterminer un encadrement de c
d’une amplitude inférieure à e
Algorithme : dichotomie
Données : l’amplitude e
Résultat : un encadrement de la solution de x 2 − 2 = 0 d’amplitude inférieure à e
Variables : deux réels a et b
début
a ← 1 ; b ← 3 ;
tant que . . . faire
si . . . alors
. . .
sinon . . .
fin si
fin tq
retourner (a,b)
fin
3. Programmer cet algorithme avec XCAS et utiliser votre programme pour obtenir un
encadrement de c d’amplitude inférieure à 10 −5 .
y
C f
1
1 3
x
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