la recherche d'un élément par dichotomie dans un ... - Verimag

On prétend que ce programme satisfait la propriété de correction
∧
result = true ⇒ x ∈ T [0..N] result = false ⇒ x /∈ T [0..N]
où x ∈ T [0..N] est l'abbréviation de ∃i ∈ [0..N], x = T [i]
1.1.1 Exemple de rédaction de preuve de correction partielle
Montrons, par la méthode de Floyd-Hoare, que lorsqu'on atteint l'état de sortie q s la propriété de
correction est satisfaite.
def
∧
En q s : ψ s = result = true ⇒ x ∈ T [0..N] result = false ⇒ x /∈ T [0..N]
result←present
En q 11 : on détermine ψ 11 d'après ψ s en utilisant la transition q 11 −−−−−−−−−−→ q s
ψ 11
def
= ψ s [result ← present]
def
= la propriété ψ s dans laquelle on remplace la variable result par present
def
∧
= present = true ⇒ x ∈ T [0..N] present = false ⇒ x /∈ T [0..N]
present←false
En q 2 : on détermine ψ 2 d'après ψ 11 en utilisant la transition q 2 −−−−−−−−−→ q 11
ψ 2
def
= ψ 11 [present ← false]
def
= false = true ⇒ x ∈ T [0..N]
} {{ }
false
≡ false ⇒ . . .
} {{ }
≡
true
x /∈ T [0..N]
∧
∧
false = false ⇒ x /∈ T [0..N]
true ⇒ x /∈ T [0..N] ≡ true
∧ x /∈ T [0..N]
En q 1 : on détermine ψ 1 d'après ψ 2 en utilisant la transition q 1 −−−→ q 2
Principe Rappelons qu'on doit montrer la propriété x /∈ T [0..N] en q 2 . On cherche donc
une propriété en q 1 qui, avec le test d > f, implique la propriété ψ 2 en q 2 .
.} .{{ . . .}.
∧ d > f =⇒ x /∈ T [0..N]
} {{ }
ψ 1 ψ 2
Pour déduire x /∈ T [0..N] de d > f qui n'ont a priori rien en commun, on fait un raisonnement par
contradiction ; c'est-à-dire qu'on chercher une propriété ψ 1 de la forme x ∈ T [0..N] ⇒ . . . où la partie
. . . devra faire apparaître d et f et donnera une contradiction avec d > f.
def
On choisit de prendre ψ 1 = x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [d..f] qui donne la contradiction souhaitée. En
eet, x ∈ T [d..f] ∧ d > f ≡ false car x ne peut apparaître dans le sous-tableau T [d..f] qui ne contient
pas d'élément puisque d est après f. Ce raisonnement permet de montrer l'implication
(x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [d..f])
} {{ }
ψ 1
∧ d > f =⇒ x /∈ T [0..N]
} {{ }
En q 8 : on détermine ψ 8 d'après ψ 1 en utilisant la transition q 8 −−−−−→ q 1 .
def
ψ 8 = ψ 1 [d ← m + 1] def
= x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [m + 1..f]
ψ 2
d>f
d←m+1
x>T [m]
En q 5 : on détermine ψ 5 d'après ψ 8 en utilisant la transition q 5 −−−−−→ q 8 . On cherche ψ 5 telle que
.} .{{ . . .}.
∧ x > T [m] =⇒ x ∈ T [0..N] ⇒ x ∈ T [m + 1..f]
} {{ }
ψ 5
On choisit
ψ 8
2