la recherche d'un élément par dichotomie dans un ... - Verimag

ψ 0
ψ 8
def
= ψ 1 [d ← 0 ; f ← N]
def
= (0 + N) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇒ . . . . . . . . . . . ∈ [0..N]
} {{ }
def
= ψ 1 [d ← m + 1]
true(trivial)
∧ . . .
def
= (m + 1 + f) ÷ 2 ∈ [0..N] ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∈ [0..N] ∧ . . .
Qu'y a t'il de nouveau dans cette révision ?
Pour ψ 0 la nouvelle contrainte se réduit trivialement à true. Donc elle n'ajoute pas de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de l'algorithme.
Pour valider ψ 8 il faut montrer que m + 1 ≤ f ⇒ m + 1, f, (m + 1 + f) ÷ 2 ∈ [0..N] sachant (d'après
ψ 5 ) que m, f ∈ [0..N].
preuve : m ∈ [0..N] donc m + 1 ∈ [ . . .. . . . . . . . . . . . . . . ] or . . . . . . . . . . . . . . ≤ f et f ∈ [0..N] donc
m + 1 ∈ [ . . ... . . . .] ⊆ [0..N].
Pour valider ψ 7 il faut montrer que d ≤ m − 1 ⇒ d, m − 1 ∈ [0..N] sachant (d'après ψ 5 ) que
m, d ∈ [0..N].
preuve : m ∈ [0..N] donc m − 1 . . . . N or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et d ∈ [0..N] donc . . ≤ m + 1
d'où m − 1 ∈ [0..N].
Pour valider ψ 4 on doit considérer la transition q 1 −−−→ q 4 et on doit montrer que
ψ 1 ∧ d ≤ f
?
=⇒ ψ 4
preuve (à rédiger): On se contente de prouver les nouvelles parties de ψ 4 .
Pour valider ψ 5 on doit considérer la transition q 4 −−−−−−−−→ q 5 : que doit-on montrer ?
d≤f
m←(d+f)÷2
ψ
. . .
=⇒ ψ
. . .
[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .]
preuve : L'implication est évidente (de la forme P ⇒ P ) puiqu'on a choisi
def
ψ 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pour valider ψ 1 il faut considérer toutes les transitions qui arrivent en q 1 . Il y en a trois. Il faut donc
faire trois preuves ; elles sont triviales (expliquez pourquoi).
1. transition q 0
d←0 ; f←N
−−−−−−−−→ q 1 : que faut-il montrer ?
2. transition q 7
f←m+1
−−−−−→ q 1 : que faut-il montrer ?
3. transition q 8
d←m−1
−−−−−→ q 1 : que faut-il montrer ?
Conclusion
On a associé des propriétés à chaque état et montré que ce sont des invariants d'état c'est-à-dire qu'elles
sont valides à chaque fois qu'on passe dans ces états.
L'invariant ψ s associé à l'état de sortie q s
def
ψ s = result = true ⇒ x ∈ T [0..N]
∧
result = false ⇒ x /∈ T [0..N]
7